明理讲通法 推广显内涵*——一道椭圆问题的解析与推广

福建师范大学附属中学 (350007) 周裕燕

2020年全国I卷理科第20题解析几何试题考查椭圆中的定点问题，看似常规，但实际测试难度较大，并且意蕴深刻.本文旨在为此题寻找常见的解题方法，并探究此类试题的一般性结论及其推广，以资于教学研究.

1 试题再现

图1

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

2 试题解析

评析：证法一是直接设直线CD方程，利用方程的思想，实现消元.本题通过联立方程，利用韦达定理，设而不求，但是运算过程中出现点的坐标不对称，无法直接利用韦达定理实现整体代入，因此坐标的不对称形式转化为对称形式成为本题的难点，加上此法运算量较大，要想得到定点实属不易.

评析：证法二是通过间接设点P坐标，再把直线AP,BP的方程分别与椭圆方程联立，求出点C,D的坐标，从而得到直线CD的方程，通过整理化简得到定点.此法不需要用韦达定理，但计算量大，要想得到直线CD的点斜式方程，从而得到定点，难度不小.

评析：证法三、四采用特值探路，以退为进.先利用点C的特殊位置及椭圆的对称性，猜测出定点，再加以证明.证法三利用同一性，证明了直线AC与BD的交点P直线x=6，回避了证法一中点坐标不对称问题.证法四是综合了证法二、三两种证法，把问题转化为证三点共线问题，有效地减少了运算量.在解决定值、定点、探索存在性问题时，先猜后证也是一种不错的方法.

3 试题推广

经过探究，将椭圆方程一般化，直线x=6推广到x=m，可得以下结论：

图2

虽然椭圆与双曲线在形状上有很大的差异，但它们同为有心圆锥曲线，有许多类似的性质.通过类比，我们不难得到如下结论：

图3

证明：依题意，设直线CD的方程为x=sy+t，C(x1,y1),D(x2,y2).

实际上，圆、椭圆、双曲线都具有此性质，把方程统一化，可以得到以下结论：

证法与上面相似，不再赘述.

这道高考题看是常规，但富有深意.通过对此题的分析，发掘简约、自然的解题通法，并通过猜想类比，得出一般性结论并加以推广，凸显了此题知识的深刻内涵.