基于层次分析法数学建模的次龙骨选型研究

闫绍明，甄 强，刘 孚，李海新，乔 磊

（中建一局集团第五建筑有限公司，北京 100024）

0 引言

在工程施工决策过程中常会面临最优选型的问题。应用于智慧决策中的层次分析法数学建模，将施工管理中的材料选型决策问题的评价准则分解成若干个指标，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序和总排序，实现多方案优化决策。层次分析法是将人的思维层次化、数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量依据，可为施工机械及材料供应商的选择等问题提供决策依据。

1 层次分析法

1.1 简介

层次分析法（Analytic hierarchy process，AHP），由美国运筹学家沙旦于20世纪70年代初提出，是一种定性与定量相结合的层次权重决策分析方法，其基本步骤是将关于决策的因素划分为目标层、准则层和方案层，通过两两比较形成一个递阶有序的层次分析模型，计算出方案层对目标层的相对权重值进行方案优劣性排序，最终从候选方案中选出最优方案。

1.2 判断矩阵

矩阵A为该层次因素两两对比得到的判断矩阵，式中，aij为该层次因素按照表1两两比较其重要程度而得出的标度。

表1 判断矩阵标度及其含义

1.3 一致性判断

判断矩阵必须进行一致性检验，否则其不具备评价的意义。判断矩阵的一致性检验主要使用一致性比率法（Consistency ratio，CR），一致性检验需引入一致性指标CI和一致性检验系数CR，主要通过以下公式计算：

式中：RI为随机一致性指标，λmax为矩阵A最大特征值。当CR＜0.1时，认为判断矩阵通过一致性检验；当CR＞0.1时，判断矩阵的一致性是不被接受的，需作适当修正直至一致性检验通过。

一致性检验是评价权重排序、计分合理与否的基本指标。若检验通过，归一化后的特征向量则为权重向量；如若检验未通过，则需对判断矩阵做出适当修改直至取得令人信服的一致性为止。

对通过一致性检验的权重结构进行分析，采取专家评判法对各因素的重要程度进行确定后，进行方案层的组合权重计算，从而得出最优方案。

2 案例研究

2.1 工程概况

本工程位于福州市仓山区，由13栋高层住宅、1栋幼儿园组成，高层住宅结构类型为框架-剪力墙结构，其余建筑为框架结构。

本工程模板板材采用16mm厚黑色覆膜多层板板材，支撑采用48mm×3.2mm承插型盘扣架钢管支架。主楼梁支撑架采用盘扣式支撑架配合可调托座，支撑架立杆底部垫木质垫板，支撑架步距为1.0m，梁支撑架立杆横向间距0.6m，纵向间距1.2m，支撑架采用独立支撑，梁支撑体系搭设完成后将梁支撑立杆与楼板支撑架立杆用钢管连成整体。楼板支撑架纵横向间距为1.2m，水平杆步距为2.0m，支撑架立杆距墙间距应≤300mm。梁腹板面和底面及楼板主龙骨均采用50mm×50mm×3mm双方钢。对于次龙骨选型采用层次分析法进行决策。

2.2 次龙骨选型方案对比

1）木方可操作性较高，可根据现场情况进行再加工，可用范围非常广泛，如墙面、平楼面、斜楼面、门窗洞口龙骨等，与面板连接采用木工钉，通用性强；缺点是现场加工会造成材料浪费、周转率低、污染环境。

2）钢包木龙骨较木方龙骨周转次数增加，损耗率降低；但铁皮易受损。

3）方钢模板加固体系为新工艺，抗扭曲，荷载大，操作简单，施工效率高，具有平整度好、周转率高的效果，节省大量木方，节能环保；但相应价格较高。

2.3 次龙骨选型建模步骤

1）第1步，通过层次分析法对次龙骨选型共3种方案：木方、钢包木、方钢。

2）第2步，建立层次结构模型。层次结构模型的目标、备选方案均已确定，对于考虑的因素或评价的准则，综合考虑多类指标，通过咨询专家、内部调研、查阅文献等方式，确定出经济性、利用率、施工技术、材料受力、绿色施工5种因素。指标两两对比，根据专家意见，生成正互反式权重判断矩阵。

3）第3步，对判断矩阵进行一致性判定。通过一致性判定后的判断矩阵可用于层次单排序，即确定权重。逐步确定各层次权重，确定完整的层次分析法数学模型，并进行求解。

2.4 次龙骨选型层次分析法数学模型

次龙骨选型层次分析法基本步骤与结构模型如图1，2所示。

图1 次龙骨选型层次分析法基本步骤

图2 次龙骨选型层次结构模型

首先确定5个指标的权重。通过专家打分，对准则层的5种指标两两对比得到的判断矩阵，并对判断矩阵进行一致性检验，通过检验后，求得权重，如表2所示。若该矩阵可以通过一致性判断，可通过对该矩阵进行归一化处理，继而得出准则层5种指标的权重。

表2 准则层判断矩阵及权重

对3种方案的每个指标依次评价，生成判断矩阵，通过一致性判断后，得出的权向量可以视为3种方案的此项得分，全部算出后可进行总排序，即选定优秀方案。表3为3种方案的经济性判断矩阵及权重。

表3 经济性判断矩阵及权重

通过计算该判断矩阵通过一致性判断，计算可得出3种方案在经济性这一指标中的权重。同样步骤计算出其他4种准则的判断矩阵及权重。计算总权重后，得出层次分析法次龙骨选型的总排序如表4所示。

表4 次龙骨选型总权重及总排序

计算总排序后得出结论，通过层次分析法数学建模对次龙骨选型的结果是方钢。

2.5 应用效果评价

方钢的截面抵抗矩及截面惯性矩远大于木方，因此次龙骨采用方钢的加固间距要大于木方，施工周期相应缩短，施工质量更加容易控制；采用方钢次龙骨可保证覆膜胶合板的平整度，增加模板周转次数；采用方钢次龙骨可大大节省原木用量，节能环保。综合判断结果与层次分析法的判断结果一致，层次分析法在次龙骨的选型中取得良好的结果。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，将决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法，尤其适用于人的定性判断起重要作用且对决策结果难以直接准确计量的场合。

3 结语

应用层次分析法进行次龙骨材料选型，能将各个指标因素量化，减少权重判断的主观影响，保证了方案选择的科学合理性，规范决策过程。建立数学模型的过程资料可重复应用于下次龙骨选型决策中，提高决策管理参与度，降低决策门槛，总结固化决策经验，有效提高施工管理水平，为智能化施工管理提供一种新思路，符合智慧建造的行业需求。