面向工程实践的《有限元数值分析与应用》教学教改探索

徐腾，梁剑豪，龚峰，冉家琪

(深圳大学 机电与控制工程学院, 深圳市高性能特种制造重点实验室,广东 深圳)

一 引言

随着计算机技术发展和数值模拟应用的普及，有限元方法作为一种高效实用的数值求解方法，在应用数学、工程力学、流体力学、电磁学等领域中已成为不可或缺的解析工具[1]。其原理是通过对表达自然科学和工程应用的各种基本规律进行微分方程求解，通过有限量的积分近似模拟真实工况和几何系统来接近无限未知量，形成以划分网格单元堆叠结构的有限元模型进行数字化分析[2]。目前，90%的国际化机械产品和装备通过有限元方法进行分析、修改与优化，有限元分析方法能够替代大量实物实验进行计算分析的验证性“虚拟实验”，是科学研究和工艺探索中高效化和低成本化的分析手段[3]。

由于所需工程数学、计算机科学、和物理学科知识作为理论基础，涉及大量线性代数、常微分、偏微分方程的计算，有限元方法的教授主要在机械学科专业教育的课程安排上[4-5]。作为专业选修科目，主要在掌握有限元方法理论基础上，学习用有限元方法处理问题的思路和使用有限元软件进行分析，但在目前《有限元数值分析与应用》课程教学中，明显存在课程理论知识难度较大，学生可操作性和科研针对性低，教学质量难以提高的问题。本文由此结合当前对本专业领域学生开展的《有限元数值分析与应用》的选修课程教学现状进行深入研究教学质量改进方案，探索多方面提升面向应用教学型的有限元分析教学水平和质量，以满足学生科研和研究问题中的有限元分析需求目标。

二 有限元教学现状及教学存在问题

（一） 课程理论知识教学难度深度高且广泛

本课程学时短，仅40 学时，课上存在知识联系有机结合把控稍有偏差，且学生课后利用效率不高。有限元教学理论知识涵盖有限元分析原理、应力应变分析、混合列式、数值积分、约束单元、单元性质与选择、离散网格方式等，教学知识深度高且内容枯燥晦涩，如果不及时结合有限元软件操作理解，学生很难把这些知识利用起来建立知识体系[6]。

（二） 课程应用针对性单一，涉及面较广

有限元分析涉及数学、流体力学、工程力学、热力学、电磁学等等学科，学习深度高且非对学科专业性深入学习价值不高，都是用于解决科研生产中的实际问题进行模拟分析。本课程面对机械专业学生进行教学时，学生们对热、力、电等方面的问题进行模拟的需求较高，由于缺少工程经验，短时间难以对学科知识进行回顾以理解有限元分析方法。

（三） 学生科研实际应用环境相差较大

本课程采用ANSYS 软件平台进行教学，学生之间要求的有限元分析软件不一，如信号处理、场处理等学生多用COMSOL 等仿真软件，材料成形方面多用DYNAFORM 或ABAQUS 等仿真成形软件进行分析[7]。以ANSYS 软件的教学案例并不能实际应用与相关软件操作中，导致学生以工具性目的学习作为动力，学习有限元处理思路兴趣不高。

（四） 学生CAE（计算机辅助工程分析）软件实践能力薄弱

课堂上每个学生的建模效率有所差异，造成每个学生课堂利用率不均；课前物理学科知识预习不够充分，在上课短时间回顾相关理论基础知识不能够充分理解，有些学生在纠结中又影响课程主要内容的教授，造成拣了芝麻丢了西瓜的局面。

三 有限元教育改进对策和理念的构建

（一） 教学内容探索与措施

（1）科学结合理论和实践教学

采用理论联系实际的方法， 将理论教学与课程设计相融合贯穿， 即将课程设计的内容分解为与课程知识点相对应的几个部分，课程设计的进度安排与课堂教学进度相协调[8]。结合有限元理论基础知识点，插入部分有限元软件操作实践以辅助，讲解对应出现的按钮或符号意义，促进学生理解有限元分析和提高软件操作熟悉程度。

（2）差异化培养目标

为了保证课程知识对学生的利用效率，对教学内容有的放矢，把握教育深度，加入机械中常遇见的工程案例实验（如摩擦升温热变化、杆件弯曲应力变化、流体冲击压力变化等），着重传授寻找解决问题的方法和思路，通过检索有限元分析论文寻找前人研究的方法作为参考。

（3）调整课程相适应考评方法

以课程教学方式进行调整和制定适应的考评方式，由于本课程为选修课程，旨在提高学生的有限元分析操作能力。从课程目标出发，设置与课堂实验相近的任务量稍多的固定团体任务题目，在开课时进行课程分组后安排选题。可按平时成绩50%（课上实验作业+考勤+提问加分）和期末作业50%（团体作业20%+个人作业30%）进行考评。

（4）课堂与课后的积极性调动

开课时鼓励学生自学，提供一些适合的有限元书籍。把握课堂教授节奏，在课件最后安排和预告下一节课的任务，提前发布所需模型尺寸进行建模和所需理论知识点让学生课后提前理解。充分利用课上的上机实验时间，并设置问题给予学生主动思考解决问题的时间，通过提问和打分来调动课堂积极性，在解决问题的过程中让学生加深印象和更好理解有限元分析思路。

（二） 面向应用仿真实验的教学内容设置

（1）有限元理论基础的奠定

在机械工程学科，有限元分析方法是本学科领域学生开展学位论文研究工作的必备手段[9]，同时，有限元方法也是一门集数学、力学、热力学、电磁学等多门学科的综合性课程。为了帮助本专业领域学生开展学位论文中的有限元分析奠定良好专业基础知识，在本课程的一开始即设置了有限元方法基础理论的授课内容，从机械工程涉及到的机械设计、机械制造、材料学、机械动力学、机电耦合等多方面学科专业有限元问题出发，简洁明了地讲授结构力学、电磁学、模态学等知识信息，有助于学生快速了解各研究领域的研究背景和该背景开展有限元分析时的基础理论。在授课过程中，给学生详细精讲有限元分析相关的数学知识，使学生对有限元分析理论有一个系统的认知。将本课程的基础理论与机械专业学生研究的具体领域背景密切结合，有助于学生有目的性、快速进入到本领域问题的有限元分析的环境，从而可以有针对性地提升学习本课程的积极性和主动性，避免因课程所涉及的大量数学公式而陷入消极填鸭式学习状态。

（2）机械工程领域有限元分析应用场景的描述

在有限元授课过程中，首先从有限元在航空航天、汽车、船舶、电器等国民经济各方面的应用案例出发，引起机械专业学生对有限元学习的兴趣，随后着重介绍有限元方法在机械工程学科领域中的应用情况及具体的应用方法，使学生从全局上认识到本课程所学的知识和方法在本专业的应用情况，之后根据学生所在专业实践课题组的研究方向的不同，在本课程的大作业的形式要求学生选择一项其所在课题组的问题，采用有限元的方法对问题进行描述和求解，让学生在其导师和本课程教师的同时指导下高质量的完成大作业，从而使得学生在本课程所学到的知识真正地对其研究生涯产生实质性的帮助。

（3）机械工程领域有限元案例的课堂示范和指导

高效地利用课堂时间，借助目前流行的有限元软件帮助学生迅速开展研究工作，是使机械工程专业学生在有限的学生阶段高质量完成课题研究任务、发表高水平论文的重要保障。本课程教师在授课过程中，向学生提供利用有限元软件分析工程实际问题的丰富案例教学，从工程结构梁的受力变形等简单的案例开始，由浅入深，引导学生进入高速精密冲床的模态分析和结构拓扑优化等较为中等难度的建模仿真研究学习，最后鼓励学生开展手机从高空跌落、加热设备加热锻造零件时的温度变化预测等高阶研究案例。循序渐进，逐渐帮助研究建立学习本课题的积极性和自信心，提高学生自主学习的动力和兴趣，丰富并拓展其知识领域和应用范围，最终帮助学生在本课程中获取较为扎实的借助有限元法解决机械工程问题的途径和方法。教学团队通过多年教学积累和广泛的调研，最终确定该课程的教学内容主要教学内容安排如表 1 所示。

表1 有限元数值分析与应用课程教学内容安排

（三） 面向分析应用的有限元课程的教学方法实施效果

（1）通过本课程安排的针对性很强的实践性教学环节，每名学生结合各自的研究方向积极撰写学术论文。近年来，有十余位同学在课程结束后撰写的有限元分析论文已在《推进技术》《仪器仪表学报》和《计算机工程与设计》等核心刊物发表。

（2）通过对每一批次学生的课题研究成果和资料进行收集整理，已形成了覆盖多个专业、多个研究方向的素材文集。这些成果可为后续学生的学习和研究工作起到很好的示范性作用，丰富其知识领域和拓宽知识的应用范围，达到了迭代优化、教学效果越来越好的目的。

四 结语

当前有限元分析已经成为了我国机械制造业的先进计算机辅助工程分析方法，提高学生有限元分析软件的掌握能力对解决科研和生产实践问题具有重要作用根据有限元课程先进、新、难等特点，需要重视并且有效提升教学质量，以符合培养学生有限元应用分析的能力需求。本文就有限元课程现状和存在问题深入讨论和探索，根据教学目标以应用型实验为基准点，探索结合有限元理论知识和课堂实践方法，制定相适应的考评方法，同时对进行教学内容结构进行调整，提高学生对有限元分析的兴趣和思维能力，为学生学习有限元软件和利用有限元法分析奠定基础。