巧用平移打开思路

朱德云

有些几何题初看很难入手，但把圖形的某一部分沿着一定的方向平行移动到另一需要的位置后，就发现新图形的一些奇妙性质，解题思路也就随之畅通.请看下面几个竞赛题的例子.

例1 在等腰△ABC的两腰AB，AC上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2，求证：EF≥1.

证明 如图1，把CF平移至DE，连接CD，得CFED，连接AD，BD.

得DE=CF=AE，

DE∥CA，

DC=EF，

于是∠EAD=∠EDA=∠DAC，

即AD为等腰△ABC顶角∠A的平分线，

所以AD为BC的垂直平分线，

故DB=DC=EF，

于是2EF=DB+DC≥BC=2，

从而EF≥1.

例2 如图2，△ABC中，∠ABC=46°，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21°，试确定∠CAD的度数.

解 如图2，把AB平移至ED，连接AE，得ABDE，连接CE.

得DE=AB=DC，

∠CDE=∠ABC=46°，

AE∥BD.

于是∠DCE=∠DEC=67°.

又∠ADC=∠ABC+∠DAB=67°，

故四边形ADCE为等腰梯形.

因此AC=DE=DC，

∠CAD=∠ADC=67°.

例3 如图3，△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且BM=AC，点N在边AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P.

求证：∠BPM=45°.

证明 如图3，把AN平移至ME，连接ME，得AMEN，连接BE.

因为ME∥AN，∠C=90°，

所以∠CME=∠C=90°，

ME⊥BC.

因为BM=AC，ME=AN=MC，

所以△BME≌△ACM.

所以BE=AM=NE，

∠BEM=∠AMC.

因为∠CAM+∠AMC=90°，

∠CAM=∠MEN，

所以∠MEN+∠BEM=90°.

所以△EBN为等腰直角三角形.

所以∠BNE=45°.

因为AM∥NE，

所以∠BPM=∠BNE=45°.

例4 如图4，△ABC是正三角形，△A1B1C1的边A1B1，B1C1，C1A1交△ABC各边分别于C2，C3，A2，A3，B2，B3.已知A2C3=C2B3=B2A3，且（C2C3）2+（B2B3）2=（A2A3）2.

求证：A1B1⊥A1C1.

证明 如图4，把C3A2平移至C2O，连接A2O，得A2C3C2O，连接OA3，OB3.

得OC2=A2C3=B3C2，

∠OC2B3=∠C=60°，

OA2=C2C3，

OA2∥C2C3.

故△OC2B3是正三角形.

从而∠OB3C2=60°=∠B，

OB3=B3C2=A3B2.

故OB3∥A3B2.

则四边形OB3B2A3是平行四边形.

得OA3∥B3B2，OA3=B3B2.

因为（C2C3）2+（B2B3）2=（A2A3）2，

所以（OA2）2+（OA3）2=（A2A3）2.

故∠A2OA3=90°.

因为OA3∥B3B2，OA2∥C2C3，

即OA3∥A1C1，OA2∥A1B1，

所以∠C1A1B1=∠A2OA3=90°.

故A1B1⊥A1C1.

上述几例，都存在无公共端点的相等线段这一条件，在解法上都有一个共同的特点：利用平移变换，把无公共端点的相等线段转化为具有公共端点的相等线段，从而使问题获得巧妙解决.