高考解析几何易错点“百度搜索”

邵敏亚

俗话说：人非圣贤，孰能无过;明枪易躲，暗箭难防. 解析几何中，不乏许多恰似“暗箭”的易错点. 为了让考生在高考答题时防患于未然，下面对高考解析几何易错题进行“百度搜索”，旨在帮助大家认清这些易错点的“真面目”.

易错点1：忽视直线倾斜角的取值范围

【例1】经过点（-2，1），倾斜角是直线4x-3y+1=0的倾斜角一半的直线的方程是________.

错解：设所求直线的倾斜角为？琢，则直线4x-3y+1=0的倾斜角为2？琢.

于是，tan2？琢=，即=，∴tan？琢=-2或tan？琢=.

故所求直线的方程为2x+y+3=0或x-2y-4=0.

剖析：错解中只注意了直线倾斜角的关系，而忽视了直线倾斜角的范围，从而导致增解.

正解：设所求直线的倾斜角为？琢，则tan2？琢=，即=，

∴tan？琢=-2或tan？琢=.

又∵2？琢是直线4x-3y+1=0的倾斜角，∴0<2？琢<，0<？琢<，故tan？琢=.

因此，所求直线的方程为x-2y-4=0.

【友情提醒】在求直线倾斜角的过程中，如果遇到一些不确定的变量（如斜率、字母、角度等）时，要根据倾斜角的范围进行合理的分类，确定出相应的倾斜角.

易错点2：写直线的截距式方程忽略截距为零的情形

【例2】求经过两直线7x+8y-38=0和3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

错解：由7x+8y-38=0，3x-2y=0，得交点为（2，3），

因为所求直线在两坐标轴上截距相等，故它的方程可设为+=1，

又此直线经过交点（2，3）， 所以有+=5，∴a=5，

故所求直线方程为x+y-5=0 .

剖析：直线的截距方程+=1只适用与截距不为0的情形. 因而上述解法忽略了截距为0的情形，解法不完整.

正解：（1）当直线过原点时，设方程为y=kx，

∵ 直线过（2，3）点，∴3=2k，k=. 此时方程为3x-2y=0.

（2）当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，解法同上，故所求方程为x+y-5=0.

综上，所求方程为3x-2y=0或x+y-5=0.

【友情提醒】假设过定点P（x0，y0）的直线方程为截距式，即+=1，那么解答时一定要注意a与b为零的特殊情况.

易错点3：忽视直线斜率不存在的特殊情形

【例3】過点P（2，-1）且与点A（-3，-1）和点B（7，-3）距离相等的直线方程是_________.

错解：设所求直线为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，

又点A（-3，-1）点B（7，-3）到此直线距离相等，

所以由点到直线距离公式得=.

即5k=5k+2，由此解得k=-.

所以所求方程为-x-y+-1=0，即x+5y+3=0.

剖析：上述错解中的直线方程是用点斜式设的，默认了直线斜率一定存在. 事实上，当斜率不存在时，过点P（2，-1）的直线x=2也满足题意.

正解：当所求直线过点P（2，-1），且斜率不存在时，方程为x=2，点A（-3，-1）和点B（7，-3）到这条直线的距离都是5，因而x=2满足题意.

当所求直线过点P（2，-1），且斜率存在时，解法同上.

所以所求的直线方程是x+5y+3=0和x=2.

【友情提醒】假设过定点P（x0，y0）的直线方程为点斜式，即y-y0=k（x-x0），那么，解答时一定要注意斜率不存在的特殊情况.

易错点4：忽视圆方程半径的必要条件

【例4】若过点A（4，2）可以作两条直线与圆C ∶ （x-3m）2+（y-4m）2=25（m+4）2相切，则点A在圆C的________（填“外部”“内部”“上面”），实数m的取值范围是________.

错解：因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部.

因为点A在圆的外部，则有（4-3m）2+（2-4m）2>25（m+4）2，因此有240m<-380，解得m<-.

故填：外部，m<-.

剖析：上述错解忽视了圆方程的半径一定要大于0这个前提.应注意条件25（m+4）2>0.

正解：因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部.

因为点A在圆的外部，则有（4-3m）2+（2-4m）2>25（m+4）2，因此有240m<-380，解得m<-. 又因为半径必须大于0，故25（m+4）2>0，即m≠-4，因此m的取值范围是m<-且m≠-4.

故填：外部，m<-且m≠-4.

【友情提醒】二元二次方程表示圆是有条件的，必须有D2+E2-4F >0. 在解决此类问题时，可以直接判断D2+E2-4F >0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2. 对于曲线方程中含有参数的，都要考虑参数的条件.

易错点5：忽视轨迹的完备性

【例5】△ABC的三边a、b、c（a>b>c）成等差数列，A、C两点的坐标分别是（-1，0）、（1，0），求顶点B的轨迹方程.

错解：设点B的坐标为（x，y）.

∵a、b、c成等差数列，∴a+c=2b，即BC+BA=2AC，∴BC+BA=4.

根据椭圆的定义易知，点B的轨迹方程为+=1.

剖析：错误的原因是忽略了题设中的条件a>b>c，使变量x的范围扩大，从而导致错误. 另外一处错误是当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形.

正解：（同错解）又∵a>c，即>，解得x<0.

又点C不在x轴上，∴ x≠-2.

故所求的轨迹方程为+=1（-2

【友情提示】求轨迹方程时，一定要注意求得的方程所表示的曲线上的点是否都满足题意，以确保轨迹的完备性.

易错点6：忽视圆锥曲线标准方程的种类

【例6】已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e=，且过点P（2，3），求此椭圆的标准方程.

错解：设椭圆的标准方程为+=1（a>b>0），

由题意知=，+=1，a2=b2+c2，解得b2=10，a2=40.

所以所求椭圆的标准方程为+=1.

剖析：上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上.

正解：当焦点在x轴上时，解法同上，所求椭圆的标准方程为+=1.

当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 +=1=1（a>b>0），由题意，得=，+=1，c2=a2-b2，

解得b2=，a2=25. 故所求椭圆的标准方程为+=1.

综上，所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.

【友情提醒】无论是椭圆方程，还是双曲线方程或抛物线方程，它们的标准方程都不止一个，求圆锥曲线方程时必须关注焦点的位置是否确定，谨防“漏解”.

易错点7：忽略圆锥曲线方程中x，y的取值范围

【例7】设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.

错解：依题意可设椭圆方程为+=1（a>b>0），

则e2===1-=，所以=，即a=2b.

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，

则d2=x2+（y-）2=a2（1-）+y2-3y+=-3（y+）2+4b2+3

所以当y=-时，d2有最大值，从而d也有最大值.

所以4b2+3=（）2，故b2=1. 又a=2b，所以a2=4.

于是，所求椭圆的方程为+y2=1.

剖析：尽管上面解法得到的结论是正确的，但解答过程不正确. 错解中，当y=-时，d2有最大值，这步推理是错误的，它没有考虑y的取值范围. 事实上，由于点（x，y）在椭圆上，故有-b≤y≤b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论.

正解：若b<，则当y=-b時，d2（从而d）有最大值.

于是（）2=（b+）2，从而解得b=->，b<矛盾.

所以必有b≥，此时当时y=-，d2（从而d）有最大值，

所以4b2+3=（）2，解得b2=1，a2=4.  于是，所求椭圆的方程为+y2=1.

【友情提醒】在椭圆+=1（a>b>0）中，x∈[-a，a]，y∈[-b，b];在双曲线-=1（a>0，b>0）中，x∈（-∞，-a]∪[a，+∞），y∈（-∞，+∞）. 利用函数思想求与圆锥曲线的最值或取值范围问题时，常常要用到圆锥曲线方程中x，y的取值范围.

易错点8：缺乏分类意识

【例8】已知椭圆+=1的离心率e=，求m的值.

错解：由已知得，a2=5，b2=m，∴ c2=5-m.

∴=e2，即=（）2. 解之得m=3.

剖析：题设中m与5的大小关系不能确定，本题上述解法中只求了m<5的情况.

正解：当m<5时，a2=5，b2=m，∴ c2=5-m.

由已知得：=（）2. 解之得m=3.

当m>5时，a2=5，b2=m，∴ c2=m-5.

由已知得=（）2. 解之得m=.

故m=3或m=.

【友情提醒】遇到参数问题，首先要想到是否需要分类讨论.当圆锥曲线的离心率已知时，需注意它的焦点位置是否确定，从而判定求标准方程中的参数的值是否需要分类讨论.

易错点9：忽视方程中字母的正负

【例9】已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为（0，3），求k的值.

错解：将双曲线方程化为标准方程-=1.

因为焦点在y轴上，所以a2=，b2=，

所以c===3，即=9，所以k=.

剖析：上述错解有两处错误：一是a2与b2确定错误; 二是a、b、c的关系式用错了. 在双曲线中应为c2=a2+b2.

正解：因为一个焦点是（0，3），所以焦点在y轴上，双曲线方程可化为标准方程-=1.

所以c=3，a2=-，b2=-，所以a2+b2=--=-=c2=9. 故k=-1.

【友情提醒】对于圆锥曲线而言，一旦焦点位置确定在哪根坐标轴上，它的标准方程的类型已经确定，由此可以确定方程中字母的正负.

易错点9：盲目运用圆锥曲线定义

【例9】一动点P到y轴的距离比到点A（2，0）的距离小2，求动点P的轨迹方程.

错解：∵动点P到y轴的距离比到点A（2，0）的距离小2，

∴P到A（2，0）的距离等于P到直线x=-2的距离.

由抛物线定义得点P的轨迹是以直线x=-2为准线、以A（2，0）为焦点的抛物线，

动点P的轨迹方程是y2=8x.

剖析：上述解法只考虑了点P不在y轴左侧的情况. 当点P在y轴左侧时，点P到点A（2，0）的距离不可能等于点P到直线x=-2的距离，故此时点P的轨迹不是抛物线，应是x轴负半轴.

正解：设动点P（x，y），根据条件列等式：=x+2，

化简得y2=8x（x≥0）或y=0（x<0）.

所以 动点P的轨迹方程是y2=8x（x≥0）或y=0（x<0）.

【友情提醒】解与本题类似的轨迹方程问题，应该先根据图形判断有几种情况，免得漏解. 也可直接，化简即可.在解析几何中，各元素间位置的多样性，往往被我们忽视，我们应“多个心眼”.

易错点10：忽视圆锥曲线离心率固有的取值范围

【例10】已知双曲线-=1（a>0，b>0）中，A1，A2为左、右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△Pi A1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围为__________.

错解：由题意知F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy-bc=0.

因为在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得 △Pi A1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，所以以A1A2为直径的圆与线段BF相交，

所以

故e的取值范围为（，）.

剖析：本题出现两个错误，一是双曲线的离心率e>1这个条件被忽视，二是点B，F在以A1A2为直径的圆的外面这个隐含条件被忽视.

正解：（同错解）因为e>1，所以1

由于P1，P2在线段BF上（不含端点），故点B在圆外，即b>a，故a2.

综上知，e∈（，）.

【友情提醒】求圆锥曲线的离心率的取值范围时一定要注意：椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e∈（1，+∞）.

易错点11：把直线与圆锥曲线“有一个交点”同“相切”混淆

【例11】求过点M（0，1）且和抛物线C ∶ y2=4x仅有一个公共点的直线方程.

错解：设所求直线方程是y=kx+1.

由y=kx+1，y2=4x，消去y，得k2x2+2（k-2）x+1=0.

∵抛物线与所求的直线只有一个公共点，

∴？驻=4（k-2）2-4k2=0，解得k=1.

故所求的直线方程为y=x+1.

剖析：由于过点M（0，1）的直线l的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解.

正解：（1）当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，显然与抛物线C仅有一个公共点.

（2）当直线l的斜率为零，其方程为y=1，显然与抛物线C仅有一个公共点.

（3）当直线l的斜率为k（k≠0），设所求直线方程是y=kx+1.

由y=kx+1，y2=4x，消去y，得k2x2+2（k-2）x+1=0，

∵抛物线与所求的直线只有一个公共点，

∴？驻=4（k-2）2-4k2=0，解得k=1. 故所求的直线方程为y=x+1.

综上可知，所求的直线方程为x=0，y=1，y=x+1.

【友情提醒】与圆锥曲线只有一个公共点的直线不一定是圆锥曲线的切线. 谨记：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点;与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.

易错点12：缺乏检验意识

【例12】已知双曲线x2-=1，问过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

错解：设符合题意的直线l存在，并设P（x1，y1），P（x2，y2）

则x12-=1……（1）x22-=1……（2）

（1）-（2），得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）……（3）

因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以x1+x2=2……（4）y1+y2=2……（5）

将（4）（5）代入（3）得x1-x2=（y1-y2）.

显然x1≠x2，则直线l的斜率k==2，所以符合题设条件的直线l存在，其方程为2x-y-1=0.

剖析：在（3）式成立的前提下，由（4）（5）两式可推出（6）式，但由（6）式不能推出（4） （5）两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的.

正解：在上述解題的基础上，再由y=2x-1，x2-=1，得2x2-4x+3=0.

根据？驻=-8<0，从而知所求直线不存在.

【友情提醒】用点差法求直线方程时，只是承认了直线与曲线相交，而事实上，存在不相交的可能，所以在求出直线方程后，应利用判别式判断直线与曲线是否相交. 当然，就本题来讲，也可以不用点差法求解.直接设直线的方程，利用待定系数法求解. 遇见直接用直线与曲线方程联立解方程组的问题，就比较容易联想用判别式求解.

易错点13：设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在

【例13】已知椭圆的方程为+=1（a>b>0），离心率e=，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且MN=.

（1）求椭圆的方程;

（2）已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ. 试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.

错解：（1）由题意得e==……①

又因为过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且MN=，

即=……②

由①②得a=，b=1，c=1所以椭圆方程为：+y2=1.

（2）设直线l方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）.

由+y2=1，y=kx+m？圯（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0.

所以？驻=8（2k2+1-m2）>0，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=.

因此，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=.

因为OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0？圯=0？圯m2=.

此时？驻=>0满足条件，设原点到直线的距离为d，

则d===，是定值.

剖析：上述错解（2）中，忽视了直线的l斜率不存在的情形.

正解：（1）同错解.

（2）①当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）.

由+y2=1，y=kx+m？圯（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0.

所以？驻=8（2k2+1-m2）>0，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=.

因此，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=.

因为OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0？圯=0？圯m2=.

此时，？驻=>0满足条件，设原点到直线的距离为d，则d===.

②当直线的斜率不存在时，因为OP⊥OQ，根据圆的对称性，设直线OP，OQ的方程为y=x，y=-x可得P（，），Q（，-）或P（-，-），Q（-，）.

此时原点到直线的距离仍为.

综上可得，原点到直线的距离为，是定值.

【友情提醒】设直线的点斜式方程或斜截式方程要先判断斜率是否存在，若有可能不存在，要分类讨论，否则会犯“对而不全”的错误，从而导致失分.

易错点14：盲目应用判别式

【例14】若圆（x-a）2+y2=4与抛物线y2=6x没有公共点，求实数a的取值范围.

错解：因为圆（x-a）2+y2=4与抛物线y2=6x没有公共点

所以方程组（x-a）2+y2=4，y2=6x，消去y2，得方程x2+（6-2a）x+a2-4=0无解.

所以由判别式？驻=（6-2a）2-4（a2-4）<0得实数a的取值范围是（，+∞）.

剖析：判别式？驻只适用于直线与二次曲线的位置关系的判断，不适用于两个二次曲线之间的位置关系的判断.

正解：由于圆的半径为2，当圆与抛物线外切时，a=-2，于是a<-2时，圆与抛物线没有公共点. 当圆与抛物线内切时，由（x-a）2+y2=4，y2=6x，得x2-（2a-6）x+a2-4-0. ……①

？驻=（2a-6）2-4（a2-4）=0，解得a=，然而把a=代入方程①得3x2+5x+=0，此时解为x=-，是负根，显然圆与抛物线不能内切，

∴当x≥0时，问题等价于圆心（a，0）到抛物线距离d的最小值大于2，求a的取值范围.

设 P（x，y）为抛物线上一点，则d2=（x-a）2+y2=（x-a）2+6x=[x-（a-3）]2+6a-9，

设f（x）=[x-（a-3）]2+6a-9（x≥0），

当a-3>0即a>3时，f（a-3）最小，∴dmin=>2，解得a>.

考虑到a>3，∴a>3，当a-3≤0即a≤3时f（0）最小，

∴dmin=a>2. 此時2

于是圆（x-a）2+y2=4与抛物线y2=6x没有公共点时，a的取值范围为a<-2或a>2.

【友情提醒】二次曲线与二次曲线的交点问题不同于直线与二次曲线位置关系的探讨，仅有判别式法是不够的，这是因为二次曲线是有范围限制并且一般情况下具有对称性，要结合起来一起讨论. 由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系，图形未必能把细微处的走向描述清楚，必须与代数运算结合起来，正如华罗庚先生所言，“数缺形时少直观，形少数时难入微”.

从核心素养角度看，高考对解析几何的考查侧重于数学运算素养，因此，提高解析几何的运算能力是解析几何复习的终极目标，考生们不仅要牢固掌握解析几何的运算技能与技巧，更要远离解题误区，牢牢把握易错点. 愿上面的十四个解析几何易错点剖析能为六月高考“保驾护航”.

责任编辑 徐国坚