2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)理科数学21题解析

100013 北京市第一七一中学 王桢宇 管 悦

100013 北京宏志中学 王芝平

一、题目再现

(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

二、试题解析

小问(2)

解法2更加符合学生自然的解题思路，直接求导，判断函数f(x)的单调性，进而讨论其与y=1的交点情况，但计算稍显复杂，下面讨论该解法.

预备知识人民教育出版社普通高中教科书《数学》(选择性必修第三册B版)第87页有如下习题.

求满足下列条件的直线l的方程.

(1)过原点且与曲线y=lnx相切；

(2)斜率为e且与曲线y=ex相切[1].

①当a∈(0，1)时，lna<0，所以a-xlna>0，所以当x∈(0，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)与y=1至多有一个交点，不满足题意.

综上所述，a的取值范围为(1，e)∪(e，+∞).

三、难点突破

导数“找点”计算涉及方程、不等式、参数讨论、求导运算、四则运算以及估算等能力，追求本质、自然、简单的解题方法不仅是课堂教学的重要环节，更是培养学生数学运算核心素养的必由之路.