V 型电热驱动器的理论建模及位移响应特性

李 峰，王新杰，陈 浩

（南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094）

1 引 言

作为微机电系统（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）的驱动机构，微驱动器也称为微执行器或致动器，通过将其他形式的能量转化为机械能，从而产生驱动力或力矩；其输出力或力矩、驱动位移和可靠性等参数决定了整个MEMS的性能，是MEMS 重要的组成部分［1-3］。依据驱动原理的不同，微驱动器分为静电型［4］、电磁型［5］、压电型［6］以及电热型［7］等，其中，电热驱动器利用焦耳和热膨胀效应，将电能或其他形式的能量转变为热能，进而输出位移。和其他驱动器相比，电热驱动器的驱动电压更低、输出位移更大、工艺兼容性更好，因此电热驱动器是目前的研究热点之一。电热驱动器分为U，V 和Z 型3 种，其中，V 型电热驱动器在倾角足够大时可以提供更大的位移［8-10］。

为了研究电热驱动器的位移响应特性，通常需要先对电热驱动器进行解耦［11］，即依序单独建立电-热耦合子模型和热-力耦合子模型。对于电-热耦合子模型，Shan 等［12］考虑温度对电阻率、导热系数等参数的影响，建立V 型电热驱动器的瞬态传热模型，在此基础上对真空和空气环境下的瞬态热响应进行了仿真分析；Estahbanati 等［13］将V 型电热驱动器划分成8 个集总热单元，利用节点分析法建立V 型电热驱动器的等效电路模型。对于热-力耦合子模型，Shan 等［12］依据虚功原理，采用力和力矩来等效替代V 型电热驱动器一侧的约束，从而建立V 型电热驱动器的热-力耦合子模型，并利用有限元仿真验证所构建的热-力耦合子模型；Zhang 等［14-15］认为V 型电热驱动器所受外力做功能够全部转化为弹性体的应变能，并结合应变能、余能与外力之间的关系，推导出V 型电热驱动器尖端的位移计算公式。综上可知，相关学者基于不同方法构建了V 型电热驱动器的电-热-力耦合模型，但未充分考虑温度对材料参数的影响。而对于电热驱动器的位移响应特性，Shan 等［12］通过理论分析和有限元仿真研究了电流脉冲作用下V 型电热驱动器的位移响应特性，并分析了V 型电热驱动器参数对位移响应的影响；Estahbanati 等［13］通过理论建模、仿真分析与实验研究了V 型电热驱动器在恒定电压下的位移响应特性；Zhang 等［14-15］从理论建模、有限元仿真和实验三个方面出发，研究了V 型电热驱动器在阶跃电压下的动态响应，并分析了参数对电热驱动器响应特性的影响。上述文献对V 型电热驱动器在电流脉冲、恒定电压和阶跃电压下的位移响应特性进行了研究，但并未对电热驱动器在周期方波电压下的位移响应特性进行研究，难以满足微机电系统中对电热驱动器动态周期性位移控制的需求。

考虑到温度对材料参数的影响，本文在建立V 型电热驱动器的电-热耦合子模型时引入材料参数更新函数。利用改进型切比雪夫谱方法求解V 型电热驱动器电-热耦合子模型中的偏微分方程，计算得到V 型电热驱动器的温度表达式。在此基础上，结合受迫振动原理，建立V 型电热驱动器的热-力耦合子模型，计算得到V 型电热驱动器的瞬态位移表达式。然后，通过有限元仿真验证理论下V 型电热驱动器的温度和瞬态位移表达式。最后，通过搭建电热驱动器瞬态位移响应实验平台来测量恒定电压激励下V 型电热驱动器的瞬态位移，并与理论和仿真下V 型电热驱动器的瞬态位移结果进行对比。同时，测量V 型电热驱动器在周期方波电压激励下的瞬态位移。本文的研究结果可为V 型电热驱动器在微机电系统中的周期性微驱动应用提供参考。

2 V 型电热驱动器的电-热-力耦合模型

V 型电热驱动器是一个弯曲梁结构，其结构如图1 所示［16］。图中：w为V 型电热驱动器的宽度；h为V 型电热驱动器的厚度；θ为倾斜角；L为V 型电热驱动器长度的一半；g为V 型电热驱动器与基底的距离；y为V 型电热驱动器的位移。在电压作用下，驱动器产生的热膨胀变形会使它沿着初始弯曲方向进一步弯曲。与驱动器两端的弯曲挠度相比，中间部分的弯曲挠度更大，因此将该挠度作为V 型电热驱动器的位移［17］。

图1 V 型电热驱动器的结构Fig.1 Structure of V-shaped electrothermal actuator

2.1 电-热耦合子模型

与热对流和热辐射相比，热传导传输的热量更多［18］，因此首先进行热传导分析。在V 型电热驱动器上任取一个微元，如图2 所示。其中，x为微元的位置，Δx为微元的长度，T(x，t)为微元温度T关于位置x和时间t的函数。

图2 V 型电热驱动器的微元Fig.2 Micro element of V-shaped electrothermal actuator

Qi和Qo分别为以热传导方式流入和流出V型电热驱动器微元的热量，则［19］：

式中：m=L和R时，分别为V 型电热驱动器的左梁和右梁；Tm为V 型电热驱动器左右各梁的温度；κ为室温下V 型电热驱动器的导热系数；κ(Tm)为导热系数κ关于温度Tm的函数。

V 型电热驱动器的微元与空气发生热对流而产生的热损失为Qwo，与基底的传热而产生的热损失为Qwg，则：

式中：S0为V 型电热驱动器与空气的热对流系数，取70 W/（m2·K）；Sv为V 型电热驱动器与基底 的 传 热 系 数，取6 000 W/（m2·K）［20］；T0为室温。

依据焦耳效应，V 型电热驱动器微元在通电条件下产生的焦耳热为：

式中：J为电流密度；ρ0为室温下V 型电热驱动器的 电 阻 率；ρ(Tm)为 电 阻 率ρ关 于 温 度Tm的函数。

V 型电热驱动器的宽度和厚度远小于其长度，因此将它简化为一维几何模型，如图3 所示。将V 型电热驱动器中心的挠度作为其位移，因此其中心区域温度对位移影响很大，而改进型切比雪夫谱方法的点大多分布在模型两边，中间部分分布较少，因此模型计算精度较低。为了提升模型的计算精度，这里需要增加切比雪夫点在V 型电热驱动器中心区域的数量，因此将V 型电热驱动器模型分为［0，L］和［L，2L］两个长度区域，并将这两个区域作为求解区域的定义域。

图3 V 型电热驱动器的一维简化模型Fig.3 One-dimensional simplified model of V-shaped electrothermal actuator

依据能量守恒定理，得到V 型电热驱动器的瞬态模型方程，如下：

且：

式中：ρd为V 型电热驱动器的密度；c为V 型电热驱动器的比热容；V（t）为V 型电热驱动器加载电压V关于时间t的函数。

由式（4）可得该模型存在一个间断点x=L，即V 型电热驱动器的中心，且间断点处的温度二阶可导，则有：

式中：m为L和R时，Tm(x，t)分别为V 型电热驱动器左、右梁的温度Tm关于位置x和时间t的函数。

此外，由模型的边界条件和初始时刻得到：

由式（6）～式（8）简化式（4），简化后采用切比雪夫谱变换和欧拉前向差分法分别对式（4）的空间域和时间域进行离散处理，得到：

式中：NL和NR分别为驱动器左、右梁上选取的切比雪夫点的数量；um为切比雪夫点处的绝对温度向量；Δt为求解时间步长；n为时间步序号；为绝对温度关于位置x的二阶偏导数的切比雪夫求导矩阵；g（n）为材料参数更新函数，定义如下：

式中：［］为去尾取整函数；ns为材料更新时间步。

由于V 型电热驱动器的温度随时间变化，因此驱动器的部分材料参数也会变化。为了提高模型的求解精度，在求解过程中需要隔一段时间更新一次材料参数。

同理，式（5）可改写为：

由式（9）～式（11）可得：

式中：

同理，在第n+1 个时间步，V 型电热驱动器电-热模型间断点处满足式（6）的离散形式为：

式中：

综合式（11）～式（15），得到V 型电热驱动器电-热耦合模型求解的总体矩阵方程，如图4所示。

图4 V 型电热驱动器电-热模型求解的总体矩阵方程Fig.4 Overall matrix equation for solving electric-thermal model of V-shaped electrothermal actuator

2.2 热-力耦合子模型

V 型电热驱动器受热膨胀会运动，但位移较小，因此可用受迫振动方程来描述V 型电热驱动器中心区域的瞬态运动，则有：

对于V 型电热驱动器的等效刚度系数Ke，由材料力学可得：

式中：A为V 型电热驱动器梁的横截面积；d为V型电热驱动器中心到两梁根部连线的垂直距离；E为V 型电热驱动器梁的杨氏模量；I为V 型电热驱动器梁的惯性矩。当倾斜角θ为0 时，等效刚度系数Ke=6EI/L3，该结果与简支梁中心刚度的计算公式一致。而且在等效外力Fˉ作用下，V型电热驱动器的拉伸量与热膨胀产生的伸长量相等，可得：

式中Δlt为V 型电热驱动器的热膨胀总伸长量。

依据电-热耦合子模型中关于温度的分析，并结合热膨胀计算公式，可得V 型电热驱动器左、右梁的热膨胀总伸长量为：

式中：α（T）为V 型电热驱动器的热膨胀系数α关于温度T的函数。

结合式（18）～式（20），并对式（16）进行差分离散可得：

式中：

由式（21）～式（22）可得V 型电热驱动器的位移为：

3 仿 真

V 型电热驱动器的结构参数如表1 所示，所使用的材料为高浓度P 型掺杂单晶硅，单晶硅在室温下（273K）的热学和力学材料参数如表2所示。

表2 室温下单晶硅的热学和力学材料参数Tab.2 Thermal and mechanical material parameters of single crystal silicon at room temperature

依据表1 所列参数建立V 型电热驱动器的有限元仿真模型，如图5 所示。选择solid226 作为网格划分单元，然后施加约束条件，设置参数，最后求解并查看结果。

图5 V 型电热驱动器的有限元模型Fig.5 Finite element model of V-shaped electrothermal actuator

表1 V 型电热驱动器的结构参数Tab.1 Structure parameters of V-shaped electrothermal actuator

在16 V 电压的作用下，V 型电热驱动器在理论和仿真下的温度分布如图6 所示。从图中可以看 出：当 时 间 为5 ms 和10 ms 时，V 型 电 热 驱 动器的理论温度和仿真温度曲线基本重合；当时间为50 ms 时，驱动器中心区域的理论温度和仿真温度曲线基本重合，而驱动器其他区域的理论温度和仿真温度曲线差异较大，这是因为对理论模型的时域处理采用的是欧拉前向差分方法，这种方法在温度梯度较大的区域进行计算会导致结果偏大。

图6 理论和仿真下V 型电热驱动器不同时刻的温度分布Fig.6 Temperature distribution of V-shaped electrothermal actuator at different time in theory and simulation

不同电压作用下，V 型电热驱动器的理论和仿真瞬态位移曲线如图7 所示。从图中可以看出：一段时间后，V 型电热驱动器在理论和仿真下的位移不再变化；8 V 电压作用下，驱动器理论下位移与仿真值误差较大，这是因为欧拉前向差分法在温度较低时，刚度值较小，且电压越低，由于重力作用而产生的分位移越大，驱动器y方向的位移越小，因此8 V 电压作用下，驱动器理论下位移与仿真值误差较大；16 V 电压作用下，电热驱动器稳态阶段的理论位移小于仿真值，这是因为此时驱动器位移不再是小变形问题，理论模型中的受迫振动方程不再适用。

图7 理论和仿真下V 型电热驱动器的瞬态位移Fig.7 Transient displacements of V-shaped electrothermal actuator in theory and simulation

4 实 验

4.1 高速光学动态测量系统平台

利用基于高速摄影的MEMS 结构动态测试技术来进行V 型电热驱动器动态响应特性实验，所搭建的动态测量系统实验平台如图8 所示。该实验平台主要由电压激励源和光学测量系统两部分组成，其中，电压激励源提供激励电压，光学测量系统测量V 型电热驱动器的瞬态位移。

图8 动态测量系统实验平台Fig.8 Experimental platform of dynamic measurement system

4.2 恒定电压激励

在3 种不同恒定电压作用下，V 型电热驱动器位移的实验测量结果如图9 所示。由图可知：在恒定电压作用下，V 型电热驱动器位移的输出速度和稳态幅值随着电压的增大而增大。

图9 V 型电热驱动器位移的实验测量结果Fig.9 Experimental measurement results of displacement for V-shaped electrothermal actuator

在12 V 和16 V 的 电 压 作 用 下，V 型 电 热 驱动器瞬态位移的理论、仿真和实验曲线如图10 所示。从图中可以看出：在相同电压作用下，实验获得的位移响应速度比仿真和理论响应速度快。这是因为在理论和有限元仿真过程中难以建立热耗散系数与温度之间的关系，而将热耗散系数设置为恒定值。在初始阶段，由于理论和仿真所采用的热耗散系数大于实际值，温度升高较慢，因此理论和仿真位移增长速度较小；在稳态阶段，由于理论和仿真采用的热耗散系数与实际值相差不大，因此理论与仿真的稳态位移与实验结果接近。

图10 V 型电热驱动器瞬态位移在理论、仿真和实验下的曲线Fig.10 Curves of transient displacement for V-shaped electrothermal actuator in theory，simulation and experiment

4.3 周期方波电压激励

将频率为20 Hz、峰峰值为14 V 且无偏置的周期方波电压1 和频率为20 Hz、峰峰值为7 V、偏置为+7 V 的周期方波电压2 施加到V 型电热驱动器上，对应的V 型电热驱动器位移分别为位移1 和位移2。所施加的电压-时间曲线与V 型电热驱动器在第一个周期中的位移-时间曲线如图11 所示。从图中可以看出，V 型电热驱动器位移的最小值和最大值分别对应电压相位的0 °和180°，这表明在方波电压加载下，驱动器位移与电压相位不出现滞后现象；电热驱动器的位移呈三角波形变化，这是因为电热驱动器的位移到达稳态阶段所用时间大于方波电压的一个周期，导致在方波电压周期内的高电压作用阶段，电热驱动器的位移始终增加，而低电压作用阶段，位移始终减小。

图11 第一个周期内的电压加载曲线和V 型电热驱动器的位移-时间曲线Fig.11 Loading curves of voltage and displacement-time curves of V-shaped electrothermal actuator in first cycle

将频率为50 Hz、峰峰值为14 V 且无偏置的周期方波电压3 和频率为50 Hz、峰峰值为7 V 且偏置为+7 V 的周期方波电压4 施加到V 型电热驱动器上，对应的V 型电热驱动器位移分别为位移3 和位移4。V 型电热驱动器在第13，14 个周期中的位移-时间曲线，与在前10 个周期中电压相位为0°和180°时的位移-周期曲线如图12（a）和12（b）所示。从图12（a）中可以看出：在周期方波电压作用一段时间后，V 型电热驱动器做周期性运动，且运动周期与周期方波电压的周期相等。从图12（b）中可以看出：在电压频率、峰峰值和偏置相同的条件下，180°相位所对应的位移到达稳态用时比0°相位少；在电压相位和频率相同的条件下，位移4 的变化幅度比位移3 的变化幅度小。

将频率为100 Hz、峰峰值为14 V 且无偏置的周期方波电压5 和频率为100 Hz、峰峰值为7 V 且偏置为+7 V 的周期方波电压6 施加到V 型电热驱动器上，所对应的V 型电热驱动器位移分别为位移5 和位移6。V 型电热驱动器在第26，27 个周期中的位移-时间曲线，与在前20 个周期中电压相位为0°和180°时的位移-周期曲线如图12（c）和12（d）所示。从图中可以看出：在周期方波电压作用一段时间后，V 型电热驱动器做周期性运动；与图12（a）和12（b）相比，位移3 和位移5的平均值近似相等，约为20 μm，位移4 和位移6的平均值也近似相等，约为28 μm；位移3 和位移4 的变化幅度近似相等，约为15 μm，位移5 和位移6 的变化幅度近似相等，约为8 μm。

图12 V 型电热驱动器的位移-时间曲线Fig.12 Displacement-time curves of V-shaped electrothermal actuator

5 结 论

本文在建立V 型电热驱动器的电-热-力耦合模型时，引入了材料参数更新函数，并利用改进型切比雪夫谱方法求解电-热模型中的偏微分方程，最终推导出V 型电热驱动器的温度和瞬态位移表达式。将理论下V 型电热驱动器的温度和瞬态位移结果与有限元仿真下温度和瞬态位移结果进行对比。最后，通过实验测量V 型电热驱动器在恒定电压和周期方波电压作用下的位移响应。实验结果表明：周期方波电压作用下，V型电热驱动器在稳态阶段做周期性运动，且周期与方波电压的周期相等；在峰峰值为14 V 且无偏置的周期方波电压作用下，V 型电热驱动器的位移平均值约为20 μm，但在峰峰值为7 V 且偏置为+7 V 的周期方波电压作用下，位移平均值约为28 μm；在其他参数相同的条件下，频率为50 Hz 和100 Hz 时，位 移 变 化 幅 度 分 别 为15 μm和8 μm。由实验数据可知：V 型电热驱动器的位移变化幅度与频率负相关，频率的变化不影响位移的平均值。