具有非局部扩散Lotka-Volterra竞争系统的波速选择

秦 雨

(西安电子科技大学 数学与统计学院，陕西 西安 710071)

研究具有非局部扩散的Lotka-Volterra竞争系统

(1)

最小波速的选择机制，其中t>0,x∈R,ri,di,bi>0;ui=ui(x,t)表示在时间t和位置x处的种群密度；ri表示种群内部增长率；bi表示种间竞争系数；di表示扩散系数；扩散项

近年来，具有局部扩散的Lotka-Volterra竞争系统的最小波速选择机制已经得到了广泛研究[1-9]，其中文献[5]研究了时间周期Lotka-Volterra竞争系统，文献[6-7]研究了Lotka-Volterra格竞争系统，文献[8-9]研究了三种群Lotka-Volterra竞争系统.众所周知，Laplace扩散是一种局部扩散，只描述种群中个体影响近邻区域的平均扩散效果，而非局部扩散可以衡量和刻画大区域的空间扩散过程.近年来，非局部扩散模型在生物学、流行病学等多个领域备受关注[10-15].研究非局部扩散最小波速选择机制较为困难,除了文献[16]以外，关于具有非局部扩散的Lotka-Volterra竞争系统行波解的最小波速的工作较少，文献[16]只得出线性选择和非线性选择的定理条件，未构造具体上下解从而得出线性选择和非线性选择的显式条件.目前对具有非局部扩散的高维Lotka-Volterra竞争系统行波解最小波速的选择机制仍没有结果.受三种群局部扩散竞争系统最小波速选择机制研究的引导,以及文献[13,16]的启发，本文研究系统(1)的速度选择机制,并构造具体上下解得出线性和非线性选择条件下各参数之间的关系.

本文主要采用文献[2]的研究方法，将具有局部扩散的两种群Lotka-Volterra竞争系统的最小波速选择机制推广到了系统(1).首先，将非局部扩散Lotka-Volterra竞争系统转化为合作系统;然后，基于行波解的存在性、比较原理及上下解方法得到系统最小波速选择机制的判定定理；最后，通过构造合适的上下解推导出系统最小波速是线性选择或非线性选择的参数范围.

1 预备知识

令u=1-u1,v=u2,w=1-u3，将竞争系统(1)转化为合作系统：

(2)

其中，r0=1-b1-b3.初值条件为

本文假设下列条件成立：

(H3)b2>1,b1+b3<1.

假设(H3)表明物种v的竞争能力强于物种u和物种w.易知，对应的动力系统存在平衡点

引入一个新变量ξ=x-ct,c≥0,并定义

(u,v,w)(x,t)=(U,V,W)(ξ)

为系统(2)连接平衡点α1和α0的行波解，则U(ξ),V(ξ)和W(ξ)满足：

(3)

其中(U,V,W)(ξ)称为波廓，c称为波速.由文献[11]可知，存在cmin>0，当且仅当c≥cmin时，系统(3)存在非负单调解，在平衡点α0处线性化可得

定义1当cmin=c*时，系统(3)的最小波速是线性选择的；当cmin>c*时，系统(3)的最小波速是非线性选择的.

定义2如果连续函数(U,V,W)(ξ)在R上除了有限个点ξi(i=1,…,n)外都可微，并且满足以下不等式:

(4)

且对所有ξi都有

那么(U,V,W)(ξ)称为系统(3)的一组上(下)解.

引理1(行波解的存在性) 假设条件(H1)～(H3)成立，则存在一个正常数cmin，当且仅当c>cmin时，系统(3)存在一个解(c,U,V,W),且满足V′>0，U′>0,W′<0.

为构造合适的上下解，下面研究其特征值问题.给定正常数y1,y2,y3和λ.令(U,V,W)(ξ)=(y1e-λξ,y2e-λξ,y3e-λξ)，代入系统(3)，并在α0处线性化得到

(5)

由文献[12]知，假设条件(H1)～(H3)成立，如果系统(3)的波速满足c*>0，则对每一个c>c*，特征方程F2(λ,c)=0有两个正根λ1(c)<λ2(c).当c=c*时存在λ(c*)>0,使得F2(λ(c*),c*)=0.由文献[13]可知，Fi(λ,c)关于λ是凸函数，F1(λ,c)存在一个正根λ3(c)，F3(λ,c)存在一个正根λ4(c)，若λ1(c)<λ3(c),λ1(c)<λ4(c)，则F1(λ1,c)<0,F3(λ1,c)<0.

2 速度选择机制

当c→c*时，构造系统(3)的一个下解.定义连续函数

其中，λ1<λ1+ε2<λ2,0<ε2≪1，M是正常数，ξ0=lnM/ε2.

引理2当c=c*+ε2时连续函数(U,V,W)(ξ)是系统(3)的一组下解，其中U(ξ)和W(ξ)是系统(3)第一个方程和第三个方程在V(ξ)=V(ξ)时的下解.

证明只需要证明V(ξ)是系统(3)中第二个方程的下解即可.当ξ≤ξ0时，结论显然成立,当ξ>ξ0时，有

其中，当ε2充分小时第一项F2(λ1,c)=0，第二项恒大于0.当M充分大时有y1>0且第二项指数函数可以控制第三项，最后两项取值均为正值，故

定理1令系统(3)中的参数di,ri,bi(i=1,2,3)固定，其中F2(λ1,c)=0.当条件(6)成立时，系统(3)的最小波速是线性选择的.

引理3如果c1>c*,假设(U,V,W)(x-c1t)≥0是微分系统

(7)

的下解.如果V(ξ*)(ξ*=x-c1t)单调，并且满足

则当c∈[c*,c1]时，系统(3)不存在行波解.

证明假设系统(7)在c∈[c*,c1]时存在单调的行波解(U,V,W)(x-ct),初值满足u(x,0)=U(x),v(x,0)=V(x),w(x,0)=W(x).

定义连续函数(U,V,W)(ξ)满足系统(3).假设V(x)≤V(x)，运用到系统(3)可得(U,V,W)(x)≤(U,V,W)(x).由于(U,V,W)(x-c1t)是系统(7)的一个下解且初值为(U,V,W)(x)，则对所有的(x,t)∈(-∞,+∞)×(0,∞)，由比较原理可得

(8)

令ξ*=x-c1t,则有V(ξ*)>0,但是

故由(8)式可得V(ξ*)≤0，这与条件矛盾，于是引理得证.】

如果下列条件成立：

则(U,V,W)(ξ)是系统(3)的一个下解，其中

由引理3可得以下结论.

定理2令系统(3)的参数di,ri,bi(i=1,2,3)固定.当条件(9)成立时,系统(3)的最小波速是非线性选择的.

3 速度选择的判定定理

定理3令系统(3)的参数di,ri,bi(i=1,2,3)固定，且

如果

那么系统(3)的最小波速是线性选择的.

易知

因此，当ε3充分小时，对所有的ξ∈(-∞,∞)有

下面讨论系统(3)的第一个方程和第三个方程.当ξ≥ξ1且ε3→0时，有

对于ξ<ξ1，显然有

定理4令系统(3)的参数di,ri,bi(i=1,2,3)固定，且

如果

则系统(3)的最小波速是非线性选择的.

证明定义一组连续函数(U,V,W)(ξ)为

根据定理2，只需证明在条件(12)下，(U,V,W)(ξ)是系统(3)的下解.将(U,V,W)(ξ)代入系统(3)的第二个方程，并令ε4→0,则

易得

由定理2及(14)式可知，当ε4充分小时，对于所有的ξ∈(-∞,∞)，有

下面讨论系统(3)中的第一个方程.因为当ε4→0时,有

根据(14)，(15)式，对所有的ξ∈(-∞,∞)，当ε4充分小时，有

综上所述，由定理2可知结论成立.】

4 结论

本文在单稳情况(b2>1,b1+b3<1)下，研究了非局部扩散的三种群Lotka-Volterra竞争系统行波解最小波速的选择机制.首先，建立了三种群模型的最小波速选择理论.然后，推广文献[16]中线性选择的定理条件，得到了相对一般的结果.最后，通过构造出合适的上下解，得到了判断三种群Lotka-Volterra竞争系统最小波速是线性选择或非线性选择的显式条件.本文结果可以更有效地预测具有空间各向同性非局部扩散并争夺相同资源的三物种的增长变化，从种群生物角度可以得到非局部扩散Lotka-Volterra模型强竞争物种的入侵速度.因此，本文工作在种群生物学中具有一定的理论意义以及实际意义.