函数问题中常见的转化思想

刘锦浓

[摘 要]转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。在数学解题过程中常把陌生、复杂、抽象的问题转化为熟悉、简单、直观的问题，从而达到简化运算、快速解题的目的。历年高考中，转化思想的应用随处可见。在数学教学中，教师要引导学生掌握函数问题中的转化思想，不断培养学生的轉化意识，提高学生的思维能力。

[关键词]转化思想;函数问题;方程

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）08-0029-03

函数是高中数学的基础，它知识点多，覆盖面广，综合性强，很容易与其他知识建立联系。解决函数问题所需的转化思想是重要的数学思维策略，它在数学解题中应用广泛。运用转化思想可以将陌生变为熟悉，将复杂变为简单，将抽象变为直观，从而有效解决问题。本文主要探讨函数问题中常见的转化思想。

一、数与形的转化

数形结合，实质上就是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。

（一）以形助数

[例1]设方程[log3x+x-3=0]的根为[x1]，方程[3x+x-3=0]的根为[x2]，求[x1+ x2]的值。

分析：本题若直接解出[x1]， [x2]的值，再求[x1+x2]是不现实的。观察两个方程发现，[y=log3x]与[y=3x]互为反函数，可利用反函数的图像关于直线[y=x]对称的性质，辅以图像解题。

解：将原方程化为[log3x=3-x]，[3x=3-x]，方程[log3x+x-3=0]的根为[x1]，实质上是函数[y=log3x]与[y=3-x]图像的交点的横坐标;方程[3x+x-3=0]的根为[x2]，实质上是函数[y=3x]与[y=3-x]图像的交点的横坐标。如图1，设其交点分别为[A]、[B]，函数[y=x]与[y=3-x]图像的交点为[P]。

因为[y=x]与[y=3-x]垂直，且函数[y=log3x]与[y=3x]的图像关于直线[y=x]对称，所以点[A]、[B]关于点[P]对称，易得[P32，32]，所以[x1+ x2=3]。

评析：本题主要是把方程转化为函数的图像相交求解。由图形分析数量间的本质联系，解决数学问题时能做到快、准，解题往往事半功倍。

（二）以数助形

[例2]如图2，已知[OPQ]是半径为1，圆心角为[π3]的扇形，[C]是扇形弧上的动点，四边形[ABCD]是扇形的内接矩形。记[∠COP=α]，当角[α]取何值时，矩形[ABCD]的面积最大？并求出这个最大面积。

分析：要求当角[α]取何值时，矩形[ABCD]的面积最大，可分两步进行：（1）找出矩形[ABCD]的面积[S]与[α]之间的函数关系;（2）由函数关系，求[S]的最大值。

解：在[Rt△OBC]中，[OB=cos α]，[BC=sin α]，

在[Rt△OAD]中，[OA =DA/tanπ3=33sin α]，

设矩形[ABCD]的面积为[S]，则

[S=AB×BC=cos α-33sin αsin α=33sin2α+π6-36]，

因为[0<α<π3]，所以当[2α+π6=π2]，[即α=π6]时，矩形ABCD的面积最大，[Smax=36]。

评析：本题主要是把几何问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的配角公式转化为形如[y=Asin（wx+φ）]的函数求解，进而实现以数解形。

二、函数与方程的转化

（一）利用函数解方程题

在解一些高次方程、无理方程或超越方程时，直接解题难度比较大，可以考虑构造函数，把方程问题转化为函数问题，再利用函数的单调性、奇偶性等解题。

[例3]在实数范围内解方程[（5x+3）3+x3+6x+3=0]。

分析：这是一个高次方程，如果先去括号后移项再化简，会十分麻烦。但若不展开，而直接把[（5x+3）]看成一个整体，则可把复杂的高次方程问题转化为简单的方程问题，再利用函数的单调性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程可等价转化为[（5x+3）3+（5x+3）=-（x3+x）]，即[（5x+3）3+（5x+3）=（-x）3+（-x）]，

设函数[f（x）=x3+x]，则[f（x）]为奇函数，且在实数集上是单调递增函数。这时原方程又可等价转化为[f（5x+3）= f（-x）]。由函数的单调性可知[5x+3=-x]，∴[x=-12]，即原方程的实数解为[x=-12]。

评析：函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简。

（二）利用方程解函数题

在求解函数性质（如值域）时，可把函数问题转化为方程问题，再利用方程有解的条件解题。

[例4]求函数[y=xx2-x+1]的值域。

分析：可将函数转化为含有参数[y]的关于[x]的一元二次方程，再利用判别式法求解。

解：由[y=xx2-x+1]得[yx2-（y+1）x+y=0]，这是一个关于[x]的一元二次方程。

当[y=0]时，解得[x=0]，方程有解;

当[y≠0]时，为使关于[x]的一元二次方程有解，必须令[Δ=（y+1）2-4y2≥0]，解得[-13≤y≤1（y≠0）]。综合可得函数的值域是[-13， 1]。

[例5]已知数列[an]满足[a1=33]，[an+1-an=2n]，则[ann]的最小值为                           。

解析：∵[an+1-an=2n]，∴当[n≥2]时，[an-an-1=2（n-1）]，

∴[an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（2n-2）+（2n-4）+…+2+33=n2-n+33（n≥2）]，

又[a1=33=1-1+33]，故[a1]满足上式，

∴[an=n2-n+33（n∈N*）]，∴[ann=n+33n-1]，

令[f（x）=x+33x-1（x>0）]，则[f ′（x）=1-33x2]，

令[f ′（x）=0]，得[x=33]，

易知当[x∈0，33]时， [f ′（x）<0] ;当[x∈33，+∞]  时， [f ′（x）>0]，

∴[f（x）]在区间[0，33]上递减，在区间[33，+∞]上递增，

又[5<33<6]，且[f（5）=5+335-1=535]，[f（6）=6+336-1=212]， [f（5）>f（6）]，

∴当[n=6]时，[ann]有最小值[212]。

评析：函数思想与方程思想是密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解決，方程问题也可以转化为函数问题加以解决。如解方程[f（x）=0]，就是求函数[y=f（x）]的零点;又如求方程[f（x）=g（x）]的解的问题可以转化为函数[y=f（x）]与[y=g（x）]的交点问题，也可以转化为函数[y=f（x）-g（x）]与[x]轴的交点问题。

三、常量与变量的转化

在有些数学问题中涉及多个变量，而从正面由常量求解变量较难，对此可选择把某些变量看作常量，减少变量的个数，再列出剩余变量的关系式，从而简化运算。

[例6]已知实数[x]、[y]满足[x2-3xy+y2=2]，则[x2+y2]的取值范围是                            。

分析：本题有[x]，[y]两个变量，且题设与结论是关于[x]，[y]的对称式，故可以[x]为主变量，令[y=x+t]，其中[x]，[t]为常量，列出变量[x]的关系式解题。

解：令[y=x+t]，

由[x2-3xy+y2=2]得[x2-3x（x+t）+（x+t）2=2]，

化简得：[x2+xt+2-t2=0]，即[x2+xt=t2-2]，

∵[x∈R]，∴Δ=[t2-4（2-t2）≥0]，解得[t2≥85]，

[∴x2+y2=x2+（x+t）2=2x2+2tx+t2=2（t2-2）+] [t2=3t2-4≥45]，

∴[x2+y2]的取值范围是[45，+∞]。

四、特殊与一般的转化

（一）特殊化法

利用特殊情况，如特殊值、特殊位置、特殊函数等，可求解一般化问题。

[例7]当[x-y=1]时，[x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4]的值是                 。

解析：本题如果用传统解法，由[x-y=1]得[x=1+y]再代入原式，运算量大，不可取。把原式化成含[x-y]的形式，再用[x-y=1]整体代入，还是较烦琐。若根据题型特点，取特殊值[x=1]，[y=0]代入原式即得所求值是1。

（二）一般化法

[例8]已知[f（x）=ex1+ex]，求[f（-5）+f（-4）+…+f（4）+f（5）]的值。

分析：本题若逐项求值比较困难，因为自变量的值（除0外）都是互为相反数，所以不妨从相反数入手，观察[f（x）与f（-x）]的一般关系。

解：[∵f（x）=ex1+ex]，[f（-x）=e-x1+e-x=1ex+1] [∴f（x）+f（-x）=1]，

∴[f（-5）+f（-4）+…+f（4）+f（5）=5+ f（0）=5+12=112]。

五、特定模型的转化

转化思想并不只是在函数范围内应用，在整个高中数学中也经常用来解决一些知识内容陌生、题意复杂难懂或者计算量比较大等不容易处理的问题。灵活多变的转化技巧，往往能够简化运算，降低问题难度。一些特定问题，如求取值范围，经常可以转化为一元二次函数、三角函数、基本不等式、对勾函数等，再利用函数性质、运算规则等进行求解。

[例9]如图3，已知椭圆[C]：[y2a2+x2b2=1a>b>0]的短轴长为[2]，过下焦点且与[x]轴平行的弦长为[233]。

（1）求椭圆[C]的标准方程;

（2）若[A]、[B]分别为椭圆[C]的右顶点与上顶点，直线[y=kxk>0]与椭圆[C]相交于[M]、[N]两点，求四边形[AMBN]的面积的最大值及此时[k]的值。

解：（1） [y23+x2=1];过程略。

（2）易知点[A（1， 0）]，[B0， 3]，直线[AB]的方程为[x+y3=1]，即[3x+y-3=0]，

不妨设[M（x1， y1）]，[N（x2， y2）]且[x1<x2]，

[y23+x2=1，y=kx，⇒x1=-3k2+3]，[x2=3k2+3]，则[x2=-x1]，

设[M]到直线[AB]的距离为[d1=3x1+kx1-32=] [3-k+3x12=3+k+3x22]，

[N]到直线[AB]的距离为[d2=3x2+kx2-32=k+3x2-32]

[S四边形AMBN=12ABd1+d2=k+3x2]

[=3k+3k2+3=3k2+63k+9k2+3]

[=3k2+23k+3k2+3][=31+23kk2+3]

[=31+23k+3k≤3×1+232k×3k=6]，

当且仅当[k=3]时，等号成立，

因此，四边形[AMBN]的面积的最大值为[6]，此时[k=3]。

当然，在解一道函数题时并非仅应用一种转化思想，有时需要配合应用几种转化思想，如例1中，是先把方程转化为函数，再转化为图像解题。函数问题中的转化思想也不限于上述几种。在实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把陌生问题转化为熟悉问题来处理，或者将复杂的问题转化为简单的问题，或者将难以解决的、比较抽象的问题转化为易于解决的、比较直观的问题。按照这些原则进行转化，省时省力，犹如顺水推舟。在解题教学中，教师经常渗透转化思想，可以提高学生的解题能力和解题效率。

（责任编辑 黄春香）