开发拓展型课程，培养学生几何直观

俞全波

[摘要]义务教育拓展型课程的开发注重的是方法的拓展和思维的拓展，目的是通过对拓展问题的解决，感悟数学解题策略.教学设计注重多样性，引导和鼓励学生进行独立思考、合作探究，并运用所学知识分析和解决实际问题.本课堂教学以几何中点有关的轨迹问题的探究，培养学生几何直观，从而提升学生的数学思维和数学素养.

[关键词]拓展型课程;几何直观;问题探究;课堂教学

中学学生发展核心素养主要指学生应具备的能够适应终身发展和社会发展需要的必要品格和关键能力.中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新等六大素养.在数学的教学中，义务教育拓展性课程建设正在如火如荼地进行，为培养学生的兴趣和综合素养，促进学生全面而有个性地发展，本着多样性、层次性、综合性、实践性的基本原则，在各个年级渗透初中数学核心素养，如几何直观、归纳推理能力等.鉴于此分析，数学拓展性课程的开发因着力于普及型课程与提高型课程两方面，普及型课程的开发重点关注教材原有的性质规律，结合生活实例做出合理解释，重在培养学生兴趣;提高型课程可选择适当内容进行拓展，重在培养学生的思维.本文以“轨迹问题”为例，对初中数学如何开发及开展拓展性课程做一些尝试.

教学内容的选择和依据

拓展性课程的开发因以课本为本，教师能通过对教材的系统把控及学生思维的瓶颈提出较好的课题及教学目标.此类问题的选择因侧重于基本思想、基本技能的提升，让学生能通过本节课的学习不仅在知识上有所拓展，更重要的是能体会数学思想并把这一思想用于解决其他问题.因此，本节课的教学对象设定为九年级学生.教学基础是在他们学习了圆的基本性质、弧长计算公式、三角函数及相似三角形的情况下进行的.课题定为“一类与中点有关的轨迹问题的探究”.

教学目标：1.理解轨迹问题的含义，学会用画图猜想点的运动轨迹，进一步运用具体条件验证结论.

2.经历直观感知——画图探究——科学验证的数学学习过程，体会类比的数学学习方法.

3.感受数学中静态与动态的联系，感受在数学变化中找不变的魅力.

教学重点：画图求轨迹并验证轨迹是圆弧还是线段.

教学难点：如何合理使用中点，如何在动态中找不变的量（点、线、角等）是本节课的难点.

教学过程的设计和说明

拓展性课程的编写需思考如何促进学生思维，一般从学生较熟悉的生活情景或者已有的教学基础出发，让学生生成既熟悉又陌生的情愫，从而激发学生的求知欲.教学环节设计因有梯度性，让不同层次的学生都能体会到学习数学的乐趣.同时，在教学形式上更应注重多样性，引导和鼓励学生进行独立思考、主动探究、合作交流，能大胆地用所学知识分析和解决生活问题，从而提升当代中学生的数学素养.

（一）立足课本，提出问题：

在浙教版数学九年级下册第一章“1.1锐角三角函数”有这样一道练习：

如图1所示，一根3m长的竹竿AB斜靠在墙上，当端点A离地面高度AC的长为1m时，竹竿AB的倾斜角α的正切tanα的值是多少？当端点A位于A′时，离地面的高度A′C为2m，倾斜角α′的正切tanα′的值是多少？tanα的值可以大于100吗？

在该问题的基础上作如下修改：

问题1：如图2所示，一根长为2m的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1m，当A点下滑至A′处并且A′C=1m时，木棒AB的中点P运动的路径长为________m.

提出问题：点P的运动路径是什么？

引出课题：点的运动路径问题是我们学习的一个难点，当你遇到一个全新的路径运动问题时，到底如何寻求解题思路是我们这节课要解决的问题.今天就来研究一类与“中点”这一条件有关的路径问题.

（二）探索路径，发觉窍门

問题2：如图3所示，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，D是线段AC的中点，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为________.

教学步骤：

1.要求学生进行独立思考，寻求解决问题的方法，教师根据学生提出的解决问题的办法，进行相应指导.

2.请同学展示探究路径过程.根据观察学生的解决过程，遵循特殊到一般的教学方法，引导学生经历从直观感知——理性认知——几何辩证这样的数学思考过程.

3.进一步提出问题：题目中的关键条件是如何帮助学生发现运动的路径是一段圆弧.在解决完这一问题之后，给今后的解决问题带来哪些经验？问题1和问题2的运动路径都是圆弧，那么轨迹是圆弧的动态图形必须具备怎样的几何特征？

本题有多种说明该轨迹是圆弧的方法：

方法一：由点D是中点及垂径定理可得，∠ADO是直角，则点D的运动路径就是以AO为直径的圆弧.

方法二：连接BC，由AB是直径，得出∠ACB是直角，再根据点D、O分别是AC、AB中点得出DO是三角形ABC的中位线，则DO∥BC，则∠ADO是直角，则点D的运动路径就是以AO为直径的圆弧.

解决该问题的关键之一是在变化中找不变的量——即“动中求静”，关键之二是合理地运用题目中的已知条件来解决问题.得出的一般结论是：轨迹为圆弧的几何图形中有定点及定长，或者图中有定角及定长.问题的本质是：动点到定点的距离保持不变.

设计意图通过对该问题的研究，让学生体会解决路径问题的一般方法，让学生经历从直观画图感知到理性认识的过程.并且初步体会中点在这一问题中的用途.在寻求问题的过程中，引导学生在变化中找不变，在动态中找静态.

（三）运用方法，解决问题

教学步骤：

1.要求学生根据问题1和问题2积累的经验独立思考并寻求解决办法，教师观察学生解决问题的方法.

2.小组讨论，通过猜想——验证——计算解决问题，并尝试能用不同的方法解决这一问题，找到图形与图形之间的联系.

3.课堂展示，请每个小组派代表展示小组学习成果并予以汇报.

解决该问题的方法主要有以下几种：

方法二：如图6所示，取AB的中点O，连接OP，OC，取OC中点N，连接MN，则MN是△POC的中位线，则M的路径是以N为圆心，MN长为半径的圆弧.

方法三：如图7所示，连接AP，PB，由AB是直径，则∠APB是直角，分别取AC，BC中点H，I，连接HM，MI，HI，则△PAB∽△MHI，则∠HMI是直角，而HI是定长，则M点的路径是以HI为直径的圆弧.

方法四：如图8所示，把该半圆补全，便可把问题转化成问题2，思路同上.

（四）归纳总结，形成体系

1.轨迹是圆弧的几何动态图形往往有何特点？

2.你是如何合理使用中点这一条件的？

仅仅作为知识传递的课程不具有拓展性，我们应该把课程背后无限的可能拓开去、展开来.因此，能够使学生具有拓展能力的课程才是真正的拓展性课程，并不是设置一类课程就叫拓展性课程.在解决问题之后，教师要求学生能自行總结轨迹问题是圆弧的几何动态图形所具备的特征，即定点+定长以及定角+定长（本节课介绍90°角）.同时，针对以上问题中所出现的共同条件即“中点”这一条件，让学生能对初中阶段数学解题中能够看到的中点问题作一个简单的总结，遵循了“源于课本，但高于课本”的原则.让学生看到题目中的中点，能结合直角三角形，联系到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理;在圆中，能结合中点考虑到垂径定理;在等腰三角形中，能与等腰三角形三线合一这一定理相结合;同时，在一般的三角形中，能用中位线解决问题，或者构造相关三角形解决问题等等，这些重要经验的积累便是数学拓展课最为重要的价值，为进一步学习打下扎实基础.

教后反思及几点思考

拓展性课程的开发注重的是方法论层面的拓展，而不是窄化意义上知识的拓展.数学学科强调不同的人学习不同的数学，不因知识过分强调往深往难拓展，这样便失去了拓展课本该有的意义.

1.源于课本，“简约”而不简单

本节课从书本一个较简单的问题出发，合理地开发教材，对问题作适当变式，让学生在熟悉的环境下挖掘新的内涵，立足课本、由浅至深、层层深入的教学设计，体现的数学拓展课堂的简约化，简约不是简单的压缩与简化，而是一种深广的丰富，是寓“丰富”于“简单”之中.

2.注重提炼方法，积累经验

拓展课的重要目的是通过对拓展问题的解决，感悟数学解题策略，提炼基本数学方法，从而达到学生能力的目的.本节课的设计紧紧抓住“在变化中找不变”这一原则，时刻抓住图形的特征.在总结方法之后，话锋回转，抓住问题的本质，把这类问题融会贯通，提高学生对该问题更深层次的理解.

3.注意思维转换，拓展思维

拓展学生的思维，其实就是要让学生固有的思维空间进一步扩大，就是要提高学生思维转换的灵活程度.从学生的实际情况看，拓展学生的思维，主要是通过提高学生的思维灵活能力和转换能力来实现的.毕竟，对初中学生而言，其学习经验和生活经验都不足，思维能力也有待提高，要让学生实现思维的高度提升并不容易，而通过转换的思维方式，也是可以实现的.

素质教育要求学生具备较强的综合素养，思维能力就是其中最关键的素质之一.初中数学教师在教学中担负着培养学生数学基础知识，同时也担负着培养学生思维能力，为学生的发展奠定思想基础的重任.因此，在初中数学教学中，教师应该根据学生的需要，对学生进行有针对性的数学思想训练，有效地拓展学生的思维.数学方法是解决问题的手段和工具，而数学思维则是引导学生执行数学思想的关键.数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学.因此，数学思想方法的掌握，是建立在学生数学思维的基础之上的.这就要求初中数学拓展课中，有效开展思维教学，从各方面拓展学生的数学思维，为学生的综合能力的发展奠定基础，这样的拓展课开展才有意义.