带残余频偏的LSC-DS-CDMA 信号伪码估计*

潘微宇，赵知劲 ，2

（1.杭州电子科技大学 通信工程学院，浙江 杭州 310018；2.中国电子科技集团第36 研究所 通信系统信息控制技术国家级重点实验室，浙江 嘉兴 314001）

0 引言

直接扩频序列码分多址（Direct Sequence Code Division Multiple Access，DS-CDMA）采用高速率的伪码对信息码进行扩频调制，具有较强的隐蔽性和抗干扰能力[1]。DS-CDMA 信号可根据扩频方式分为短码（Short Code，SC）DS-CDMA 和长码（Long Code，LC）DS-CDMA 两种信号，为了进一步提高保密性，利用长码对短码扩频信号做加扰处理，得到长短码（Long and Short Code，LSC）DS-CDMA 信号。SC-DS-CDMA 信号用一周期扩频码调制一个信息码，文献[2]-[3]分别采用多重信号分类法[2]和平行因子法[3]实现了各用户伪码盲估计；文献[4]利用特征值分解法和Givens 矩阵旋转法来估计SC-DS-CDMA 信号各用户的伪码，但在寻找Givens 矩阵旋转角度时采用极值法，难以得到最佳旋转角度，估计性能不佳；LC-DS-CDMA 信号用一周期扩频码调制多个信息码，文献[5-6]通过构建张量模型，分别利用TUCKER 分解[5]和CP 分解[6]估计LCDS-CDMA 信号的伪码；文献[7]采用迭代最小二乘投影算法和库搜索估计异步LC-DS-CDMA 信号各用户的伪码；文献[8]采用矩阵填充理论、奇异值分解和FastICA 算法估计LSC-DS-CDMA 信号各用户复合码，并利用m 序列三阶相关特性估计出各用户长短码；文献[9]利用FastICA 算法分离LSC-DS-CDMA 信号各用户复合码，并基于分圆陪集理论和三阶相关特性估计长短码。上述研究都只针对理想信号，实际接收信号总会带有小的残余频偏[10]，使得上述方法无法直接使用。文献[11]-[12]分别利用线性调频Z 变换法和无迹卡尔曼滤波法估计残余频偏，但无法完全消除频偏；文献[13]利用特征值分解法得到带残余频偏的伪码，并通过全数字锁相环（Digital Phase Locked Loop，DPLL）对频偏进行跟踪消除，实现了长码直扩信号的伪码估计，但并未对LSC-DS-CDMA 信号进行研究。

针对带残余频偏的LSC-DS-CDMA 信号，本文按长码周期和短码周期进行二次分段构成信号矩阵，利用特征值分解、全数字锁相环和Givens 旋转消除残余频偏和估计得到各用户复合码，提出了结合随机差分和模拟退火思想的鲸鱼优化算法来求解总方差最小值的Givens矩阵的最佳旋转角，最后根据梅西算法和相关运算估计各用户的长码和短码。

1 信号模型

假设LSC-DS-CDMA 信号中各用户扩频短码和长扰码的码片速率相等，且已完成盲同步[8]，以扩频短码码片速率对接收到的信号进行采样，则包含R 个用户的带残余载波的LSC-DS-CDMA 信号模型为：

其中，f△为残余频偏；φ ∈（0，2π）表示均匀分布的随机相位；Ar、dr（n）、sr（n）分别表示第r 个用户的信号幅度、信息码和复合码，sr（n）=br（n）cr（n），br（n）表示周期为Nb的扩频短码，选用Walsh码，cr（n）表示周期为Nc的长扰码，选用m 序列；各个用户的信息码、短码和长扰码均相互独立；Nh=PNc为接收信号长度，P 表示信号周期个数，M=「Nc/Nb表示一周期复合码所调制的信息码个数，“「”为向上取整；w（n）表示均值为零、方差为σ2的复高斯白噪声。

先以长扰码周期Nc对接收信号进行分段，yp=[y（（p-1）Nc+1）y（（p-1）Nc+2）…y（pNc）]H，p=1，2，…，P。由于一周期的长扰码包含M 个扩频短码，因此可利用短码周期Nb对yp再进行分段，ypm=[y（（p-1）Nc+（m-1）Nb+1）y（（p-1）Nc+（m-1）Nb+2）…y（（p-1）Nc+mNb）]H，将不同接收信号周期p中的第m 段信号依次进行排列，可得共M 个信号矩阵，表示为：

由式（2）可知，每个信号矩阵中均包含了各用户的复合码片段信息和载波频偏，因此首先需要消除载波频偏影响，依次估计出各用户完整的复合码，最后可由复合码估计得到各用户的长短码。

2 基于DPLL 和Givens 旋转的复合码估计

令z（n）=ej（2πf△n+φ），矩阵ypm的向量形式可表示为：

其中，wpm表示第周期p 中的第m 段信号的噪声，srm=[sr（（m-1）Nb+1）…sr（mNb）]H，dr[（p-1）M+m]表示srm对应的信息 码。Zpm=diag{z[（p-1）Nc+（m-1）Nb+1]，z[（p-1）Nc+（m-1）Nb+2]，…，z[（p-1）Nc+mNb]}，还可表示为：

其中，Z11=diag{ej（2πf△nb）}，由于各用户间扩频短码和长扰码相互独立，且不同用户的信息码与噪声统计独立[14]，结合式（4），可得ypm的自相关矩阵为：

2.1 残余频偏消除

记Gm=Z11Hm=Z11[h1m，h2m，…，hRm]，hrm=[hrm（1），hrm（2），…，hrm（Nb）]H表示Hm中第r个特征向量。由于Z11=diag{ej（2πf△nb）}，则Grm=Z11hrm可以展开为：

利用DPLL 消除残余载波[13]，得到第r 个特征向量的估计值rm。将Gm中R 个特征向量依次送入DPLL 进行残余载波的跟踪消除，得到Hm的估计值

2.2 复合码估计

信号子空间Hm中的R 个特征向量无法保证与R个用户的复合码一致，从空间几何的角度看，Hm和真正的复合码序列子空间Sm=[s1m，s2m，…，sRm]存在一定的夹角[4]，利用Givens 旋转可实现信号子空间对应的角度旋转，以得到真正的复合码序列子空间估计。Givens 旋转矩阵表示为：

其中，θr1，r2∈（0，2π），0＜r1，r2≤R。将视为荷载矩阵，利用（R-1）个Givens 旋转矩阵T1，2，T2，3，…，TR-1，R对其进行旋转，即：

3 鲸鱼优化算法的改进及伪码估计

3.1 鲸鱼优化算法（WOA）

WOA 算法具体分为包围猎物、螺旋泡沫网狩猎和搜索猎物三部分。利用适应度函数f（X（t+1））来衡量鲸鱼，令包围猎物和螺旋泡沫网狩猎两种方式的概率p 相同[17]，当p＜0.5 时采取包围猎物方式，p≥0.5 时采取螺旋泡沫网狩猎方式，更新公式为：

其中，t 为当前迭代次数；X（t）为当前鲸鱼个体位置，X*（t）为当前最优个体位置；b为常数，ε 为[-1，1]间的随机数，p 为[0，1]间的随机数；I1和I2为系数变量，分别表示为：

式中，i1和i2为 [0，1]间的随机 向量，tmax为最大迭代次数，α 为由2 线性递减至0的收敛因子。

鲸鱼除了围捕猎物外，还可以随机寻找新的猎物，当|I1|＜1 时利用式（10）进行位置更新，当|I1|≥1时随机选择一个鲸鱼个体作为当前最优个体，其他个体向其靠拢，表达式为：

其中，Xr（t）为随机选择的鲸鱼个体位置。

3.2 结合模拟退火思想的随机差分变异鲸鱼优化算法（SA-IWOA）

为了提升鲸鱼算法的全局搜索能力，首先对收敛因子α 改进如下：

改进后的α 在算法初期数值较大且缓慢减小，可以扩大搜索范围，加强全局搜索能力；在后期α 减小快，加强局部搜索能力。

然后利用随机差分变异策略对位置更新后的鲸鱼种群进行如式（16）所示的扰动更新：

其中，“·”为点乘运算，I3为[0，1]间的随机向量，Xp（·）表示扰动位置，（t）为随机选择的鲸鱼个体位置。增强种群个体的多样性，防止算法早熟而陷入局部最优。

最后利用模拟退火的思想，在每次扰动更新后，如果新个体的适应度函数f（Xp（t+1））比更新前的f（X（t））小，则接受更新；否则通过接受概率判断是否更新，这样使种群个体往最优解靠近的同时，使算法具有跳出局部最优的能力。接受概率γ 为：

其中，β表示温度。

3.3 基于SA-IWOA 的最优角度求解

令X=[θ1，2，θ2，3，…，θR-1，R]为鲸鱼个体，将矩阵的总方差值视作适应度函数，即，根据式（7）～式（9），可由X 计算得到。利用SA-IWOA 求解的具体步骤如下：

（1）初始化算法参数：种群数目J、最大迭代次数tmax、初始温度β、i1和i2；

（3）根据式（10）和式（14）更新鲸鱼位置，利用式（7）计算Givens 旋转矩阵利用式（8）计算m，计算各鲸鱼个体的f（X（t））；

（4）根据式（16）对位置更新后的鲸鱼个体进行扰动更新，利用式（7）计算Givens 旋转矩阵利用式（8）计算m，计算每个鲸鱼个体的f（Xp（t+1））；

（5）若f（Xp（t+1））＜f（X（t）），则X（t+1）=Xp（t+1）；否则，产生一个随机数I4∈[0，1]，利用式（17）计算γ，当I4落在区间[γ，1]内时，X（t+1）=Xp（t+1），反之X（t+1）=X（t+1），然后进行退温操作：β′=0.95β；

（6）记录此时总方差值最小的鲸鱼个体即最优个体Xg，判断迭代次数是否为最大值，若是，则输出最优个体，否则分别根据式（11）、式（12）和式（15）更新参数I1、I2和α；返回步骤（3）继续执行。

3.4 长扰码和扩频短码的估计

由式（2）可知，依次估计出M 个信号矩阵Ym中的各用户复合码片段，然后按顺序进行拼接，即可得到共RM个长度为Nc的模糊序列其 中。R 个用户的复合码就包含在这RM个模糊序列中，将其记为。但由于每段复合码都可以独立取正负号，导致存在幅度模糊的问题，且还存在短码的影响，无法估计各用户的长扰码，通过两次延迟相乘的方式消除幅度模糊和短码影响：

其中，1≤n≤Nb，1≤λ1≤R。

所以可得本文提出的带残余载波的LSC-DS-CDMA信号伪码估计算法（简记为LSC-SA-IWOA）主要步骤如下：

（1）利用长码和短码周期对接收信号进行2 次分段，构成带残余载波的接收信号矩阵Ym；

（2）对信号矩阵进行特征值分解，得到带残余载波的信号子空间Gm；

（4）利用SA-IWOA 算法求解最优旋转角，并利用Givens旋转矩阵对信号子空间进行旋转，得到各用户的复合码估计m；

（5）通过两次延迟相乘的方式消除幅度模糊和短码影响，并根据梅西算法和相关运算分别获得长码和短码估计。

4 算法仿真与性能分析

在仿真实验中，各用户的信号幅度相同，即Ar=A；信息码是随机生成的序列{+1，-1}；定义信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）为表示接收信号方差；长扰码使用8 阶m 序列，扩频短码使用周期长度为Nb=64 的OVSF 码；种群数目J=50，最大迭代次数tmax=400，初始温度β=1。长码和短码的误码率的平均值称为长短码误码率，用其衡量算法的伪码估计性能。以下仿真结果均为400 次蒙特卡洛实验的平均。

4.1 实验1：不同频偏对长短码估计性能的影响

接收信号周期数P=100，用户数R=2，当频偏分别为f△=0、f△=±0.02、f△=±0.03、f△=±0.04时，本文算法对长短码估计的长短码误码率曲线如图1 所示。

图1 不同频偏对长短码估计性能的影响

由图1 可知，当|f△|相同时，误码率基本相同；当|f△|逐渐增大时，误码率也逐渐升高，当频偏分别为f△=0、f△=0.02、f△=0.03 和f△=0.04时，误码率低于1%时本文算法所需的信噪比分别为-7.1 dB、-5.5 dB、-4.8 dB、-3.9 dB，说明DPLL 能有效去除残余频偏。

4.2 实验2：不同周期数对长短码估计性能的影响

残余频偏f△=0.02，用户数R=2，当接收信号周期数P 分别为50、100 和150时，本文算法的长短码误码率曲线如图2 所示。

图2 不同周期数对长短码估计性能的影响

由图2 可知，接收信号周期数越多，误码率越低。当接收信号周期数P 分别为50、100 和150，误码率低于1%时本文算法所需的信噪比分别为-2.5 dB、-5.5 dB、-6.9 dB。因为接收信号周期数越多，其包含的有用信息更多，特征值分解法的结果越准确，利用Givens 矩阵旋转和SA-IWOA 算法估计的复合码也就越准确，最终利用梅西算法和相关运算估计长短码的误码率就越低。

4.3 实验3：不同用户数对长短码估计性能的影响

接收信号周期数P=100，残余频偏f△=0.02，当用户数R 分别为2、3 和4时，本文算法的长短码误码率曲线如图3 所示。

图3 不同用户数对长短码估计性能的影响

由图3 可知，用户数越多，长短码估计性能越差。因为用户数越多，用户间信号干扰越大，导致特征值分解法的结果误差越大，使得Givens 矩阵旋转的误差越大，导致最终的长短码估计性能越差。

4.4 实验4：鲸鱼算法对比

接收信号周期数P=100，残余频偏f△=0.02，用户数R=2，当信噪比为-9 dB时，应用本文所提出的SA-IWOA算法、混沌鲸鱼算法（COWA）[17]和随机差分鲸鱼算法（IWOA）[20]得到的适应度函数即总方差值随迭代次数的变化如图4 所示。

图4 总方差值随迭代次数的变化图

由图4 可知，本文所提的SA-IWOA 算法收敛速度最快，求得的总方差值最小，即估计的旋转角度优于IWOA和COWA 算法的。

4.5 实验5：伪码估计算法对比

实验条件同实验4，将CWOA 和IWOA 用于本文算法中分别简记为LSC-CWOA 和LSC-IWOA，本文算法LSC-SA-IWOA 和LSC-CWOA、LSC-IWOA、文献[4]算法的长短码误码率如图5 所示。

图5 长短码误码率对比

由图5 可知，本文算法的误码率最低，其次是LSCIWOA 算法，然后是LSC-CWOA 算法，最后是文献[4]的极值法。极值法在估计总方差的最小值时，极易得到局部最优解，缺乏全局搜索的能力；CWOA 利用混沌序列增加了全局搜索的能力，但局部搜索的能力不强；IWOA 利用随机差分变异的方式增加全局搜索的能力，但变异的结果随机，差的变异结果在一定程度上影响了最优角度的求解。

5 结论

针对带残余载波的LSC-DS-CDMA 信号的伪码估计，先根据长码周期和短码周期对接收信号进行分段并构建矩阵；接着利用特征值分解和DPLL 得到消除残余频偏的用户特征向量子空间；再根据Givens 矩阵旋转，利用结合SA-IWOA 算法求出最佳旋转角，估计出各用户的复合码序列并依次拼接；最后利用梅西算法和相关运算估计各用户的长码和短码。仿真实验表明，本文算法能有效估计带残余频偏的LSC-DS-CDMA 信号伪码，估计性能优于文献[4]的极值法，所提出的SA-IWOA 算法的寻优性能优于IWOA 和CWOA。