复杂介质中电磁波的传播不确定性分析方法研究

程曦 杨东花 马金江

摘要：电磁仿真中，为了提高数值模拟方法的计算精度，必须完善计算过程。通过量化输出结果的不确定度，得到可靠的数值模拟结果的过程，称之为不确定性分析（Uncertainty Analysis）。该文对目前电磁仿真中已有的不确定分析方法的应用场景、优缺点进行讨论、总结。

关键词：不确定性分析方法;数值计算;人工神经网络

中图分类号：TP311      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）15-0001-03

1 引言

获得通信设备、探地雷达等物理系统电磁特性的主要途径有实际测量和数值模拟。受限于相关测试测量设备及实验条件，实际测量往往难以实现。例如，难以准确地、无损地得到人体受到电磁场照射后，不同组织的电磁能量分布，并且相关测量设备价格昂贵。相较于实际测量，数值模拟具有计算快捷、易于实现、成本较低的特点，是获得物理系统电磁特性的重要途径。为了提高数值模拟方法的计算精度，必须完善计算过程，量化输出结果的不确定度，得到可靠的数值模拟结果。不确定性分析（Uncertainty Analysis）是数值模拟计算中一件具有挑战性、不容忽视的任务。

事实上，不确定性分析存在于机械工程[1]、气候建模[2]、计算流体动力学[3]等诸多领域。在计算电磁学领域，相关的国际标准IEEE p1597.1[4]阐述了验证计算模型和仿真的必要步骤，并且提出数值模拟计算有进行不确定性分析的必要性。该标准一经提出，其关于不确定性分析的内容立即受到国内外研究者的重视，不确定性分析方法引起更多的关注和研究。

蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method， MCM）是传统的不确定性分析方法，其计算结果被广泛认可，它的主要缺点是收敛速度慢，需要设置多个配置点，可能需要几千次的计算才能收敛。由于这一缺点，蒙特卡洛方法在某些电磁数值计算中是不适用的，例如，对于一个复杂的计算模型，一台普通的工作站（Work station）运行一次计算可能需要半小时甚至几个小时，执行几千次的数值计算，并等待其收敛是不切实际的，因此需要效率高的替代方法。接下来作者归纳总结目前已有的替代方法及其应用场景，并且比较其优缺点。

2 非嵌入式多项式混沌方法

1938年Wiener[6]提出均匀混沌（Homogeneous Chaos）的概念。Ghanom 和Spanos [7， 8]根据此概念提出多项式混沌方法（Polynomial Chaos）并且将其应用到力学问题。Xiu和Karniadakis[9]扩展了该方法，提出广义多项式混沌方法（Generalised Polynomial Chaos），针对不同的概率密度函数，证明了存在不同的最优多项式混沌与之对应，并指出广义多项式混沌方法比蒙特卡洛方法的计算代价小且速度比蒙特卡洛方法快很多倍。根据求解器的不同，多项式混沌方法分为非嵌入式多项式混沌方法（Non-intrusive Polynomial Chaos）和嵌入式多项式混沌方法（Intrusive Polynomial Chaos）[10]。非嵌入式多项式混沌方法采用已有的求解器，不改变计算过程的内部算法，计算过程可被看作“黑匣子”。

在文献[11]中作者将非嵌入式方法应用于计算移动电话比吸收率（Specific Absorption Rate，SAR）的不确定度。其相关研究背景如下：随着电子技术的发展，人们日常生活中接触的无线电子设备越来越多，这些设备的电磁辐射安全性备受关注。如何从电磁学角度准确评估移动电话等无线设备的安全性是业界研究的热点。在电磁辐射环境下，人体吸收射频电磁场能量会导致局部温度升高，超过机体调控范围的温升会给人体带来不可逆的损伤，热效应是被研究者所公认的射频电磁场的生物效应。比吸收率SAR是射频电磁场对人体产生热效应大小的衡量数据同时也是射频电磁场安全性评估的重要参数之一。移动电话等无线通信设备的SAR可通过实际测量或数值模拟方法两种途径得到。但是实际测量难以准确地、无损地得到人体受到电磁场照射后，不同组织的电磁能量分布，并且相关测量设备价格昂贵，因此通过数值模拟方法计算SAR是发展的必然趋势。

为了比较各种电磁仿真工具，来自世界不同国家的九个实验室进行国际合作，用同一个CAD （Computer-Aided Design， CAD）移动电话模型进行仿真计算SAR [12]。尽管这九个实验室使用了相同的移动电话模型，有些实验室甚至用了相同的电磁仿真软件，他们的计算结果在某些区域却存在明显差异，最大差异约为20%，并不是如设想的那样计算结果能够完全一致。对于SAR这种电磁辐射安全评估参数，20%的差异是不容忽视的。计算过程中，考虑到各实验室设置了不同的网格密度或者CAD移动电话模型放置在头部模型的位置不完全相同等因素，都可能造成计算结果出现差异[13-14]。通过以上实验，研究者证实SAR的数值仿真中不确定性存在的事实，并且有必要量化该不确定性以完善仿真结果。因此，国际标准化委员会ICES/IEEE/TC34将SAR数值模拟计算中的不确定性分析定为相关研究课题之一。

在文献[11]中作者将非嵌入式多項式混沌方法等多种非嵌入式方法应用于计算移动电话SAR的不确定度。文中采用的CAD移动电话模型以及数字头部模型如图1所示，该模型为双频带诺基亚移动电话模型，型号Neo Free Runner，工作频率为890MHz和1750MHz。文中作者指出虽然非嵌入式方法相较于MCM效率提高，但是其仍然需要设置多个配置点，该类方法需要的配置点随不确定输入参数的数量增加而迅速增加，因此当计算模型复杂，不确定输入参数数量多的情况下此类方法的计算量随着增加。此外，各个非嵌入式方法计算配置点的复杂度也随着不确定输入参数的数量而增加。其次，由于多项式混沌方法中的多项式类型取决于输入参数的概率密度函数，该方法需要对大量输入参数建模，得到先验知识，从而准确地选择多项式混沌方法中的多项式类型，然而，在实际工作中，较难获得输入参数的概率密度函数，因此该类方法的实际应用范围较小[11]。B01A86D0-EB3A-46CC-A46F-BC0598190637

3 嵌入式多项式混沌方法

嵌入式多项式混沌方法不需要设置配置点，通过一次计算得到输出结果的不确定度，可提高计算效率。但是，多项式混沌方法与内部算法结合的过程非常复杂，根据内部算法特点，结合形式不同。Edwards[15]将多项式混沌方法代入到时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain， FDTD）的迭代过程以计算输出结果的不确定度、均值等统计特性，该方法为量化FDTD计算结果的不确定性打开了一扇门。Edwards将该方法应用到计算模型简单的电磁问题，考虑了有3个不确定输入参数存在的情况，并且通过假设不确定输入参数服从正态分布以得到先验知识从而选择对应的多项式类型。对于复杂计算模型涉及输入参数数量多，FDTD的吸收边界条件复杂以及不同吸收边界对应的多项式展开形式等问题没有深入研究讨论。

基于Edwards的研究，在文獻[16]中，作者提出一种改进的嵌入式多项式混沌方法，并将其应用于探地雷达（Ground Penetrating Radar，GPR）的数值仿真计算中。文章指出利用探地雷达对土壤质量检测可以实现原地的无损检测，其扫描面积大、检测速度快、检测表面无须做特殊的处理，相比于传统的方式更加经济、快捷[17-22]。然而，在GPR正演模拟中，输入参数可能是不确定的，例如，干土壤的相对介电常数在 2-6范围内变化，导致模拟计算结果中存在不确定性。为使GPR正演模拟结果更加可靠，有必要针对探地雷达建模仿真进行不确定性分析。在文献[16]中，作者将辅助微分方程时域有限差分法与广义多项式混沌展开方法结合即改进的嵌入式多项式混沌方法，并应用该方法对色散土壤模型中的不确定参数引起不确定度进行量化、分析，得到数值仿真结果的不确定度。

与非嵌入式多项式混沌方法相比，结合多项式混沌方法和辅助微分方程时域有限差分法的嵌入式多项式混沌算法可一次性得到数值仿真的输出结果，以及输出结果的不确定度、均值等统计特性，不需要设置配置点，需要的计算量将显著减少。该方法主要缺陷表现在：计算复杂度会随着输入不确定参数集维数增加而迅速增加，显然这对于输入不确定参数集维数较大的情况是不适用的;广义多项式混沌展开通常在仿真模型输入参数变化不大的情况下，可得到的较理想的不确定分析结果。但是在输入参数变化较剧烈，引起数值仿真输出结果较大波动的情况下，该方法很可能达不到预期的结果。多项式混沌方法中的多项式类型取决于输入参数的概率密度函数，该方法需要得到输入参数的先验知识。

4 基于人工神经网络的不确定性分析方法

人工神经网络（Artificial Neural Network， ANN）被广泛地应用于电磁计算领域。在文献[23]中，作者提出构造一种基于ANN的代理模型，对探地雷达数值仿真中的不确定性进行分析、量化。论文中作者对二维探地雷达系统建模仿真中因色散有损土壤介质的不确定性参数所引起的仿真输出结果的不确定性量化分析方法进行研究。通过ANN对训练样本的学习，可以获得GPR正演模拟模型输入与输出间的内在规律，全角从而取代全波仿真快速预测正演模拟的输出，故称为代理模型。根据这些预测值可以量化GPR正演模拟输出信号的不确定性、均值等统计量。

该代理模型融合了一个多层感知器（Multilayer Perceptron，MLP）和一个稀疏自动编码器ANN。由于GPR正演模拟输出结果是高维数据（输入为低维数据），一个具有简单输入输出关系的MLP在处理相对较少数量的高维训练样本时，会因为训练样本不足，训练数据特征缺失，进而产生不准确的预测结果，行之有效的特征学习方法至关重要。因此，在模型的设计过程中引入了一个经过预先训练好的稀疏自动编码器ANN，它包含两个独立的网络，即编码器（编码神经网络）和解码器（解码神经网络）。这两个独立的网络分别用于高维数据的降维与重构，即在训练过程中将高维数据映射到低维数据空间中;在输出预测结果过程中根据低维特征重构出与之对应的原始高维数据结果。文中对构建ANN代理模型的关键问题，如隐藏层激活函数的选择、如何抑制过拟合现象等，进行了详细的比较分析。结果显示：相较于ReLU函数、LReLU函数与PReLU函数，选择ELU函数作为替代模型隐藏层激活函数可获得较为理想的网络性能。最后，经具体应用案例模拟仿真验证分析，在相同的数值模型、不确定性输入参数个数，以及参数变化范围为10%的前提条件下，通过ANN替代模型所得不确定性分析结果与传统基于MCM法所得结果具有较好的一致性，且相较于后者，前者计算时间效率显著提升。

该方法的不足之处是土壤模型较为简单，其被假设为均匀介质，没有考虑土壤的孔隙率等因素，计算模型与实际探地雷达系统相差较大，有待完善电磁仿真模型，考虑现实应用中的真实情况进行非均匀介质建模仿真。尽管该方法中的ANN训练时间以及预测时间相对MCM较短，但是为了得到ANN的训练样本，仍然耗时进行多次全波仿真，训练成本较高，有待进一步减少ANN所需训练样本数，减少时间消耗，提高效率。

5 结论

从国内外的研究现状来看，目前在计算电磁学领域，已经有研究者针对数值计算中的不确定度进行研究，但是针对某一具体模型的不确定性分析的研究较少，且不够深入，例如，针对探地雷达正演模拟中的不确定分析，已有的研究中探地雷达模型较为理想化、简单化，模型有待完善，不确定输入参数数量较少，与实际情况有较大差距，需结合实际应用进一步完善计算模型，并进行不确定性分析。

此外，基于人工神经网络的不确定性分析方法还处于初步探索阶段，是具有较大潜力的不确定度计算方法。应用该方法计算数值模拟计算中的不确定度时，待解决的关键问题有以下几点：

（1） 如何减少ANN训练样本的个数，减少训练成本和时间，防止过拟合，提高效率;

（2） 如何提升ANN模型的鲁棒性，输出稳定的预测结果。B01A86D0-EB3A-46CC-A46F-BC0598190637

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【通聯编辑：梁书】B01A86D0-EB3A-46CC-A46F-BC0598190637