二维TE波的CPML边界条件推导及模拟验证

蒙玉进 龙庆 许泽锋 沈宏君

摘 要：利用时域有限差分（FDTD）方法对麦克斯韦方程进行展开，对二维TE波的卷积完美匹配层（CPML）条件进行了详细的阐述，在基于完美匹配层（PML）的基础上完整推导了二维TE波的CPML公式，该方法相对传统的完美匹配层（PML）具有更加良好的吸收效应，并且在计算中具有条件简洁、操作方便的优势，在数值模拟中CPML方法将会带来极大的便捷，并在试验中验证了CPML的良好吸收效果，所以对于CPML方法的研究具有十分重要的意义。

关键词：时域有限差分;麦克斯韦方程;完美匹配层;卷积完美匹配层

中图分类号：O431     文献标志码：A     文章编号：1003-5168（2022）10-0092-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.10.021

Derivation and Experimental Verification of CPML Boundary Conditions for Two-Dimensional TE Waves

MENG Yujin    LONG Qing    XU Zefeng    SHEN Hongjun

（College of Physics and Electronics，Ningxia University， Yinchuan 750000，China）

Abstract： Uses Finite-Difference Time-Domain （FDTD） method to expand Maxwell's equations， and elaborates on the conditions of the Convolution Perfect Matching Layer （CPML） of the two-dimensional TE wave. Based on Perfectly Matched Layer （PML）， the CPML formula of the two-dimensional TE wave is fully derived. Compared with the traditional Perfectly Matched Layer （PML）， this method has better absorption effect and has simple calculation conditions. The advantage of convenient operation， the CPML method will bring great convenience in the numerical simulation， and it was verified in the experiment that the absorption effect of CPML is good， so it has very important significance for the research of the CPML method.

Keywords： Finite-Difference Time-Domain;Maxwell equation;Perfectly Matched Layer;Convolution Perfect Matching Layer

0 引言

自1966年Yee首次提出傳统的时域有限差分（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）方法以来，该方法就得到了广泛的应用和发展[1]。时域有限差分的方法是用中心差分方式对麦克斯韦方程进行离散差分，从而对麦克斯韦方程进行微分求解[2]。在此基础上对麦克斯韦方程进行细化，推导其相应的TE波及TM波[3]，利用时域有限差分方法对其进行差分，笔者主要对其TE波进行探究。1994年，Berenger提出完美匹配层（Perfectly Matched Layer，PML）[4]吸收边界条件技术，紧接着又出现了多种PML条件，如各向异性完美匹配层（UPML）[5]、坐标延伸完美匹配层（SC-PML）[6]等。但是在众多的完美匹配层中，其主要目的都是去研究开放的空间问题，显然这些匹配层条件都不是最完美的，最终提出了卷积完美匹配层（Convolution Perfectly Matched Layer ，CPML）方法[7-8]，这种技术在每个隔离点只需要施加两个辅助变量，从一定意义来说，该方法的实现能够吸收各向异性和均匀波，以及不均匀、有损、分散的介质，各向异性或非线性介质无须进一步推广先前的电磁场，CPML方法有效地避免了其他匹配层方法的缺陷，此方法已被证明在吸收和长时间计算域中的高效性。利用CPML方法可以编程实现计算仿真[9]，可在理论上模拟入射源在FDTD区域和CPML区域进行传播，研究其特性，具有良好的前瞻性，为实际试验提供了可靠的操作方案。本研究就TE波的CPML边界条件进行了详细的推导以及对方法的模拟验证。

1 麦克斯韦时域微分方程

电磁场的本构关系如式（1）和式（2）。

[D=εE]        （1）

[B=μH]        （2）

式中：D为电通量密度;B为磁通量密度;E为电场强度;H为磁场强度;[ε]为媒质介电常数;[μ]为煤质导磁率。

其本构关系下的麦克斯韦方程可以写为式（3）和式（4）。

[∇×H=ε∂E∂t+σeE+Ji]   （3）

[∇×E=−μ∂H∂t−σmH−Mi]  （4）

式中：[Ji]为电流密度;[Mi]为磁流密度;[σe]为电导率;[σm]为导磁率。

2 二维TE波的CPML公式推导

在TE波中，处于延伸坐标的PML方程可以写为式（5）。

[jωεxEx+σexEx=1Sey∂Hz∂y jωεyEy+σeyEy=−1Sex∂Hz∂xjωμzHz+σmzHz=−1Smx∂Ey∂x+1Smy∂Ex∂y] （5）

式中：J为激励源;[Sex]、[Sey]、[Smx]、[Smy]为CPML边界条件坐标延伸项，详细分解如下。

[Sex=kex+σpexαex+jωε0][ Sey=key+σpeyαey+jωε0]

[Smx=kmx+σpmxαmx+jωμ0][Smy=kmy+σpmyαmy+jωμ0]

其中[kex]、[key]、[kmx]、[kmy]、[αex]、[αey]、[αmx]、[αmy]为新参数，取值要求为[k≥1]、[α≥0]。

在吸收条件下要有零反射，则需要满足[Sei=Smi]（i=x;y）的条件。

并由此推导出[kei]值。

[kei=kmi]、[σpeiαei+jωε0=σpmiαmi+jωμ0]

由此可得出以下結果。

[σpeiε0=σpmiμ0];[αeiε0=αmiμ0]

式（5）为频域方程，转化为时域方程，其[jω=∂∂t]，所以式（5）可转换为式（6）至式（8）。

[εx∂Ex∂t+σexEx=Sey·∂Hz∂y]     （6）

[ εy∂Ey∂t+σeyEy=−Sex·∂Hz∂x]     （7）

[μz∂Hz∂t+σmzHz=−Smx·∂Ey∂x+Smy·∂Ex∂y] （8）

其中，[Sei]、[Smi]为傅里叶的逆变换，可用式（9）、式（10）表示。

[Sei=δ（t）kei−σpeiε0k2eiexp−σpeiε0kei+αpeiε0tut=δ（t）kei+ξei（t）]       （9）

[Smi=δ（t）kmi−σpmiμ0k2eiexp−σpmiμ0kmi+αpmiμ0tut=δ（t）kmi+ξmi（t）]      （10）

式中：[δ（t）]为单位脉冲函数;[ut]为单位阶跃函数。

把式（9）（10）代入式（6）至式（8），得式（11）至式（13）。

[εx∂Ex∂t+σexEx=1key∂Hz∂y+ξey（t）·∂Hz∂y] （11）

[ εy∂Ey∂t+σeyEy=1kex∂Hz∂x+ξex（t）·∂Hz∂x] （12）

[μz∂Hz∂t+σmzHz=−1kmx∂Ey∂x+1kmy∂Ex∂y−ξmxt· ∂Ey∂x+ξmyt· ∂Ex∂y]     （13）

为减小计算误差，采用中心差分对式（11）至式（13）进行离散化，得到CPML边界条件的迭代公式，则在TE波中CPML电场更新方程为式（14）。

[En+1xi， j=Cexei， jEnxi， j+1keyi， jCexℎzi， j]

[Hn+12zi， j−Hn+12zi， j−1+]

[ΔyCexℎzi， jΨn+12exyi， j]          （14）

定义新的系数[CΨexzi， j=ΔyCexℎzi， j]

[Cexℎzi， j合并1keyi， jCexℎzi， j]

这些系数的修正只是在CPML重叠区域，最终得到二维TE波的CPML更新迭代公式（15）。

[En+1xi， j=Cexei， jEnxi， j+Cexℎzi， j]

[ Hn+12zi， j−Hn+12zi， j−1+]

[CΨexyi， jΨn+12exyi， j]       （15）

同理得式（16）和式（17）。

[En+1yi， j=Ceyei， jEnyi， j+ Ceyℎzi， j]

[Hn+12zi， j−Hn+12zi， j−1+]

[CΨeyzi， jΨn+12eyzi， j ]      （16）

[Hn+12zi， j=][Cℎzℎi， jHn−12zi， j+]

[ Cℎzeyi， jEnyi， j+1−Enyi， j+]

[Cℎzexi， jEnxi+1， j−Enxi， j+]

[CΨℎzxi， jΨnℎzxi， j+CΨℎzyi， jΨnℎzyi， j] （17）

从式（15）至式（17）可以看出，下一步的电场计算只需要上一步的电场与相邻磁场作用得到，同理，下一步的磁场只需要上一步的磁场与相邻电场耦合得到。

3 模拟计算及其讨论

计算模拟中采用CPML边界为5单位、中心区域为40单位的试验平台，验证CPML的吸收效果，中心计算区放置高斯波源，如图1所示。

首先，为了验证CPML边界吸收效果，在中心区设置高斯源，在不同时间步观察高斯波在边缘吸收边界处的收敛情况，分别在时间步为30、40、80、1 000观测CPML边界对内部场的吸收效果，从图2（a）可以看到，中心高斯波源随时间增加，中心区开始出现场强分布，要想证明吸收边界设置完美，将看到中心区的入射波源在时间步足够长时，边缘位置不会出现波峰变化;在图2（d）中，时间步足够长时看到吸收效果良好。

为了进一步验证边界条件设置无误，将点源放置于计算底角位置，图3为在不同时间步中观察点源对其边界的影响，得出与点源放置于中心区相同结论。由图3（d）可以看出，点源在边缘部分基本吸收完全，表明CPML吸收边界条件吸收效果良好。

图4和图5是在CPML情况下点源在不同时间段ex变化时域和频域变化图，在时域图中可以看到在位置15处变化巨大，说明电场对吸收边界的影响最大;在频域图中可以看到在位置10处变化与其他位置处差距较大，说明吸收效果较差。

4 结语

本研究对二维TE的CPML边界条件进行了详细推导，引入坐标延伸变量，进行差分离散化，最终得到电磁场的迭代公式，并且加以试验的印证，CPML条件在计算模拟空间无限大无限长结构时具有良好的仿真效果。当然，CPML相对PML形式简单，不需要对场进行分裂，其对入射波的吸收效果更优，CPML可以应用到多方面的数值模拟，如在MATLAB上对二维分频器进行边界的改变，对二维弹性波的截断计算[10]等。所以，二维TE波的CPML边界公式的推导可以对研究电磁模拟工作提供较大的帮助。

注释：

本文公式推导中的所有场量均为矢量。

参考文献：

[1]YEE K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation，1966，14（5）：302-307.

[2] 何光峰，迟洁茹，范昊博，等.基于二维TE波常用时域有限差分算法的分析[J].青岛大学学报（工程技术版），2018，33（2）：123-127.

[3] 葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法[M].西安：西安电子科技大学出版社，2011.

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[5] GEDNEY S. An anisotropic PML absorbing media for the FDTD simulation of fields in lossy and dispersive media[J]. Electromagnetics， 1996， 16（4）.

[6] FENG N X ， LI J X，ZHAO X M.Efficient FDTD Implementations of the Higher-Order PML Using DSP Techniques for Arbitrary Media[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation， 2013， 61（5）：2623-2629.

[7] RODEN J A，GEDNEY S D.Convolution PML （CPML）： An efficient FDTD implementation of the CFS–PML for arbitrary media[J]. Microwave and Optical Technology Letters， 2015， 27（5）.

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[9] 刘泽斌，周个妹.基于MATLAB的电磁辐射传播预测与仿真应用研究[J].广西广播电视大学学报，2013，24（4）：85-88.

[10] 李义丰.卷积完全匹配层在二维弹性波计算中的应用[J].声学技术，2013，32（S1）：45-46.