仿射坐标系下等和线的探究

山东省宁阳县第一中学 (271400) 程志松 苏凡文

在同一平面中相交于原点的两条数轴，如果它们的度量单位相等，称为笛卡尔坐标系，其中两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系．笛卡尔平面直角坐标系是我们平时使用最多的坐标系．那么若两数轴的度量单位不一定相等时就构成了平面仿射坐标系．仿射变换是一种线性变换，能够保持图象的平行性与平直性，借助仿射变换这一特点，我们可以构建仿射坐标系．

图1

图2

通过分析发现，基底作用下向量表示与直线方程的截距式是等价的．那么在仿射坐标系中，我们能否得到相同的结论呢？

图3

下面我们以两个高考题为例，浅析等和线的应用．

图4

图5

图6

17世纪初，笛卡尔建立了坐标系，这是变量数学的先导和基础，深刻地影响了数学的发展道路．笛卡尔坐标系经过仿射变换成为仿射坐标系，借助平面向量基本定理的推导让我们进一步的理解直线截距式方程就是等和线的概念.向量是连接几何与代数的有效手段，通过建系使点坐标化进而几何的目标可以通过代数达到，而代数的语言也可以用几何解释．