稠油油藏SAGD蒸汽腔位置综合评估及产量预测

郭云飞，刘慧卿，刘人杰，郑伟，东晓虎，王武超

（1.中国石油大学（北京）石油工程学院，北京 102249；2.中海油研究总院有限责任公司，北京 100028）

随着常规油气资源的日益枯竭，稠油资源逐渐引起人们的普遍关注[1-2]。中国稠油资源总储量预估达300×108t[3]，因此，实现稠油油藏经济高效开发，具有十分重要的意义[4]。蒸汽辅助重力泄油（SAGD）技术已经成为当今稠油开采不可或缺的技术手段[5]。解析模型方法是预测SAGD 开发效果的首选方法[6-7]，SAGD 解析模型最早由Butler 等提出[8]，后来Butler 和Stephens 修改了原始模型，将产量系数从改为，使得修正后的模型更接近现场生产数据[9]。在此基础上，Butler 又提出LINDRAIN 理论，将产量系数修改为。此后，不同学者分别提出了SAGD解析或半解析模型[10-13]，如假设蒸汽腔界面形状为一条抛物线，结合达西定律和物质守恒定律，建立了SAGD蒸汽腔横向扩展阶段的产量预测模型[14]。然而，该模型仅考虑了蒸汽腔稳态传热的情况，与SAGD 非稳态传热不符；另外，该模型仅适用于蒸汽腔横向扩展阶段，无法对SAGD 生产后期的产量进行预测；最后，该模型使用的流动势函数不符合实际情况，对产量的预测会造成一定偏差。

本文通过引入热穿透深度，解决了蒸汽腔界面外温度分布拟稳态的不足，并针对蒸汽腔横向扩展阶段和向下扩展阶段界面运动情况，建立了SAGD 生产全过程的抛物线产量预测模型，以预测蒸汽腔位置和产量，最后通过修正流动势函数，使预测的产量更加准确，并利用前人的实验数据验证了其准确性。

1 模型建立

根据加拿大经典SAGD 矿场试验等温线分布[15-16]，假定蒸汽腔一侧界面的截线为抛物线，在蒸汽腔未与相邻蒸汽腔接触或未到达储集层边界前，蒸汽腔横向扩展；否则，蒸汽腔向下扩展，有效驱替高度逐渐下降。本文针对蒸汽腔横向扩展阶段和蒸汽腔向下扩展阶段的不同特点，建立了抛物线产量预测模型。

1.1 模型基本假设

①SAGD 启动时，注入井与生产井之间已经建立了热连通[14]；②为水平、等厚和均质油藏，流体均匀分布；③蒸汽腔上升阶段时间很短，SAGD 采油主要发生在蒸汽腔横向扩展及向下扩展阶段，因此，假设蒸汽腔在SAGD 启动时已经到达了储集层顶部[17]；④热传导是储集层内唯一的传热方式，且传热方向垂直于蒸汽腔界面[9]；⑤在重力驱动下，被加热的原油沿蒸汽腔边缘流向生产井，距离蒸汽腔较远的原油由于黏度过大，不发生流动；⑥蒸汽腔横向扩展阶段及向下扩展阶段，界面均为凹型抛物线；⑦蒸汽沿水平井水平方向均匀分布，仅考虑二维流动[18-19]。

1.2 产量预测模型的建立

1.2.1 蒸汽腔横向扩展阶段

在蒸汽腔界面上，被蒸汽加热的原油沿着基本平行于蒸汽腔界面的方向向生产井流动（图1）。此流动符合达西定律，距离界面ξ处厚度为dξ的微元的单位长水平井段产量为

由于蒸汽密度远小于原油密度，且νo=μo/ρo，（1）式可近一步化简为

在文献［14］提出的产量预测模型中，流动势函数∇Φer=gh/L，与实际流动势函数存在一定的误差，从而导致预测的产量及蒸汽腔位置并不准确。为了使抛物线产量预测模型更加符合实际情况，本文给出流动势函数：

为了计算蒸汽腔外的油藏温度分布，引入热穿透深度，将拟稳态传热修正为更接近实际情况的非稳态传热。蒸汽腔外原油黏度与到蒸汽腔界面的垂直距离的关系采用Butler公式[19]：

结合（2）式—（4）式，蒸汽腔横向扩展阶段单位长水平井段产量：

假设蒸汽腔的形状为抛物线：

由（6）式可求出sinθ：

将（7）式代入（5）式，可得蒸汽腔横向扩展阶段单位长水平井段产量：

（8）式中，唯一的未知参数为热穿透深度,本文采用Butler定义的热穿透深度[19]：

（9）式的热微分方程表示热穿透深度对时间的导数与其呈反比，且与垂直于蒸汽腔界面方向扩展速度呈线性关系。

为了求解蒸汽腔横向扩展阶段单位长水平井段产量，需要将蒸汽腔界面按高度等分成若干微元，求解各微元垂直于蒸汽腔界面方向的扩展速度，进而根据（9）式求解各微元的热穿透深度。根据各微元的位置以及（3）式，求解其势函数梯度，进而求解蒸汽腔横向扩展阶段单位长水平井段产量。因此，利用质量守恒定律，求蒸汽腔横向扩展速度与单位长水平井段产量的关系。

根据各时刻蒸汽腔的形状，可以求出单位长水平井段累计产油量：

（10）式对时间求导，可得蒸汽腔横向扩展阶段单位长水平井段产量：

由（11）式可得蒸汽腔横向扩展速度：

根据（12）式，可得下一时间步长单侧蒸汽腔宽度：

根据t+Δt时刻单侧蒸汽腔宽度，可求得蒸汽腔横向扩展阶段t+Δt时刻蒸汽腔界面曲率系数和第i个微元一个时间步长的水平位移：

蒸汽腔横向扩展阶段第i个微元水平移动速度：

由几何关系，可得蒸汽腔横向扩展阶段第i个微元垂直于蒸汽腔界面方向移动速度与水平移动速度的关系：

1.2.2 蒸汽腔向下扩展阶段

在SAGD 生产后期，蒸汽腔宽度逐渐扩展至半井距，开始受到相邻蒸汽腔的干扰而向下扩展。在此阶段，单位长水平井段累计产油量：

对（18）式求导，可得蒸汽腔向下扩展阶段单位长水平井段产量：

可得蒸汽腔向下扩展阶段蒸汽腔下降速度：

根据蒸汽腔下降速度，可得t+Δt时刻半井距处蒸汽腔高度：

根据t+Δt时刻半井距处蒸汽腔高度，可求得蒸汽腔向下扩展阶段t+Δt时刻蒸汽腔界面曲率系数和第i个微元一个时间步长的垂直位移：

蒸汽腔向下扩展阶段第i个微元的垂直移动速度：

同理，由几何关系可得蒸汽腔向下扩展阶段第i个微元垂直于蒸汽腔界面方向移动速度与垂直移动速度的关系：

本文提出的抛物线产量预测模型将热穿透深度引入产量计算公式，与文献［14］提出的产量预测模型不同。从（8）式可以看出，热穿透深度越准确，产量就越准确。

2 计算流程

为了得到产量和蒸汽腔位置随时间的变化，具体步骤如下：①在蒸汽腔横向扩展阶段，将储集层的高度均匀分成若干等高微元（图2）；②求解Reis 模型的产量并将其设为初始产量；③由（12）式计算蒸汽腔横向扩展速度，并用（17）式求解各微元垂直于蒸汽腔界面方向移动速度；④用（13）式—（15）式求解下一时刻的蒸汽腔位置，用（16）式计算下一时刻的各微元水平移动速度，利用蒸汽腔位置计算各微元倾角正弦值；⑤利用当前时刻的垂直于蒸汽腔界面方向的扩展速度和热穿透深度，应用（9）式计算下一时刻的热穿透深度，需要给定蒸汽腔界面微元的初始热穿透深度；⑥利用求得的热穿透深度及各微元倾角正弦值，用（8）式计算各微元的产量；⑦重复步骤③—⑥，直到步骤④计算出的蒸汽腔宽度不小于半井距；⑧重新将储集层的宽度均匀分成若干等宽微元，用（20）式求解蒸汽腔向下扩展阶段蒸汽腔下降速度，用（21）式—（24）式求解蒸汽腔位置及各微元垂直移动速度。

3 模型验证

将本文提出的抛物线产量预测模型预测的产量与文献［20］实验的产量进行对比，以验证该模型的准确性。本文提出的模型所需参数的取值与文献［20］的实验参数值相同（表1）。

表1 SAGD可视化实验参数（引自文献[20]）Table 1.Parameters obtained from visualized SAGD experiment(from Reference[20])

采用文献［21］的方法求取初始热穿透深度，考虑了预热期对原油热传递的影响，其表达式为

代入表1 数据，得初始热穿透深度为0.036 6 m。将抛物线产量预测模型预测的产量与文献［20］实验数据进行对比（图3）。在文献［20］实验开始后1.6 h，蒸汽腔逐渐扩展至边界，此阶段产量整体较平稳，存在略微减小的趋势。而抛物线产量预测模型在蒸汽腔横向扩展阶段预测的产量先逐渐增大，后逐渐减小。该模型预测的初期产量偏低，是因为初始热穿透深度不准确。此外，由（8）式可知，蒸汽腔横向扩展阶段产量主要受到热穿透深度和蒸汽腔界面倾角的影响。由（9）式可知，热穿透深度随时间增加逐渐增大，而蒸汽腔界面倾角随时间增加逐渐减小。故蒸汽腔横向扩展阶段初期，产量逐渐增大，表明此阶段热穿透深度对产量的影响较蒸汽腔界面倾角大。在蒸汽腔横向扩展阶段后期，产量随时间增加逐渐下降，表明此时蒸汽腔界面倾角对产量的影响较热穿透深度大。此时，产量随时间增加逐渐减小，也与前人预测的结果一致[14]。

当蒸汽腔界面到达实验模型边缘后，有效驱替高度和蒸汽腔界面倾角逐渐减小，由（25）式计算的垂直移动速度增大，从而导致热穿透深度减小，蒸汽腔界面倾角和热穿透深度同时减小，导致产量逐渐减小，此时，采用抛物线产量预测模型预测的产量与文献［20］实验数据较为接近。

将本文模型预测的蒸汽腔位置与文献［20］实验对比（图4），本文模型预测的初期蒸汽腔位置偏低，主要由于文献［20］实验进行了预热，导致蒸汽腔移动速度快。此后，该模型预测的蒸汽腔位置逐渐靠近实验记录的等温线。由抛物线产量预测模型预测结果可知，蒸汽腔在85 min到达模型边缘，此后蒸汽腔逐渐下降，蒸汽腔向下扩展阶段抛物线产量预测模型预测的蒸汽腔位置与文献［20］实验数据较为吻合。因此，本文提出的模型预测的产量及蒸汽腔位置较符合实际。

4 结果与讨论

使用准噶尔盆地风城油田重37 井区SAGD 试验区参数[22]（表2），讨论各参数对该模型产量的影响，以对SAGD开发效果进行评价。

表2 准噶尔盆地风城油田重37井区SAGD试验区参数（引自文献[22]）Table 2.Parameters from SAGD test area in Zhong 37 well block in Fengcheng oilfield,Junggar basin(from Reference[22])

4.1 初始热穿透深度对产量的影响

设置初始热穿透深度为0.1 m、0.2 m和0.4 m，分别对产量进行预测。从图5 可以看出，热穿透深度对产量的影响不大，且随着生产时间的增加，产量的差异逐渐减小，当SAGD 生产进入末期，3种热穿透深度下的产量基本一致。这是由于在其他参数不变的情况下，产量主要受位于生产井处微元倾角正弦值与此微元热穿透深度的乘积影响。首先，位于生产井处微元的下一时间步长的热穿透深度与当前时间步长的热穿透深度呈反比，因此，当前时刻热穿透深度越大，热穿透深度的增加幅度越小。其次，由于蒸汽腔的初始位置相同，初始产量会随着初始热穿透深度的减小而减小，造成蒸汽腔横向扩展速度及蒸汽腔横向移动距离减小，因此，下一时间步长生产井处微元倾角正弦值下降幅度减小，进而导致微元倾角正弦值与热穿透深度相乘得到的产量，与初始热穿透深度取0.4 m 时相差不大，与取0.1 m 时相差仅5.3%。综上所述，蒸汽腔横向扩展阶段持续时间基本不受初始热穿透深度的影响。

SAGD 开发初期，微元倾角正弦值减小对产量的影响小于热穿透深度增加造成的影响，因此产量增加；随着开发时间推移，蒸汽腔逐渐扩展，蒸汽腔界面倾角减小对产量的影响逐渐高于热穿透深度增加造成的影响，产量降低。在蒸汽腔向下扩展阶段，热穿透深度和蒸汽腔界面倾角均减小，产量逐渐减小。

4.2 储集层厚度对产量的影响

储集层厚度较小不利于SAGD开发，因此，取储集层厚度分别为11 m、22 m和33 m，进行产量预测（图6）。

随着储集层厚度的增大，产量显著提高，最大产量出现的时间也会延迟，蒸汽腔横向扩展阶段也增长。

4.3 井距对产量的影响

合理的井网密度能最大程度提高油井的泄油半径和供液能力，综合考虑SAGD 生产中井的波及范围以及钻井成本，井距一般为100～300 m，因此，分别取井距100 m、200 m和300 m，进行产量预测（图7）。

从图7 可以看出，随着井距的增大，蒸汽腔横向扩展阶段的时间逐渐增长，蒸汽腔与相邻蒸汽腔接触后，井距的增加会使蒸汽腔向下扩展阶段开始时的初始产量增加。小井距时，蒸汽腔横向扩展阶段时间短，有利于井间可采储量的快速采出，更适用于需要尽快采出全部储量的小型油田；大井距时，蒸汽腔横向扩展阶段时间长，可确保高效持续开采，更适用于需要稳定生产的大型油田。另外，也要考虑施工成本、经济效益以及开发时间，综合确定最佳井距[23]。

5 结论

（1）蒸汽腔横向扩展阶段初期，热穿透深度对产量的影响大于蒸汽腔界面倾角，产量增大；蒸汽腔横向扩展阶段后期，蒸汽腔界面倾角对产量的影响大于热穿透深度，产量减小。蒸汽腔向下扩展阶段，蒸汽腔界面倾角和热穿透深度同时减小，产量继续减小。

（2）抛物线产量预测模型在预测时唯一需要假定的参数为初始热穿透深度，该参数对SAGD 生产中产量预测的影响并不大。随着SAGD 的进行，不同初始热穿透深度预测的产量会越来越接近，充分体现了该模型的适用性。

（3）分别以初始热穿透深度、储集层厚度和井距为变量进行分析，结果表明，SAGD 更适用于开发储集层厚度大的油藏。另外，需要结合油田实际情况确定最佳井距。

符号注释

a——蒸汽腔横向扩展阶段蒸汽腔界面曲率系数，m-1；

at——蒸汽腔横向扩展阶段t时刻蒸汽腔界面曲率系数，m-1；

at+Δt——蒸汽腔横向扩展阶段t+Δt时刻蒸汽腔界面曲率系数，m-1；

b——蒸汽腔向下扩展阶段蒸汽腔界面曲率系数，m-1；

bt——蒸汽腔向下扩展阶段t时刻蒸汽腔界面曲率系数，m-1；

bt+Δt——蒸汽腔向下扩展阶段t+Δt时刻蒸汽腔界面曲率系数，m-1；

f(x)——单侧蒸汽腔界面形状函数；

g——重力加速度，m/s2；

h——储集层厚度，m；

Hy——蒸汽腔向下扩展阶段半井距处蒸汽腔高度，m；

Hy,t——蒸汽腔向下扩展阶段t时刻半井距处蒸汽腔高度，m；

Hy,t+Δt——蒸汽腔向下扩展阶段t+Δt时刻半井距处蒸汽腔高度，m；

i——第i个微元；

Ko——油相渗透率，mD；

L——单侧蒸汽腔界面长度，m；

Lc——半井距，即蒸汽腔向下扩展阶段单侧蒸汽腔宽度，m；

m——原油黏温系数；

Np——单位长水平井段累计产油量，m3/m；

qo——单位长水平井产量，（m3·s-1）/m；

qod——蒸汽腔向下扩展阶段单位长水平井段产量，（m3·s-1）/m；

qos——蒸汽腔横向扩展阶段单位长水平井产量，（m3·s-1）/m；

t——时间，s；

tp——蒸汽腔扩展到半井距的时间，s；

Um——蒸汽腔横向扩展速度，m/s；

Umi——蒸汽腔横向扩展阶段第i个微元水平移动速度，m/s；

Uv——垂直于蒸汽腔界面方向扩展速度，m/s；

Uvdi——蒸汽腔向下扩展阶段第i个微元垂直于蒸汽腔界面方向移动速度，m/s；

Uvsi——蒸汽腔横向扩展阶段第i个微元垂直于蒸汽腔界面方向移动速度，m/s；

Uy——蒸汽腔向下扩展阶段蒸汽腔下降速度，m/s；

Uyi——蒸汽腔向下扩展阶段第i个微元垂直移动速度，m/s；

Ws——单侧蒸汽腔宽度，m；

Ws,t——t时刻单侧蒸汽腔宽度，m；

Ws,t+Δt——t+Δt时刻单侧蒸汽腔宽度，m；

x——到生产井水平距离，m；

xi——第i个微元距生产井的水平距离，m；

Zi——第i个微元距离生产井水平面的高度，m；

α——储集层热扩散率，m2/s；

γ——热穿透深度，m；

ΔHi——蒸汽腔向下扩展阶段第i个微元一个时间步长的垂直位移，m；

ΔSo——初始含油饱和度与残余油饱和度之差；

Δt——时间步长，s；

Δxi——蒸汽腔横向扩展阶段第i个微元一个时间步长的水平位移，m；

θ——蒸汽腔界面倾角，（°）；

μo——原油黏度，mPa·s；

νo——储集层温度下原油运动黏度，m2/s；

νos——蒸汽温度下原油运动黏度，m2/s；

ξ——到蒸汽腔界面的垂直距离，m；

ρg——蒸汽密度，kg/m3；

ρo——原油密度，kg/m3；

ϕ——孔隙度；

∇Φ——流动势函数梯度；

∇Φer——文献［14］中定义的流动势函数梯度；

∇Φm——本文提出的流动势函数梯度。