定比点差法的应用——圆锥曲线中线段定比分点问题的探究

云南省下关第一中学 (671000) 郭润仙

处理直线与圆锥曲线的交汇问题，我们经常采用的方法就是：先联立直线和圆锥曲线的方程，再灵活利用根与系数的关系加以求解，即利用了“设而不求”的方法.但实际上，如果能避开一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，即利用“设而求”的方法，或许更为简单.现就圆锥曲线中有关线段定比分点问题进行探究，给出一种更好的解题方法，即“定比点差法”.

类型一、处理弦长被坐标轴分成两段的相关问题

(1)求椭圆C的标准方程；

图1

综上，所求m的取值范围是(-2,-1)∪(1,2)∪{0}．

评注：本题第二问利用定比点差法解题时，必须根据m与0的关系进行讨论；否则，极易产生漏解.

类型二、处理相关定直线与定点问题

评注：两个调和定比分点式子一齐上场才能解决问题，这是定比点差法的核心.

(1)求椭圆C的方程；

(1)求椭圆C的离心率；

(2)直线λx+μy=1是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

评注：本题第二问求解的关键在于将“定比点差法”灵活运用两次，均得到点P横坐标的含参表达式，进而获得两个参数λ,μ满足的等式，便于进一步分析含参直线λx+μy=1是否经过定点.

类型三、处理坐标轴为角平分线类试题

图2

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

(2)当直线l与x轴重合时，因为∠OMA=0°,∠OMB=0°，所以∠OMA=∠OMB.

当直线l与x轴垂直时，因为OM为线段AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

当直线l与x轴不重合也不垂直时，如图3所示，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，并延长AB′与x轴交于点N，连接BN.下面通过证明N与M重合，来证明∠OMA=∠OMB.

图3

综上，必有∠OMA=∠OMB.

类型四、处理相交弦中的定点定值问题

注意：在圆锥曲线问题中，当两条弦所在直线的公共点在坐标轴上时，运用常规解法非常繁琐，若将坐标变换成比值，则往往会事半功倍.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若k=1，求|AB|的最大值；

评注：上述求解关键是先两次活用“定比点差法”可得⑦式，再将三点共线转化为直线的斜率相等可得⑧式.显然，第三问涉及字母形式的化简、运算量较大，需要特别认真、细心一些.

总之，结合上述归类解析可知，灵活运用“定比点差法”可迅速分析、解决圆锥曲线中有关涉及线段定比分点问题，其优点是技巧性的规律较强，有利于减少化简、运算量，从而提高解题的速度与准确性.