借助项目式学习发展学生数学核心素养——以“建立函数模型探究气温变化问题”为例

●汤向明 黄 立 黄玫婷

项目式学习要求学生通过亲自调研、查阅文献、收集资料、分析研究、撰写论文等，将学到的理论知识和现实生活中的实际问题紧密结合[1]，是发展学生数学核心素养的重要载体。在实际教学中，高中数学项目式学习实践存在几个难点：其一，教师在教学设计中难以精准预设数学核心素养与教学内容的孕育点和生长点；其二，教师在教学实施过程中难以整体把握教学内容，难以促进学生数学核心素养连续性和阶段性发展；其三，项目式学习容量大，仅仅依靠传统的课堂教学模式，难以充分施行。针对以上问题，笔者以“建立函数模型探究气温变化问题”的项目学习(以下简称“气温变化”项目)为例，深入探讨如何将数学核心素养培养贯穿于项目式学习全过程，促使学生数学核心素养深入发展。

一、项目设计与前期指导

“气温变化”项目基于普通高中教科书《数学·必修(第一册)》“三角函数应用”[2]的内容，旨在探究气温的变化。学生要完成如下任务：一是收集数据并使用信息技术进行函数拟合，获得具体的函数模型；二是建立函数模型，进行求解验证，并简单应用模型；三是对气温变化成因进行分析，从复杂背景中抽象出基本的数学关系，整合相关学科知识理解气温变化问题。“气温变化”项目从现实情境出发，呈现了多层次的数学问题，有助于学生理解数学内容的本质，不仅关注数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等素养水平的提升，而且关注数学核心素养综合性与整体性的发展，体现了数学作为一门工具学科对多学科融合发展的推动作用。

在项目开展前，教师可结合人民教育出版社出版的普通高中A版教科书《数学·必修(第一册)》新增内容，为项目式学习的展开做铺垫。如，第三章“函数的基本性质”中增加教学内容“信息技术应用：用计算机绘制函数图象”，以GeoGebra软件为例介绍用计算机软件绘制函数图象的方法；第三章增加“文献阅读与写作：函数的形成与发展”和第四章增加“文献阅读与写作：对数概念的形成与发展”的内容，以第三章、第四章所学函数的文化背景让学生了解函数形成、发展的历史，并体验文献综述的写作过程与方法，为文献查阅、论文选题和规范撰写数学论文打下基础。这些基础铺垫已经能让学生在电脑和平板上独立使用数学软件GeoGebra，并初步掌握数学论文写作方法。

在“气温变化”项目启动后，教师对学生进行分组，并在福建省教育资源公共服务平台(以下简称“资源平台”)上推送项目任务：任务1，收集连续3天的气温分时数据，选用一个函数近似描述分时气温与时间的关系；任务2，应用任务1中的函数对气温进行预报，并验证预报的准确性；任务3，应用不同学科的知识解释气温变化的原因。学生利用两周左右的时间，进行线上研讨并实时更新进度。教师通过网络学习空间发现优秀的阶段性成果和存在的典型问题，为组织学生课上交流做好准备。

许多学生面对具有实际背景的题目往往手足无措，主要是受时空限制，没有经历收集数据的过程，对情境的现实意义缺乏体验。因此，项目组引导学生从日常生活中提取数学信息，提升数学抽象的意识和能力；让学生经历完整的数据收集过程，选择合适的抽样方法，并对数据进行描述、刻画和分析，提高数据分析素养；引导学生在进行数据分析和处理、理解数学模型实际意义、探究模型成因的逻辑关系等过程中感悟数学模型思维、深化数据观念、提高数学推理能力。“气温变化”项目探究初期，项目组利用网络学习空间启动项目式学习，打破原来的时空界限，将对项目的研究从课内延伸到课外，在网络学习空间进行充分的交流互动。在此过程中，教师掌握了学生在前期研究过程中存在的典型问题，对中期更准确地引导学生提升数学核心素养具有重要意义。

二、项目实施与深入探究

“气温变化”项目进入实质性实施阶段后，教师可围绕三项任务，层层深入地引导学生展开探究。

任务一：选用一个函数近似描述分时气温与时间的关系

教师带领学生回忆数学建模的知识和使用过的辅助工具，从资源平台中调用所有学习小组上传的测量数据，并随机抽取一组数据进行展示，引导学生讨论。最后，学生达成如下共识：每天21∶00至第二天6∶00的时间段里，气温一般比较稳定，其变化可以忽略不计，因此对一天中气温变化的研究应集中在6∶00至21∶00这段时间。教师可引导学生通过资源平台调用前期研究的阶段性成果，展示自己的建模过程，并说明选择该模型的原因。

在学生交流分享后，教师对学生的函数模型进行点评和归纳，主要情况如下：(1)大部分小组采用三角函数模型，有正弦函数，也有余弦函数；(2)部分小组采用多项式函数模型，有二次函数，也有三次函数等；(3)部分小组采用了线性或者非线性的分段函数。针对上述三种情况，教师可对学生做如下引导：对三角函数模型，引导学生应用三角函数的诱导公式，得出选择正弦函数和余弦函数是等价的；对多项式函数模型，结合教材中“泰勒展开式”[3]，引入三角函数的泰勒展开式，从数学学科知识的角度说明选择三角函数和多项式函数进行拟合均可；对线性或者非线性的分段函数模型，从简化模型的角度指导学生进行优化。针对大部分小组遗漏对定义域的限定这一情况，教师统一说明更正，发展学生思维的严密性，培养学生规范的解题习惯。

在处理方式上，学生展示了不同的方式：部分小组选取特殊点，应用待定系数法求解函数解析式；部分小组应用数学软件GeoGebra等进行函数拟合；部分小组通过提升数据的精确度，分析模型的拟合程度，对不同的函数模型进行对比。对选取特殊点应用待定系数法求解析式的学生，教师可引导其回忆五点作图法的步骤，并说明该方法的关键在于模型的选择以及特殊点的准确性；对拟合的处理方式，教师可引入残差、相关指数等概念，介绍回归分析的基本方法，通过指导学生应用平板操作GeoGebra软件对模型进行拟合度判断；对涉及的一些超前知识，教师引导学有余力的学生提前预习，实现有差异的个性化学习。

在这一环节中，教师重点强化学生的数学建模素养，让学生学会选择合适的数学模型解决问题。对模型的建立，教师针对发展学生数学直观想象核心素养进行设计，而对图形与数量之间的关系重在对研究方法及解决问题能力进行培养。教师借助希沃易课堂展示学生在Geogebra软件上制作的散点图，引导学生从“形”的特征探究各个量之间的关系以及变化规律，强化学生的直观想象素养，丰富学生的数据分析方法。对模型的选择和优化，教师针对发展学生数据分析素养进行设计，引进相关指数进行拟合判断，通过GeoGebra软件对数据实时分析，旨在从思维、表达、交流三个维度培养学生数据分析的核心素养。

任务二：应用已建立的模型估测今天气温低于30摄氏度的时间，并验证预报的准确性

教师通过希沃易课堂展示学生应用数形结合思想解决问题的操作过程，通过补充讲解培养学生直观想象的核心素养，通过电脑上的实时气温查询系统对所得结果进行验证，进一步比较模型选择的合理性。学生通过求解的结果，对之前的活动环节进行反思，如数据的精确度、模型的选择等，进一步优化已建立的数学模型。学生展示出了函数与方程、数形结合两种不同的思想方法：(1)部分小组应用已求出的函数解析式，列出不等式或者方程进行求解；(2)部分小组直接在GeoGebra软件已经拟合出的函数图象上作出直线y=30，从软件上直接读出交点坐标，再判断区间(见图1)。

图1 应用GeoGebra进行数形结合的操作

在该环节中，教师针对发展学生数学建模素养进行设计，让学生根据实际意义对模型进行检验和完善。学生展示解决问题的方法并解释方法应用的知识背景，既能够体会数学建模的实用性，又能加强对函数性质的理解。在解释模型方面，教师针对发展数学运算以及直观想象素养进行设计，让学生学会选择合适的运算方法并在数形结合中体会几何直观的作用和意义。验证预报准确性的过程与问题成因分析以及课后对模型的进一步优化都紧密相关，既是进一步引导学生研究模型拟合程度和数据精准度的过程，又是引导学生不断进行自我反思的必要过程。

任务三：应用不同学科知识解释气温变化的原因

教师在一体机上展示学生课前在网络学习空间上的不同见解，组织学生研讨，通过头脑风暴的形式让思维产生碰撞。学生利用地理知识达成共识——每日气温变化是由太阳光照强度引起的，而对如何将光照强度与时间建立函数关系式产生分歧。如，有的小组认为，光照强度随着每日的太阳高度角的变化而变化(见图2)，解释了三角函数的模型拟合气温变化的实际意义；有的小组应用向量的分解，将光照强度进行正交分解(见图3)，转化为三角函数模型；有的小组应用光的强度在大气折射后的马吕斯定律分析，转化为三角函数模型(见图4)；有的小组从单位面积的能量密度入手，结合解直角三角形的知识点分析成因(见图5)。

图2 太阳高度角

图3 分解光强

图4 马吕斯定律

图5 能量密度

在该环节中，教师针对发展学生数学建模素养进行设计，让学生经历提出问题、解决问题、阐释规律的完整过程，运用数学思维发现数学关系并建立数学模型，通过数学知识阐释科学规律。[4]气温周期变化中的自变量不是角度，而是时间。因此，其他学科知识的融合都是为了找到角度和时间的关系这一数学本质。对于模型归因分析，教师可针对培养学生直观想象素养进行设计，通过直观想象促进跨学科的融合，形成直观模型并直观表述复杂问题，最后提炼出数学本质并建立学科联系。在学习过程中，学生不仅体会到数学作为工具学科的价值所在，而且提升逻辑推理核心素养。

三、项目结果与教学启示

数学项目式学习不是一两节课就能够完成的。因此，教师应融合信息技术手段，在课后进行拓展延伸，形成线上线下的学习闭环。教师可利用学习交互平台，引导各学习小组进一步挖掘项目，在原来数据的基础上扩大样本容量和研究周期，对一年的日平均气温变化情况进行数学建模和成因分析；通过气象部门收集相关数据，建立数学模型探索全球气候变暖问题等，形成相关的项目式学习成果，其中包括研究报告、数学论文等。[5]“气温变化”项目的实践，为借助项目式学习发展数学核心素养，提供了如下有益启示。

首先，要设计发展学生数学核心素养的问题主线。数学核心素养的提升必须渗透在合适的情境中，教师以项目为载体与学生进行有效互动。如，“气温变化”项目的三项任务有效地提升了学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养。在项目准备阶段，学生在真实情景中收集数据并分析处理数据，较好地培养了数学抽象、数据分析等核心素养。在任务一中，学生根据散点图选择函数模型，并应用GeoGebra软件进行拟合，较好地培养了直观想象、数学抽象、数学建模等核心素养。在任务二中，学生根据实际意义检验结果、完善模型、解决问题，有效地提升了数学运算、数据分析、数学建模等核心素养。在任务三中，多学科融合的归因分析，有效提升了学生逻辑推理的核心素养。数学核心素养的培养在项目开展过程中具有连续性和阶段性特点，教师要准确分析并把握项目式学习过程中各阶段蕴含的数学核心素养，切实促进学生数学核心素养的发展。

其次，要设计整合性的项目内容。“气温变化”项目以教材例题“气温问题”[6]作为问题背景，根据教材三角函数的应用[7]改造而成，具有开放性，能真正培养学生的创造力；对复习参考题26题“泰勒展开式”[8]的挖掘，解释了不同函数模型的合理性和联系性，解决了学生在建模过程中的困扰；对复习参考题27题“太阳高度角”[9]的挖掘，应用数学基础知识解释天文和物理现象的本质，自然融合多学科知识，引导学生发现三角函数的自变量从角度变成时间的原因以及数学本质。设计合适的教学情境、提出合适的数学问题具有挑战性，也为教师的实践创新提供了平台。教师应提高自身的学科素养，探索数学知识之间以及数学与其他学科的联系，开发出有助于提升学生数学核心素养的教学案例。

最后，要打破传统学习时空的限制。项目式学习的教学容量大，教师不能完全采取传统讲授模式，而应以开放式的展示课、讨论课为主。因此，教师可课前通过学习交互平台布置任务并进行学情分析，课中调用平台资源进行展示、研讨，课后在平台上指导学生形成研究成果并进行教学评价。交互学习平台的使用，有助于打破原有时空界限，将线上、线下学习融为一体，提升学生的自学能力。教师在平时的教学中要有意识地积累、总结出以学为中心的教学方式并不断优化。

基于教材设计项目，结合特定的教学任务，挖掘数学核心素养在教学中的孕育点、生长点，将数学核心素养与具体项目内容相关联，能让学生在项目开展的过程中深化对知识的理解和应用，发展数学核心素养。