轴对称凸域的弦协差及其应用

赵江甫， 刘海

1. 福建江夏学院 数理教研部， 福州 350108； 2. 华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心， 武汉 430079

在不考虑旋转与反射的前提下， 弦协差能否唯一确定一个凸体? 这就是著名的马赫猜想． 马赫猜想也等价于这样一个问题： 所有的有向弦长分布能否确定一个凸体? 运用弦长分布来证明马赫猜想是一个非常有效的办法． 目前， 当n=2时， 马赫猜想得到了肯定的回答[1-3]．

随着学者们的不断深入研究， 弦协差已经应用到了众多领域， 比如凸几何、 图像分析、 傅里叶分析中的相位恢复、 晶体学[4-6]等． 因此求出弦协差的具体解析式显得尤为重要， 但这并不容易． 在这方面， Ohanyan和他的团队做出了很大贡献． 他们利用定义法， 得到了一些特殊凸体(比如圆盘、 等边三角形域、 矩形域、 圆柱体、 椭圆柱体、 三棱柱、 球体等)的弦协差解析式[7-14]．

尽管如此， 仍有很多凸域(比如正五边形域、 任意四边形域、 任意正多边形域等)的弦协差没有解决． 而且目前的研究成果大多是针对中心对称区域， 轴对称区域较少． 为此， 本文以正五边形域为例， 研究轴对称凸域的弦协差及其在几何概率中的应用．

1 预备知识

在n维欧氏空间Rn中， 设K为凸体(具有非空内点的紧凸集)，Vn为n维勒贝格测度，Sn-1为球心在原点的n-1维单位球面[15-16]．Sn-1中的每一个元素u称为一个方向． 经过原点且与方向u平行的直线记为Gu． 垂直于方向u且通过原点的n-1维子空间记为u⊥． 凸体K在u⊥上的正交投影记为∏ru⊥K．

定义1[13]设G(x，u)为平行于方向u且与∏ru⊥K相交于点x处的直线， 则称函数

为凸体K在t∈R1处沿方向u的定向弦长分布函数， 其中bK(u)=Vn-1(∏ru⊥K)．

定义2在Rn中， 称函数tmax(u)=max{V1(Gu∩K)}为凸体K沿方向u的最大弦长．

定义3[17]在Rn中， 称函数r(l，u)=min{l，tmax(u)}为凸体K的限弦函数．

定义4[18]在Rn中， 设y∈u⊥， 则称函数

XuK(y)=V1{K∩(Gu+y)}

为凸体K沿方向u的X-射线．

定义5[18]在 Rn中， 称函数

AK(t，u)=Vn-1{y∈u⊥：XuK(y)≥t}

为凸体K的限弦投影函数． 特别地， 当t=0时，AK(t，u)就是K在u⊥上的正交投影； 当t≥tmax(u)时，AK(t，u)=0．

定义6[13]在Rn中， 称函数

CK(h)=Vn(K∩(K+h))h∈Rn

为凸体K的弦协差[1]， 其中K+h={x+h，x∈K}． 特别地，CK(0)=Vn(K)．

注1对于每一个h∈Rn， 都会存在一个方向u∈Sn-1以及常数l， 使得h=(l，u)． 为方便起见， 记

CK(l，u)=CK(lu)F(t，u)=F(tu)

其中l为h的长度． 特别地， 当l=tmax(u)时，CK(lu)=0．

性质1[2]设AK(t，u)和CK(lu)分别为Rn中凸体K的限弦投影函数和弦协差， 则有

(1)

特别地， 当l=0时， 由(1)式， 可得

(2)

将(2)式代入(1)式， 可得

(3)

注2在R2中， 方向u∈S1可表示为(cosφ， sinφ)，φ∈[0， 2π]， 所以凸体K∈R2的限弦投影函数AK(t，u)、 弦协差CK(lu)、 定向弦长分布函数F(tu)分别可用AK(t，φ)，CK(lφ)，F(tφ)替代， 因此(3)式可化为

(4)

其中F为凸体K的面积．

2 主要结论

定理1设Π是边长为a的正五边形域， 当0≤l≤a时， 其弦协差函数为

(5)

其中，CΠ1，CΠ2，CΠ3如(12)-(14)式所示．

定理2设Π是边长为a的正五边形域， 当0≤l≤a时，Π在t处沿方向u的定向弦长分布函数为

(6)

定理3设Π是边长为a的正五边形域，N是长度为l(≤a)的无向小针， 则小针N含于Π内的运动测度为

(7)

定理4设Π是边长为a的正五边形域，N是长度为l(≤a)的无向小针， 则小针N含于Π内的几何概率为

(8)

定理5设Π是边长为a的正五边形域，Nu是长度为l(≤a)且方向为u=(cosφ， sinφ)的有向小针， 则小针Nu含于Π内的几何概率为

(9)

3 定理的证明

设G为R2中的直线， 其广义法式方程为

xcosφ+ysinφ=p0≤φ<2π， -∞

定义7[17]设K为R2中的凸体， 对任意实数t， 当0≤φ<2π时， 称函数

为凸体K的广义支持函数．

凸体的广义支持函数与限弦投影函数有以下关系[17]：

AK(t，φ)=p(t，φ)+p(t， π+φ)=2p(t，φ)

(10)

设Π是边长为a的正五边形域， 其边界为正五边形ABCDE， 现以AB所在直线为y轴， 线段AB的中点为原点O， 对称轴OD为x轴建立直角坐标系． 由(9)式和(4)式可得弦协差为

(11)

下面证明定理1．

定理1的证明Π的5条边所在的直线方程分别为：

其中

设直线G与5条边AE，ED，DC，CB，BA的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)， 分别联立直线G的方程与5条边的方程， 可解得

则有

t1≥atmax(φ)=t2

因此， 当0≤t≤a时， 直线G与边ED，DC相交， 且有

y2-y3=tcosφ

解此方程可得

因此弦协差为

(12)

则有

t3≥atmax(φ)=t4

因此， 当0≤t≤a时， 直线G与边AE，ED相交， 且有

y1-y2=tcosφ

解此方程可得

因此弦协差为

(13)

则有

t5≥atmax(φ)=t6

则有

t7≥atmax(φ)=t8

因此， 当0≤t≤a时， 直线G与边BA，AE相交， 且有y5-y1=tcosφ， 解此方程可得

因此弦协差为

(14)

则有

t9≥atmax(φ)=t10

综上所述， 当t∈[0，a]时， 正五边形域Π的弦协差为

引理1[12]设K为Rn中的凸体， 对于每一个方向u∈Sn-1， 当t≥0时， 其弦协差CK(tu)关于变量t可微， 且满足

(15)

特别地， 当t=0时， 有

(16)

引理2[14]设K为Rn中的凸体，L是长度为l的线段， 则L含于K内的运动测度为

(17)

其中Oi表示i维单位球面Si的面积．

引理3[13]设K为Rn中的凸体，L是长度为l的线段， 则L与凸体K相交的运动测度为

(18)

其中∂K表示凸体K的边界．

引理4[11]设K为Rn中的凸体，Lu是长度为l且方向为u的有向线段， 则Lu含于凸体K内的概率为

(19)

定理2的证明由(15)式可得凸体K在t点处沿方向u的定向分布函数为

因此正五边形域Π的定向弦长分布函数可表示为

(20)

由(11)式可得

(21)

由(16)式可得

(22)

将(21)-(22)式代入(20)式， (6)式得证．

定理3的证明由限弦函数的定义可得， 当l≤tmax(u)时，r(l，u)=l． 因此(3)式可表示为

当l≥tmax(u)时，r(l，u)=tmax(u)， 因此(3)式可表示为

综上所述， 凸体K的弦协差可表示为

(23)

将(23)式代入(17)式， 得

(24)

在(24)式中， 取n=2， 可得长度为l的小针N含于正五边形域Π内的运动测度为

(25)

将(12)-(14)式代入(25)式， (7)式得证．

定理4的证明长度为l(≤a)的无向小针N含于正五边形域Π内的几何概率为

(26)

在引理3中， 取n=2， 则长度为l(≤a)的无向小针N与正五边形域Π相交的运动测度为

(27)

将(7)式、 (27)式代入(26)式， (8)式得证． 证毕．

定理5的证明在引理4中， 取n=2， 则长度为l(≤a)且方向为u的有向小针Nu含于Π内的几何概率为

(28)

将(12)-(14)式代入(28)式， (9)式得证．

4 结语

本文以正五边形域为例， 讨论了轴对称凸域的弦协差及其应用， 其他轴对称凸域(如等腰梯形域)可类似讨论． 首先详细地给出了正五边形域的广义支持函数的求解过程， 并利用这个函数， 给出当l≤a时正五边形域的弦协差的具体解析式， 增加了能够求解弦协差解析式的2维凸域的种类． 接着， 利用弦协差得到小针含于正五边形域内的运动测度． 在此基础上， 分别计算了无向小针、 有向小针含于正五边形域内的几何概率． 虽然以上结果讨论的均是当小针长度不超过正五边形边长时的情形， 但却提供了一种计算方法， 其他情形都可类似讨论．

另外， 利用定理3中的结果， 可进一步将Buffon投针问题进行推广， 求出小针与特殊网格相遇的概率． 虽然正五边形不能铺满整个平面， 无法组成Buffon网格， 但是添加一个边长与之相等的菱形， 却可以铺满整个平面． 因此， 利用定理3所得的运动测度， 可进一步研究小针与此新型网格相交的概率．