基于分形理论的多孔介质稠油启动压力梯度计算与分析

胡心玲，曹晨光，梁文川

（中国石化江汉油田分公司勘探开发研究院，湖北 武汉 430223）

传统的欧式几何维数表征的都是经过高度抽象化的几何体或规则的几何体，它们的维数为整数。实际上，大自然的物体都具有精细的结构，并且每部分都能用整体缩小后的近似形状表示，这种性质叫作自相似性，其核心是分形几何。分形几何学可用简单的迭代繁衍出极其复杂的自然现象［1］。Pfeifer等［2］最早采用分子吸附法指出储层岩石孔隙结构具有分形特征；后来Katz等［3］用扫描电镜观测岩心断面，从而进一步发现储层岩石具有良好的分形特征；贺承祖等［4］提出储层岩石在0.2～50.0μm的孔隙尺寸范围内具有良好的分形特征。现如今，分形几何法在各行各业（包括石油工业）的应用中，已经取得了丰硕成果，显示出了广阔的前应用前景。

由于稠油复含胶质与沥青质等高分子有机物，且胶质沥青质常以固态或胶体方式存在［5］，使得稠油具有很强的结构性，易在孔道内形成边界层；同时，由于流体边界层性质异常，边界流体与体相流体之间存在表面作用力［6］。稠油流体这种较强的黏弹性［7］，以及在渗流过程中流体间的表面作用力，导致了稠油的非线性渗流特征与低渗透油藏中的边界层非线性渗流特征既有相同点又有差异。

早在1960年，前苏联学者就提出了稠油的非牛顿性，随后很多专家也指出稠油具有启动压力的现象［8-9］。前人对启动压力梯度的研究内容主要包括启动压力梯度产生的机理、实验测定、数值模拟，以及利用现场试井数据进行启动压力梯度的相关分析［10］。本文基于多孔介质的分形特征，通过建立渗流过程中的力学平衡方程，推导了稠油的拟启动压力梯度数学模型，并通过对模型各部分进行剖析，探讨了稠油启动压力梯度的产生机理及影响因素。

1 模型建立

孔隙结构的分形几何理论可以较好地描述复杂的、不规则的现象和过程［11］。本文假设储层内孔隙之间相互连通形成弯曲通道，因此可将储层岩心看作是不等径的弯曲毛细管束模型，毛细管半径分布满足分形规律［12］。

1.1 孔喉的分形特征

根据分形理论，对于多孔介质，孔隙数目N（）r满足式（1）的幂律关系［13］，则称多孔介质的微观孔隙结构具有分形特征。

式中：r为孔隙半径，μm；rmax为最大孔隙半径，μm；Df为孔喉半径分形维数，1＜Df＜2。

将式（1）对r进行微分，得到［r，r+d r］区间内的孔隙数目：

-d N＞0，表明孔隙数目随着孔隙半径的增大而减少。Df的表达式［14］为

式中：dE为欧式几何空间维数，二维空间的维数为2；φ为孔隙度；rmin为最小孔隙半径，μm。

Df随着φ的增大而增大。当φ趋近于1时，Df接近最大值2，这一结果与事实相符；如果φ=1，意味着整个平面完全被孔隙充满，Df就是2。

储层内相互连通的孔喉形成弯曲通道，因此流体在储层中的流动也不可能是完全的直线。这种弯曲通道满足分形幂律关系［15］：

式中：Lt为流动路径的实际长度，cm；DT为迂曲度分形维数，表示流体在储层中流动路径的弯曲程度；L0为毛细管的特征长度，cm。

Lt与r有关，r越大，Lt越小，即半径越大的毛细管，弯曲程度越小，与事实相符。

Yu［16］给出了多孔介质中DT的表达式：

式中：τ为弯曲通道的迂曲度；rav为平均毛细管半径，μm。

在假定多孔介质有些颗粒是重叠的、有些颗粒是不重叠的基础上，Yu等［16-17］给出了迂曲度的表达式：

将式（6）—（8）代入式（5）即可求得毛细管迂曲度分形维数。

1.2 稠油启动压力梯度的分形模型

对在单根弯曲毛细管中处于流动状态的稠油进行受力分析。毛细管两端驱动力为动力，同时受稠油黏弹性的影响，存在内摩擦力；由于稠油中极性物质在岩石表面的吸附形成边界层，边界层流体与体相流体及孔隙之间还存在着表面力。邓英尔等［18］通过理论与实验分析相结合得到表面力的合力F，即界面分子力势。F与多孔介质孔隙半径之间的关系为

根据力学平衡关系，得到渗流平衡方程：

式中：Δp为毛细管两端压差，Pa；τ0为极限剪切应力，Pa；μ为流体黏度，mPa·s；v为流体渗流速度，μm/s。

引入比例常量η表征界面分子力势［5］，则式（10）可以表征为

将式（4）代入式（11）后对式（11）进行分离变量，积分可得：

考虑稠油具有很强的结构性，易在孔道内形成边界层［19］，根据残余油饱和度体积公式，可得边界层油膜厚度δ：

式中：Sor为残余油饱和度。

单根毛细管内流体的体积流量q为

将稠油流体在储层多孔介质中的流动假设为在孔径按分形分布的弯曲毛细管束中的流动，则在整个岩心孔隙范围内，通过岩心某一截面的流体总流量Q为

式（16）即为稠油流体在毛细管束模型中非线性渗流的数学模型。令Q=0，可得宾汉姆流体拟启动压力梯度分形表达式：

式中：λ为稠油的拟启动压力梯度，MPa/m；λ1，λ2分别为表面力、极限剪切应力对稠油拟启动压力梯度的贡献，MPa/m。

从式（17）可以看出，在研究稠油拟启动压力过程中，边界层、流体屈服应力及表面力不可忽略。

2 稠油启动压力梯度实验

2.1 岩心孔喉结构

选取八面河油田南区12块岩心进行孔喉结构研究。根据岩心压汞实验得到岩心孔喉结构参数，最小孔隙半径由最大压汞压力确定，本文实验最大压汞压力为100 MPa，计算得最小孔隙半径为0.007μm，利用分形理论计算该区块岩心的分形维数如表1所示。从区块储层岩心的孔喉尺寸可以看出,本区储层岩心大都具有良好的分形特征。岩心孔喉半径分形维数主要介于1.82～1.86，迂曲度分形维数主要介于1.08～1.10，不同孔隙度、渗透率岩心的分形维数差值较小，因此本区块储层岩心孔喉半径分布不均，迂曲度分布较规则，毛细管束模型接近直毛细管。

表1 八面河稠油油藏岩心分形维数计算结果

2.2 流体流变性

原油黏度大小反映流体在渗流过程中的内摩擦力及表面力大小。对目标油藏4种不同油样进行流变性测定可知，1，2，3，4号油样的塑性黏度分别为475，1 219，1 632，2 604 mPa·s，在研究区块稠油黏度范围内。实验采用Brookfield DV-2T黏度计及配套的Thermose电子数控加热装置，60℃下测得的原油黏度随剪切速率变化情况见图1。从图中可以看出：剪切速率增大，原油黏度降低，但当剪切速率达到一定程度后，原油黏度趋于稳定。

图1 原油黏度与剪切速率的关系

为了得到较准确的流体极限剪切应力，选取低剪切速率下的曲线进行拟合，得到剪切应力随剪切速率变化关系（见图2）。各油样在同一温度下，剪切速率与剪切应力的关系为不过原点的曲线，表现出宾汉姆流体特征。根据宾汉姆流体的本构方程τ=τ0+μd v/d r，得到1—4号样品的极限剪切应力分别为0.55，1.04，1.77，1.96 Pa，原油黏度低，曲线斜率小，随着原油黏度增大，曲线斜率加大。

图2 流变测试曲线

2.3 稠油启动压力梯度

根据目标油藏渗透率与黏度范围，选取与目标油藏渗透率（K）级别相同的20块岩心。油样采用模拟地层原油（根据地层资料在实验室将现场井口落地油样与航空煤油复配而成，黏度在研究区块油藏黏度范围内）。水样根据目标油藏地层水矿化度（27 000 mg/L）配制标准盐水。

对不同渗透率岩心开展不同黏度原油单相驱替实验。实验过程中先以泵的最小流量（0.001 mL/min）用模拟油驱替岩心，记录出口端流体刚开始流动时在毛细管内到达的高度，计算得到的压力即为真实启动压力；后分别以0.003，0.005，0.010，0.030，0.050，0.070，0.100，0.300，0.500 mL/min的流量驱替岩心至压力稳定，记录不同流量下的稳定压差；最后根据实验数据绘制流量与压力梯度关系曲线，曲线直线段的延长线在压力梯度坐标上的截距即为岩心拟启动压力梯度值。具体实验流程如图3所示。实验结果如图4、图5所示。

图3 单相流体渗流实验流程

普通稠油油藏普遍存在启动压力梯度，不同渗透率岩心、不同黏度油样对应的真实启动压力梯度及拟启动压力梯度大小都不相同，中高渗区块稠油的启动压力梯度普遍较小，实验得到真实启动压力梯度小于0.02 MPa/m，拟启动压力梯度小于10 MPa/m。从图4可以看出：拟启动压力梯度与原油黏度之间的关系为一条不过原点的直线，相同渗透率条件下，拟启动压力梯度随黏度上升而增加。从图5可以看出：拟启动压力梯度与渗透率呈较好的幂函数关系，在相同的原油黏度条件下，拟启动压力梯度随渗透率的增加而降低，且随着渗透率的增大，拟启动压力梯度迅速下降；当渗透率达到600×10-3μm2后，随着渗透率的进一步增大，拟启动压力梯度下降幅趋于平缓。

图4 拟启动压力梯度与原油黏度的关系（渗透率为650×10-3μm2）

图5 不同原油黏度下拟启动压力梯度与渗透率的关系

3 模型实验验证

本文拟启动压力梯度数学模型主要与孔喉结构参数、边界层厚度（由残余油饱和度表示）、极限剪切应力、表面力等参数相关。孔喉结构参数可由压汞曲线及分形理论计算得到；残余油饱和度可由驱替实验得到，平均残余油饱和度为12%；极限剪切应力可由流变性实验得到。图6为原油黏度1 218.3 mPa·s时，不同渗透率岩心的实验测试结果与模型计算结果对比曲线。由图可知，新的拟启动压力梯度公式计算的理论曲线与实验数据较吻合，说明公式能较真实地反映实际油藏稠油启动压力梯度各影响因素的物理意义。

图6 拟启动压力梯度计算与实验结果对比

实验结果与本文公式都同时验证了稠油拟启动压力梯度不仅与储层岩心孔喉结构参数相关，还受流体的宾汉姆特征和边界层的综合影响。基于这一认识，分析拟启动压力梯度与极限剪切应力、残余油饱和度的关系，结果见图7。由图可知：残余油饱和度增加，表明边界层油膜厚度增加，导致孔隙中体相流体减少，拟启动压力梯度增大；极限剪切应力增加，表明流体黏滞阻力增加，导致拟启动压力梯度增大。

图7 拟启动压力梯度与极限剪切应力、残余油饱和度的关系

进一步分析拟启动压力梯度与流度的关系（见图8）可以看出：拟启动压力梯度与流度之间呈幂函数关系，且相关系数较高；流度较小时，流度增加，拟启动压力梯度下降较快，流度继续增加，拟启动压力梯度下降幅度减缓，临界流度在0.3×10-3μm2/（mPa·s）左右。

根据实验结果分析认为：流度减小时，边界层加厚，导致孔隙中体相流体减少，同时流体黏滞阻力增加，拟启动压力梯度增大。现场可通过提高流度来降低原油的启动压力梯度，提高原油的流动能力，从而达到提高产量的目的。

图8 拟启动压力梯度随流度变化的计算与实验结果对比

4 结论

1）普通稠油油藏非线性渗流特征区别于低渗透储层的机理为稠油在渗流过程中受边界层、黏滞阻力及表面力的影响较大，不可忽略。

2）本文建立了充分考虑孔喉结构、流体结构性、表面力影响的稠油流体拟启动压力梯度模型。该模型由于考虑了储层微观孔喉结构对稠油拟启动压力梯度的影响，使得稠油的非线性渗流机理更清晰，物理意义更明确。

3）通过岩心实验验证了模型的准确性，进一步研究得到拟启动压力梯度与残余油饱和度正相关，与流度呈幂函数关系，即边界层油膜厚度越小、流度越大时，拟启动压力梯度越小。