六自由度并联机构运动学分析与仿真

李团飞， 刘 飞， 赵俊峰， 王 杰

(1.洛阳市科技情报研究所， 河南 洛阳 471003； 2.中材建设有限公司， 河北 唐山 063000； 3.洛阳一拖众成配件制造有限公司， 河南 洛阳 471003)

并联机构(Parallel Mechanism)是指至少以两条可以独立运动的驱动支链连接末端执行器和一个固定平台，从而使得末端执行器实现多个自由度运动的机构[1,2]。6-UPS并联机构属于六自由度并联机构的一种，由动平台、定平台和六条驱动支链构成。其中：U代表虎克铰，P代表移动副，S代表球铰。定平台固定在基座上，驱动支链伸缩杆端由球铰连接到动平台上，缸体端由虎克铰连接到定平台上，驱动支链借助伸缩运动完成动平台在空间内6个自由度的运动。六自由度并联机构具有结构稳定、定位精度高、刚度大、承载能力强、速度快等优点，广泛应用于运动模拟、航空航天、汽车制造、国防军事和生活娱乐等领域[3]。

并联机构的运动学分析是进行动力学分析、控制策略研究和优化设计的基础[4]，建立准确的运动学模型至关重要。本文将6-UPS并联机构的模型简化，进行自由度计算，建立坐标系，利用坐标变换矩阵确定动平台与定平台的位姿关系，推导出6-UPS并联机构的运动学方程，对建立的6-UPS并联机构模型进行运动学仿真分析。

1 结构分析与自由度计算

1.1 结构分析

作为一种能够在空间中完成6个自由度运动的机构，6-UPS并联机构结构简图如图1所示。图中，La～Lf表示电动缸，Ra为动平台半径，A1、A2、A3、A4、A5、A6为6个球铰的位置，A4A5之间的距离da为上铰链点短边距。Rb为定平台半径，B1、B2、B3、B4、B5、B6为6个虎克铰的位置，B1B2之间的距离db为下铰链点短边距。将铰链点A1、A2、A3、A4、A5、A6与B1、B2、B3、B4、B5、B6按顺序连接组成一个规则的六边形，两个六边形之间的方位差为180°。Oa-XaYaZa为动平台连体坐标系，Ob-XbYbZb为定平台惯性坐标系。

1.2 自由度计算

6-UPS并联机构中，活动构件总数为13，机架构件总数为14，球铰自由度为3，虎克铰自由度为2，移动副自由度为1，运动副总数为18。

利用空间机构自由度计算公式[5]计算6-UPS并联机构的自由度：

(a)主视图 (b)俯视图

(1)

式中：F为机构自由度数；n为活动构件总数；m为运动副总数；Pi为第i个运动副的限制自由度数。

利用Kutzbach-Grubler公式[6]进行自由度校核计算：

(2)

式中：F为机构自由度数；n为活动构件数(包括机架)；m为运动副数；fi为第i个运动副的自由度数。

计算结果表明：6-UPS并联机构的自由度为6，满足6个自由度运动的条件。

2 运动学分析

2.1 坐标系建立与位姿描述

6-UPS并联机构动平台上的连体坐标系可以看作是定平台上的惯性坐标系经过平移和旋转后得到的。为了定量描述动平台各处的坐标，在动平台的质心处建立连体坐标系Oa-XaYaZa，在定平台的质心处建立惯性坐标系Ob-XbYbZb。

将惯性坐标系按照沿X轴、Y轴、Z轴的顺序进行平移，使得惯性坐标系原点Ob与连体坐标系原点Oa重合(如图2(a)所示)获得平移变换矩阵。

(a)平移示意图 (b)旋转示意图

在经过3次平移变换之后，获得最终的平移变换矩阵：

(3)

将惯性坐标系按照绕Z轴、Y轴、X轴的顺序进行旋转，使得惯性坐标系和连体坐标系坐标轴完全重合如图2(b)所示，获得旋转变换矩阵。

第1次绕轴OaZa旋转偏航角γ时，旋转矩阵为

(4)

第2次绕轴OaY′a旋转偏航角β时，旋转矩阵为

(5)

第3次绕轴OaX″a旋转偏航角α时，旋转矩阵为

(6)

在经过3次旋转变换之后，获得最终的旋转变换矩阵：

(7)

因此，由惯性坐标系到连体坐标系的变换矩阵为

(8)

2.2 位置分析

选取电动缸为研究对象，利用空间坐标变换的方法，在已知动平台空间位置和姿态的情况下求解6条电动缸的位移(称为位置反解)。

由图1可知，在已知动平台半径Ra和定平台半径Rb的情况下，上下铰链点Ai、Bi(i=1，2，…，6)可以在各自的坐标系上表示，从而确定电动缸长度矢量Li：

Li=RAi+Ei-Bi(i=1，2，…，6)

(9)

设

(10)

代入式(9)得

(11)

式中：R为经过3次旋转变换后得到的旋转变换矩阵。

根据向量模的定义可知动平台的位置反解为

(12)

式中：li为第i个电动缸的长度。

电动缸的位移为

Si=li-l0(i=1，2，…，6)

(13)

式中：l0为电动缸的初始长度。

2.3 速度分析

利用坐标变换法和矩阵微分法，将动平台各缸的位移表达式对时间t求一阶导数，可以得到各缸的速度表达式[7]。

令φi表示沿电动缸长度矢量Li的单位矢量，则

(14)

li与Li的关系为

(15)

两边对时间t求导，整理得第i个电动缸的速度表达式：

(16)

(17)

对矩阵R的每一项求一阶导数：

(18)

整理后，第i个电动缸的速度为

(19)

2.4 加速度分析

将动平台各缸的位移表达式对时间t求二阶导数，可以得到各缸的加速度表达式，其中第i个电动缸的加速度表达式为

(20)

(21)

对矩阵R的每一项求二阶导数：

(22)

整理后，第i个电动缸的加速度为

(23)

3 运动学仿真分析

在Catia中建立6-UPS并联机构的模型，将其导入到Adams中，对模型添加材料属性，在电动缸与动平台之间的球铰上添加球副，电动缸与定平台之间的虎克铰上添加虎克副，电动缸的伸缩杆上添加移动副。6-UPS并联机构模型如图3所示。

图3 6-UPS并联机构模型

当动平台的位姿参数或电动缸的运动参数按某种规律运动时，利用Adams中的PostProcessor模块可以直接获取各种随时间变化的曲线[8]。为分析6-UPS并联机构的运动学特性，在Adams中利用Step函数为动平台添加位姿参数，使其先沿X轴、Y轴、Z轴平动，再绕X轴、Y轴、Z轴转动。位姿参数如表1所示。

表1 位姿参数

驱动设置好之后将仿真参数中的时间设置为60 s，步数设置为100，对6-UPS并联机构进行运动学仿真，结果如图4～图8所示。

由图4和图5可知，动平台位移在0～20 s范围内保持不变，在20～30 s范围内增加100 mm，在30～60 s范围内再次保持不变，这是由于沿X轴、Y轴的平动与绕X轴、Y轴、Z轴的转动不影响动平台幅值的变化。动平台速度与加速度在0～30 s范围内呈周期性变化，在30～60 s范围内保持0值不变，而动平台的角速度与角加速度变化趋势相反，这是由于动平台的转动只具有角速度与角加速度，而与速度、加速度无关。

图4 动平台位移、速度与加速度曲线

图5 动平台角速度、角加速度曲线 图6 电动缸位移-时间曲线

图7 电动缸速度-时间曲线 图8 电动缸加速度-时间曲线

结合图6～图8可知，在0～60 s范围内，台架中各电动缸不同伸缩量完成预期的动平台位姿，运动过程中各电动缸速度与加速度变化趋势保持一致，位移、速度和加速度变化曲线与定义的动平台位姿相匹配，各仿真曲线整体变化平稳、无波动、无异常点。6-UPS并联机构能够实现横移、纵移、升降、俯仰、侧倾和横摆6个自由度的运动，具有良好的运动特性。

4 结 语

本文将六自由度并联机构的模型简化，通过坐标变换确定了机构动平台与定平台的位姿关系，推导了机构的运动学方程。利用Adams软件对建立的6-UPS并联机构进行了仿真分析，为后续6-UPS并联机构的动力学分析和控制策略研究奠定了基础。