半球谐振陀螺谐波缺陷振动特性有限元分析

郑 超,张 林,肖茵静

（北京航天时代激光导航技术有限责任公司,北京 100094）

0 引言

半球谐振陀螺是利用半球壳振动敏感载体角度变化的惯性导航器件,它广泛应用于航海、航空、航天等多个领域,具有高精度、高可靠性、长寿命的特点［1-3］。半球谐振子是半球谐振陀螺的核心敏感器件,其性能决定着陀螺仪的精度。谐振子是由具有高品质因数、低膨胀系数、极好化学稳定性的熔融石英材料精密加工而成,由于材料硬度高而脆,在制作加工过程中会因机床装夹工装与半球谐振子中心轴有偏差、加工刀具磨损或振动等造成谐振子质量分布不均匀。

目前,关于半球谐振陀螺谐波缺陷分布的研究,赵洪波［4］和明坤［5］研究了谐振子密度周向分布不均匀、阻尼周向分布不均匀与频率裂解的影响;陈雪等［6］通过仿真实验得到了如下结论:谐振子环向角薄壁厚度不均匀的四次谐波对陀螺输出角速度影响较大,而一、二、三次谐波影响不大;赵小明等［7］分析了单点元的频率裂解与四次谐波不平衡质量的线性对应关系;周闯等［8］通过动力学方程理论分析得到了特征频率（即两分歧的共振模态频率）与特征向量（两共振模态的方向）的显式公式;Choi等［9］研究了多点质量半球壳的数学模型,得到了频率裂解显式表达式;Basaraba等［10］推导了半球陀螺沿子午方向的变厚度,得到了壳体厚度与质量的变化规律。然而,关于半球谐振陀螺谐波四类质量缺陷与频率裂解的相关研究仍比较少。

本文为了更准确地对半球谐振陀螺进行调平,基于理想半球谐振子模型,针对不同谐波缺陷质量变化,研究了半球谐振子不同谐波质量缺陷的振型、固有频率、频率裂解等的变化规律。

1 半球谐振子谐波质量缺陷分布

根据Fourier函数进行展开,半球谐振子质量缺陷ρ可用Fourier函数ρ（φ）表示［11］,即

式（1）中,ρ1、ρ2、ρ3、ρ4、…分别为第1、2、3、4、…类缺陷的幅度大小,φ1、φ2、φ3、φ4、…分别为第1、2、3、4、…类缺陷的方位角位置。

半球谐振陀螺谐波质量缺陷分布有一次谐波缺陷、二次谐波缺陷、三次谐波缺陷和四次谐波缺陷等,如图1所示,前四次谐波对陀螺的性能有影响。谐波缺陷导致半球谐振子出现双本征轴（呈45°）,如图2所示。谐振子沿其中每个轴的固有振动频率可达到极大值和极小值,极大频率与极小频率的差值称为频率裂解Δf,即频差,满足式（2）

图1 半球谐振子质量缺陷分布形式Fig.1 Distribution form of hemispherical harmonic oscillator mass defect

图2 半球谐振子固有轴示意图Fig.2 Schematic diagram of hemispherical harmonic oscillator natural axis

式（2）中,f1、f2分别为极小频率和极大频率。

谐波质量缺陷半球谐振子与理想半球谐振子的质量差值称为相差质量值Δmi,即质量差,满足式（3）

式（3）中,m0为理想半球谐振子质量,mi为半球谐振子第i次谐波质量。

2 半球谐振子谐波质量缺陷有限元仿真分析

根据半球谐振子谐波缺陷的分布,建立三维模型,利用有限元数值模拟仿真半球谐振子1～4次的谐波缺陷。针对不同谐波缺陷质量变化,分析谐振子不同谐波缺陷的振型、固有频率、频差等的变化趋势。

半球谐振子采用热膨胀系数低、化学稳定性能好、品质因数高的熔融石英材料,材料特性参数如表1所示。

表1 谐振子材料特性Table1 Material properties of harmonic oscillator

2.1 半球谐振子一、二、三及四次谐波质量缺陷分析

根据图1所示的半球谐振子结构,忽略球壳与小柱的倒角,建立一、二、三及四次谐波缺陷的三维模型,如图3所示。四类谐波缺陷质量差分布形式如图4所示,质量差的表达式如表2所示。

表2 谐振子一、二、三及四次谐波缺陷质量差表达式Table2 Expression of mass difference on harmonic oscillator1st,2nd,3rd and4th harmonic defects

图3 谐振子一、二、三及四次谐波缺陷三维模型图Fig.3 Three dimensional model of harmonic oscillator1st,2nd,3rd and4th harmonic defects

图4 谐振子一、二、三及四次谐波缺陷质量差分布示意图Fig.4 Mass difference distribution of harmonic oscillator1st,2nd,3rd and4th harmonic defects

R0为半球谐振子外球壳半径,R1、R2、R3、R4为半球谐振子外椭球壳半径,Δ1、Δ2、Δ3、Δ4为半球谐振子质量偏差值。在进行半球谐振子谐波质量缺陷分布有限元仿真分析时,质量偏差值Δ1、Δ2、Δ3、Δ4取值范围为0.01mm～0.1mm。

有限元模型采用四面体单元划分网格,边界条件为:在谐振子小柱安装面施加周向固定约束,以一次谐波缺陷为例,如图5所示。

四类谐波缺陷有限元仿真结果的振型变化基本一致,以一次谐波为例,有限元仿真结果的谐波缺陷振型变化如图6所示。

对图6进行分析,四类谐波缺陷前十阶振型模态为:一、二阶振型为谐振子左右摇摆模态,三阶振型为谐振子拉伸压缩模态,四、五阶振型为四波腹工作模态,六、七阶振型为谐振子圆柱摇摆模态,八、九阶振型为六波腹模态,十阶振型为谐振子半球上下振荡模态。

利用有限元仿真,通过改变半球谐振子的四类谐波缺陷质量,分析半球谐振子四类谐波缺陷前十阶固有频率与半球谐振子质量的变化关系,如图7所示。

通过对图7进行分析,可以得到以下结论:

1）半球谐振子一、二、三及四次谐波缺陷的固有频率与谐振子质量呈线性关系,四、五阶（四波腹模态）及八、九阶（六波腹模态）的固有频率随着半球谐振子质量增大而增大,其他阶固有频率随质量增大而减小。

2）各阶次谐波缺陷四、五阶（四波腹模态）与八、九阶（六波腹模态）的固有频率与质量呈线性比例关系,固有频率增速随质量的增加基本一致。

对半球谐振子一、二、三及四次谐波质量缺陷的振动特性进行有限元仿真,其频差与质量差的关系如图8所示。

通过对图8进行分析,可以得到以下结论:

1）半球谐振子四次谐波缺陷频差与质量差的关系,随着半球谐振子质量差的增大,频差逐渐增大,质量差与频差呈线性关系,关系式为:Δf=1779.5Δm,符合文献［7］中的公式:Δw=w2-w1=λ∂M。

2）半球谐振子二次谐波缺陷频差与质量差的关系,随着半球谐振子质量差的增大,频差逐渐增大,质量差与频差呈线性关系,关系式为:Δf=536.57Δm,频差与质量差的增速为四次谐波缺陷的1/3,对频差影响较大。

3）半球谐振子一、三次谐波缺陷频差与质量差的关系,随着质量差的变化,频差基本没有变化。

综上所述,由图7和图8可知,半球谐振子二、四次谐波缺陷分布对谐振子振动频差影响较大,进一步分析二、四次谐波缺陷的质量分布在不同周向及径向位置时对半球谐振子频差的影响。

图7 一、二、三及四次谐波缺陷十阶固有频率与质量关系图Fig.7 Relationship between tenth order natural frequency and mass on harmonic oscillator 1st,2nd,3rd and4th harmonic defects

图8 四类谐波缺陷频差与质量差关系图Fig.8 Relationship between frequency difference and mass difference on four types of harmonic defects

2.2 半球谐振子二、四次谐波缺陷沿周向及径向分布对频差的影响

根据2.1节的半球谐振子一、二、三及四次谐波缺陷分析可知,半球谐振子二、四次谐波缺陷质量差变化对谐振子频差有影响,研究二、四次谐波缺陷质量差在半球谐振子周向及径向对谐振子频差变化的影响。

图9（a）为半球谐振子周向张角ε变化的模型图,图9（b）为半球谐振子径向张角θ变化或距Z轴距离变化的模型图。

根据图9（a）、图9（b）所示半球谐振子二、四次谐波缺陷周向及径向的位置变化,建立半球谐振子三维模型。然后,通过有限元计算,分析质量差沿半球谐振子周向张角ε变化对频差的影响以及质量差沿半球谐振子径向张角θ变化（或距Z轴距离变化）对频差的影响,结果如图10所示。

图9 二、四次谐波缺陷质量差沿周向和径向分布模型图Fig.9 Circumferential and radial distribution model of2nd,4th harmonic defects mass difference

通过对图10进行分析,可以得到以下结论:

1）由图10（a）可知,半球谐振子质量差沿周向张角ε越小,频差/质量差越大。当质量差沿周向张角大于65°时,质量差沿周向张角变化对谐振子频差/质量差的影响不显著。

2）由图10（b）可知,半球谐振子在相同质量差情况下,质量差的位置如图8（b）所示,距Z轴距离越大,频差越大,或沿径向张角θ越小,频差越大。当质量差分布距Z轴距离小于8.5mm或沿径向张角大于40°时,质量差在径向上的位置变化对谐振子频差的影响不显著。

图10 二、四次谐波缺陷质量差沿周向和径向分布对频差的影响Fig.10 Influence of2nd,4th harmonic defects mass difference along circumferential and radial distribution on frequency difference

3）由图10（a）和图10（b）可知,半球谐振子二、四次谐波质量缺陷周向张角及径向位置变化对频差/质量差的影响曲线基本一致。谐振子质量差在同一张角下或同一径向位置下,二次谐波缺陷频差大致为四次谐波缺陷频差的1/2。

本节分析了二、四次谐波质量缺陷与频差的关系,为半球谐振子频差的修正提供了参考,采用机械调平、化学调平、激光调平、离子束调平等方法,可以对半球谐振陀螺不同谐波质量缺陷引起的频差进行修正,后续研究重点为半球谐振子调平技术。

3 结论

本文对半球谐振陀螺不同谐波质量缺陷分布建立相应三维模型并进行有限元计算,研究了半球谐振子不同谐波质量缺陷的振型、固有频率、频率裂解等的变化,分析了半球谐振子质量缺陷沿周向和径向分布对振动特性的影响,得到以下结论:

1）通过对四类谐波缺陷十阶固有频率的有限元分析,有:谐振子四波腹模态、六波腹模态固有频率随谐振子质量增大而增大,且增速基本一致,其他阶固有频率随质量增大而减小。

2）研究了四类谐波缺陷质量与频差的关系,其中的二、四次谐波缺陷质量对频差有明显影响,二者呈线性比例关系,比例系数分别为536.57和1779.5。

3）进一步分析了谐振子二、四次谐波缺陷质量沿周向及径向分布对频差的影响,谐振子周向张角ε越小或径向距Z轴距离越大（或径向张角θ越小）时,其频差越大。也就是说,质量差在谐振子壳体边缘位置对频差的影响较大。

基于半球谐振陀螺的有限元仿真,本文对半球谐振陀螺不同谐波质量缺陷分布振动特性进行了研究,为后期开展半球谐振陀螺调平关键技术研究提供了参考,具有一定指导意义。