基于IFISTA 算法的LFM 信号压缩感知重构

张 瑞，孟 晨，王 成，王 强

（陆军工程大学石家庄校区 导弹工程系，河北 石家庄 050003）

0 引 言

线性调频（Linear Frequency Modulation，LFM）（也称Chirp）信号广泛应用于声呐、雷达、通信和矿山探测等系统中，该信号的分析和处理一直是现代信号处理领域中较为重要的研究方向。LFM 信号的频带较宽，根据奈奎斯特采样理论，数据采样必须至少是信号最大频率的两倍，面对高频率的LFM 信号，现有高速ADC 的采样速率已难以达到奈奎斯特采样的要求，同时采样得到的海量数据也给数据压缩、传输、存储带来了巨大压力。

压缩感知（CS）是解决上述问题的一种新理论，其采样频率可以远低于奈奎斯特采样速率。在压缩感知方案下，数据压缩在传感器中与采样同时进行。CS 理论可以分为三个部分：稀疏表示、测量矩阵和重构。首先，只有在一定变换域内足够稀疏的信号才能被认为是可压缩的，这是CS 应用的前提；然后，对于有限等距性质（RIP），需要下采样测量矩阵，这避免了测量后的信息损失。一些随机矩阵，如高斯和伯努利随机矩阵，被证明适用于CS 测量；最后，用适当的重建算法重建信号。由于重建所需的样本远低于奈奎斯特采样速率，压缩感知降低了信号采集中的采样频率和存储量。

压缩感知被广泛应用于LFM 信号的欠采样处理，重构作为压缩感知最重要的部分，重构算法的性能好坏将直接影响重构结果的精度。针对LFM 信号的压缩感知重构，文献[10]利用LFM 信号在FRFT 域的稀疏特性，构造FRFT 正交基字典，最后建立了在FRFT 域的LFM 雷达回波信号压缩采样模型，采用OMP 重构算法进行重构。文献[11]采用OMP 算法完全实现非合作宽带线性调频雷达脉冲压缩信号的稀疏分解与信号重构，并且重构误差可控制在5%以内，但是随着信号环境的恶化、信噪比的下降，OMP 算法针对信号的重构误差缓慢增大，压缩感知性能下降。文献[12]基于Chirplet 字典构建了一种基于凸优化基追踪的稀疏重构算法，通过将原来的基追踪问题转化为二阶锥规划问题，再通过原对偶误差对比内点算法进行求解。算法能够精确重构宽带线性调频信号，实现瞬时频率和相位信息的精确重构，但是算法运算复杂度较高。文献[13]利用OMP 算法进行线性调频信号的压缩重构仿真，重构效果较好，但是存在低信噪比下重构效果不佳的问题。针对LFM 信号的压缩感知重构，以上研究大多采用传统的OMP、MP重构算法，存在着低信噪比下重构效果不佳、计算复杂度大等不足。

文献[14]提出了快速迭代收缩阈值算法（FISTA），该方法相比ISTA 算法简化了重建计算，提高了效率。文献[15]采用FISTA 算法进行脑功能网络降噪重建，准确率提高到98%以上，有效地抑制了噪声。考虑到低复杂度和高效率，FISTA 算法被认为是压缩感知中一种高效的重构算法，然而，将其应用于线性调频信号时出现了一些新的问题，其中之一就是重构效果不佳。在利用传统FISTA 算法时，一些有用的信息在迭代过程中丢失，这导致大的重构误差。

为了解决这个问题，本文提出了一种改进的FISTA方法用于线性调频信号的压缩感知重构。首先利用LFM 信号在FRFT 域的稀疏特性建立正交字典，形成LFM 信号良好的稀疏表示。在FISTA 算法的迭代过程中对在FRFT 基字典下的重构系数进行分析。然后，与特征相关的系数将被保护免受阈值收缩，以减少信息损失。通过仿真实验分析，相比利用传统的FISTA 算法，本文提出的IFISTA 算法改善了线性调频信号的重构效果，能够获得更高的重构精度，以及在更低的SNR 情况下获得更高的重构概率。

1 线性调频信号压缩感知理论基础

1.1 压缩感知理论

在压缩感知理论下，要求信号是可压缩的，这意味着信号在变换域是多余的。假设变换域为，信号在时域内长度有限，那么：

式中：是稀疏向量，s(=1,2,…,)是稀疏系数；在该模型中，变换域是正交字典，Ψ (=1,2,…,)是字典原子。如果稀疏向量只有几个非零或大的系数，那么信号是可压缩的，并且如果非零或大系数个数为，则为稀疏。

对于稀疏信号，CS 测量的过程表示为：

式中：是测量矩阵；是测量向量。为了保证原始信号的成功重建，需要满足RIP，即：

式中：σ是受限等距约束（RIC），σ<1。已知当样本≥(×log())时，高斯或伯努利随机矩阵满足RIP。在这种情况下，是的长度，是的长度。利用RIP，测量矩阵能够从原始信号捕获足够的信息，并且式（2）具有独特的逆转性。然而，从下采样测量向量中找到唯一的反转仍然是一个NP 难问题。

式中′是重构信号。通常测量是带噪声的观察，因此，重建描述为以下的近似问题：

式中：是取决于噪声方差的参数；‖ ⋅ ‖是范数，它是向量的非零元素数。如上所述，由于不一致，很难找到解决方案。为了解决这个问题，Donoho 将范数转化为范数，即：

然后问题可以通过凸优化方法解决。

1.2 分数阶傅里叶变换理论

1980 年Namias 从傅里叶变换的特征值和特征函数的角度，根据特征值的任意次幂运算首次提出了分数傅里叶变换的概念。1993 年Ozaktas 和Mendlovic 又在Mc Bride 的基础上将FRFT 应用于光学实现以及光学信息处理。同年，Almeida 指出FRFT 可以解释为时频平面的旋转，从时间轴和频率轴的关系上看，FRFT 是一类线性时频变换，这种变换同时展现出信号在时域和频域上的全部特征。通俗地讲，信号的傅里叶变换可以视为信号从时间轴上逆时针旋转π 2 到频率轴的表示，而其FRFT 则可看成信号从时间轴逆时针旋转任意角度到轴的表示。

Ozaktas 等人在文献中给出了具有与FFT 相当复杂度的离散算法，使FRFT在信号处理领域得到广泛应用。

信号()的FRFT 可以表示为：

Chirp基的调频率随着旋转角度而变化，当LFM 信号与某一个Chirp 基的调频率一致时，会产生函数，此时LFM 信号在FRFT 域上表现出良好的时频聚集特性。

只要找到LFM 源信号符合能量聚集特性的变换阶次，就可以找到对应的FRFT 基，从而构造出相应的正交集字典，实现信号的良好稀疏表示。

采用直接采样连续分数阶变换核得到离散分数阶傅里叶变换（DFRFT）核矩阵，其中Ozaktas 和Pei 采样型算法使用最普遍，本文选取Pei 采样型算法构造FRFT正交基字典，其基本思路为直接对输入输出变量实现采样，然后通过限定输入输出采样间隔来保持变换的可逆性。这种算法具有计算复杂度低、运算效率高的特点。

2 LFM 信号重构的改进FISTA 方法

2.1 FISTA 理论

要解决式（6），引入FISTA 是为了简化和提高效率。在文献[14]中，FISTA 给出了高全局收敛速度的重构。作为迭代收缩阈值算法（ISTA）的扩展，FISTA 被用来解决线性逆问题，可以描述为：

为了得到稀疏解，在式（7）中添加一个正则项，那么目标函数可以描述为：

式中：>0 是正则参数；‖‖被命名为的范数的分量的绝对值之和。与式（6）相比，可以看出式（8）的解是通过求解凸优化问题对原始信号的近似。通过收缩/软阈值步骤获得解决方案，即：

式中：是步长；是迭代次数；T(⋅)是收缩算子，描述如下：

式中：是阈值，是常数参数。

对于ISTA，下一次迭代的输入是上一次迭代的输出。但是，它的全局收敛速度很慢。为了解决这个问题，文献[14]提出了通过优化初始值的FISTA：

式中p是极小值。证明了FISTA 的复杂度为( 1)，而ISTA 的复杂度为( 1)。由于计算简单、收敛速度快，FISTA 算法被认为是一种有效的、通用的压缩感知重构算法。

2.2 FISTA 应用于LFM 信号重构时存在的问题

FISTA 算法计算简单、收敛速度快，在重构过程中耗时少。但是，应用在线性调频信号中，重构效果还有待进一步提高。对于线性调频信号，它的重构系数中包含一些小值系数。在迭代过程中，这些有用的小值系数可能会被丢弃，从而导致重建中的信息丢失。

从式（9）和式（10）可以看出，每个收缩/软阈值步骤可以分成两个子步骤，一个是梯度步骤，可以描述为：

然后使用收缩算子，另一个步骤是收缩。

式（16）中的梯度步长用于最小化重构误差，而式（17）中的收缩算子T(⋅)旨在近似满足正则项。对于收缩运算T(⋅)，从式（12）中得知，是对中所有元素的一个推演，之后如果元素还是正数，则保留，如果元素是负数，将为0。

这是一个很好的控制正则项的方法，但是它并不稳定。如上所述，获得的线性调频信号与强噪声混合，那么梯度步长可能会导致偏差，从而误导迭代过程，那必然会降低收敛速度。另一方面，使用收缩运算符T(⋅)，的所有元素都需要扣除。那么对于变换域中固有的、小的有用系数，这种推导实际上是有用信息的损失。由于信息损失是由收缩算子产生的，因此由强噪声引起的迭代次数的增加会进一步加剧信息损失。例如，线性调频信号在分数阶频谱上具有良好的稀疏特性，但是其中包含一些小的系数。使用收缩算子T(⋅)，这些小系数将为0，这将增加重构信号的误差。同时，迭代次数越多，零值系数越多，重构误差也越大。

2.3 LFM 信号的改进FISTA

为了改善线性调频信号的重构效果，提出了IFISTA。在提出的方案下，被视为特征的系数不需要参与收缩的下一次迭代。然后这些系数将有助于在重建中保留有用的信息。该方案的关键是如何选择特征系数。

LFM 信号的雷达回波可表示为：

式中：为信号的幅度；为信号的初始频率；为调频率。模拟的线性调频信号时域波形如图1 所示。

图1 LFM 信号时域波形

采样频率为=512 MHz，采样点数为1 024，频率分辨率Δ==0.5 MHz。图2 显示了线性调频信号在分数阶频谱中具有良好的稀疏性。当模拟线性调频信号的初始频率不满足频率分辨率的整数倍时，分数阶频谱会产生泄露，如图2b）、图2c）所示。

图2 不同初始频率LFM 信号的分数阶频谱

在分数阶频谱中既包含大值系数又包含了一定的小值系数，这些小值系数在迭代过程中，有用的小值系数可能会被丢弃，从而导致重建中的信息丢失。为了解决这个问题，提出了在分数阶频谱中索引特征系数向量，以获得所有的特征系数。

如表1 所示，当初始频率为频率分辨率的整数倍时分数阶频谱无泄漏，泄漏宽度为0，分数阶频谱中只包含大值系数；当初始频率为频率分辨率的1 2 时，分数阶频谱中产生的泄漏宽度最大，小值系数最多。

表1 不同初始频率对应的泄漏宽度值

以频率分辨率的1 2 倍为临界条件，来确定分数阶频谱中索引特征系数向量的范围。保留的系数为最大值系数的0.01 倍时，能够较好地避免重建信息的丢失，由此来确定索引范围。

确定原子所在分数阶频谱位置，求得扩展范围Δ，进而得到索引特征系数向量。

以上分析基于原始信号。然而，在通过压缩传感器进行下采样测量之后，很难获得这些特征系数。为了解决这个问题，对迭代过程中的不稳定重构信号进行了简单的分析。随着迭代的进行，信号被逐渐重构为近似原始信号，因此在迭代过程中提取信息是可行的。在提出的IFISTA 方案下，在分数阶频谱迭代过程中对重构信号进行分析。如上所述，获取的线性调频信号通常有两种特征系数，一个是大值系数，一个是通过索引向量确定的小值系数。那么属于以上两种情况的系数都被认为是特征系数，这些特征系数不参与收缩算子T(⋅)的收缩步骤，从而增强了重构信号的特征，提高了重构效果。IFISTA 的流程图如图3 所示。

图3 IFISTA 算法流程图

3 仿真实验与分析

为了验证该方法的有效性，对线性调频信号进行了仿真实验。仿真信号模型可表示为：

式中：为载频；为脉冲时间带宽；为调频率；为散射点个数，在FRFT 基字典下即表示回波信号的稀疏度；A，τ分别表示第个散射点的散射强度和延时。

仿真信号参数分别设置为：=0，=200 MHz，=2 μs，采样率=512 MHz，= 1，信号的长度为1 024，设置了5 个分量的LFM 信号，距离起始位置分别为20，200，400，500，700，信号的归一化幅度分别为0.9，0.4，0.7，0.5，0.6。

采用Pei 采样型算法构建了信号的DFRFT 正交基字典，使用高斯随机矩阵作为测量矩阵。模拟信号的时域波形如图4a）所示，其分数阶频谱如图4b）所示。

图4 LFM 信号时域波形与分数阶频谱

利用测量矩阵，信号以低于源信号维数被采样。将压缩率设置为0.5，此时测量向量的长度为512。迭代的初始值由的转置矩阵计算，即：

根据经验设置为0.02，利用提出的IFISTA，目标函数被逐渐最小化。将提出的IFISTA 与文献[13]提出的FISTA 进行比较，如图5 所示。

图5 目标函数与迭代次数的关系

如图5b）所示，利用提出的IFISTA，分析后，保护系数，防止了一些特征系数收缩，增加了‖‖（正则项）。

根据压缩感知理论，信号的稀疏度是影响信号重构效果的一个重要因素，采样率也是影响重构结果的一个重要因素。为进一步衡量所提出算法的性能，比较了信号在不同稀疏度情况下所提出的IFISTA与FISTA重构效果。

仿真信号分别设置为1 个分量的LFM 信号、3 个分量的LFM 信号以及5 个分量的LFM 信号，定义单分量LFM 信号的稀疏度为，选取的3 种信号的稀疏度分别为，3，5。

在不同采样率条件下，进行了IFISTA 与FISTA 重构性能的比较，如图6 所示。

图6 不同稀疏度下重构成功率与采样点数关系

从图6 可以看出，随着采样点数的增加，信号重构成功概率不断增大。相比于FISTA，提出的IFISTA 可以在更少的采样点数情况下重构成功。随着信号稀疏度的增加，信号的稀疏性变差，重构成功所需的采样点数更多，采样频率要求更高。但是相比FISTA，IFISTA 仍然可以以更少的采样点数成功重构信号。这意味着在稳定重建的前提下，IFISTA 可以具有比FISTA 更低的采样率，这对于实际应用来说非常有意义，因为对于所提出的IFISTA，理想的重建需要较少的测量。

在不同信噪比条件下，本文算法与FISTA 算法的性能对比如图7 所示，信噪比分别为10 dB，20 dB，30 dB，随着信噪比的增加，算法的重构性能都会提升，本文算法在重构过程中保护了有用系数，防止了一些特征系数收缩，使得重构误差降低，能够以更少的采样点重构成功，本文提出的IFISTA 算法比FISTA 算法得到了更好的重构性能。

图7 不同信噪比下重构成功率与采样点数关系

图8 显示了不同重构算法的性能比较，从图中可以看出，采样点数越多，各种算法的重构误差就越小，重构效果就越好。相同条件下，本文算法得到的重构误差低于FISTA 算法、MP 算法与OMP 算法，本文算法在重构精度方面表现更好。

图8 不同算法重构误差比较

4 结 论

本文针对传统FISTA 算法在线性调频信号压缩感知重构过程中重构误差大，低信噪比条件下表现不佳的情况，提出了IFISTA 的方案来重构下采样测量后的线性调频信号。对于传统的FISTA 算法，所有的系数都用收缩算子来约简，这样会损失一些有用的信息。为了解决这个问题，本文提出了IFISTA 来获得更好的重建效果，首先对迭代过程中的线性调频信号进行分析；然后构造索引向量，选出在迭代过程中被保护不会收缩的特征系数。通过仿真信号实验分析表明：IFISTA 算法在线性调频信号重构过程中保留了有用的系数，减少了有用信息的损失，提高了信号的压缩率和重构精度；在低信噪比条件下重构性能优于传统的FISTA 算法以及OMP 算法等。