“运用导数证明不等式”教学设计

摘要：数学证明的真谛不在于能证明命题真假，而在于它能启发人们对命题有更深刻的理解，并能促进新发现，这就突破了传统教学中对数学证明的观念.根据这样的认识，我们认为对数学学习来说，数学证明的教育价值主要体现在帮助学生学会学习、培养学生思维能力、提升学生核心素养等几个方面.

关键词：导数证明;设计明暗线;问题;方法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）15-0038-03

收稿日期：2022-02-25

作者简介：金玉明（1977.1-），男，江苏省南京人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

1 近5年《运用导数证明不等式》全国卷高考考查情况调查2016年在新课标全国卷Ⅰ、Ⅱ（理科）21、新课标全国卷Ⅲ（文科）21、浙江卷（文、理科）20、山东卷（理科）20考查.2017年在新课标全国卷Ⅱ（理科）21、新课标全国卷Ⅲ（文科）21、（理科）21（数列不等式）、天津卷（理科）20、（文科）19、江苏卷20、浙江卷22（Ⅱ）（数列不等式）考查.2018年在新课标全国卷Ⅰ（文科）21、（理科）21、新课标全国卷Ⅱ（理科）21、新课标全国卷Ⅲ（文科）21、（理科）21、浙江卷22（Ⅰ）考查.2019年在北京卷（理科）19、（文科）20、天津卷（理科）20、（文科）20考查.2020年在天津卷20、浙江卷22考查.近五年考查非常密集.

2 教学设计思路

本节课内容按照“情境→问题→方法和思路→运用”的路径安排学习过程，体现了知识运用问题转化的一般思路，有利于学生形成系统、普适的数学思维模式.有利于提升学生透过问题看本质的能力，使学生学会以简驭繁，养成一般性思考问题的好习惯，从而发展数学抽象素养，提升逻辑思维素养和数学运算素养.

3 教学设计明线

明线一：知识.运用导数求解最值、提升至运用导数证明命题.

明线二：题型.解答题、证明题之间的互相转换，会运用导数证明不等式.

4 教学设计暗线

暗线一：思维方式.构造函数，求最值.

暗线二：核心素养提升.逻辑思维能力、抽象能力和数学运算能力.

5 课堂教学设计

5.1 教学目标

（1）体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律;

（2）体会数形结合的作用，能运用导数方法严格论证代数关系.

教学重点

运用导数证明不等式.

教学准备

PPT、GGB或者几何画板作图演示（图形更加直观，但是不能作为证明方法）.

5.2 教学过程

5.2.1 问题情境

问题1.说明函数f（x）=e与函数g（x）=x+1之间的大小关系.

引例：求函数f（x）=e-（x+1）的最小值.

教学设计意图

本情境的提出使学生明确：导数的学习，可以使我们对函数最值的研究方法更加丰富，而最值求出后，就得出了不等关系.那么不等关系的证明也可以看作是最值的求解，这需要作合理的转换.引出本节课主题：运用导数证明不等式.

问题与方法总结

函数单调性研究的一个重要作用是依据函数单调性求函数最值，而导数的重要作用是可以研究函数单调性，特别是研究超越函数单调性.求出函数最值后可以比较两个函数大小关系，就可以出现证明题，所以引出本节课题《运用导数证明不等式》.所证明的不等式应该是有超越函数存在的不等式形式，否则不一定需要用導数方法证明，体现导数方法证明不等式的必要性.

当然，选择本情境还因为是这两个函数的大小关系也是很多不等式证明时经常用来放缩的一个背景，需要给予足够的重视.

5.2.2 学生活动与师生互动

问题2.运用导数，证明不等式.

例1求证：对于x∈R，e≥x+1.

教学设计意图

通过本题的研究，确立导数证明不等式的方法，同时明确一个常见不等关系.在方法层面上，引导学生对作差法与作商法进行比较，明确一题多解的必要性.厘清用导数法证明不等式的基本方法和步骤.思维上提升逻辑思维素养和数学运算素养.

研究方案

（1）通过GGB（或者几何画板）演示，首先让学生有一定的直观感受，明确有不等关系的两个函数图像之间应当可以被一条线分割开.

（2）师生共同完成该问题，并研究方法.

5.2.3 建构数学

问题与方法总结

含超越函数的不等式证明问题，主要方法是：构造函数，求最值.而构造函数的方法可以是作差或者是作商.

方法一：作差，构造函数f（x）=e-（x+1），求出函数最小值为0，证明不等式.

方法二：作商，构造函数f（x）=x+1/e，求出函数最大值为1，证明不等式.

5.2.4 第一次课堂练习

变式训练一：（2018全国Ⅱ卷理数21（1））求证：对于x∈＼[0，+∞），e≥x+1.

教学设计意图

变式训练一探究两种方法，并体验方法一需要多次求导的不便性，以确立第二种方法的必要性.巩固运用导数证明不等式的方法，有利于学生把握相关数学内容的本质.提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.

问题与方法总结

问题为含超越函数的不等式证明题，依据例题，采用构造函数的方法进行证明.对于作差法，本题需要二次求导解决问题，方法略显复杂.对于作商法，关注“指数好基友”属性，e可以作为分母，在求导时减少运算量，便于顺利解决问题.借助本练习，让学生体会方法选择的重要性.

5.2.5 数学应用

例2求证：对于x∈（0，+∞），x≥lnx+1.

教学设计意图

题目与方法层面，不同函数类型，运用同样方法解决问题.问题进一步提升导数证明不等式意识，提高解题心理表征属性.思维层面，考虑到x≥lnx+1是由ex≥x+1中将x换成x-1并取对数得到，提升学生数学抽象核心素养.

问题与方法总结

作差法还是作商法的选择再一次成为本节课的焦点，让学生体会“对数单身狗”属性的了解.明确两个问题ex≥x+1与x≥lnx+1本质是同一个问题.通过GGB（或者几何画板）演示，首先让学生有一定的直观感受.

5.2.6 第二次课堂练习

问题3.综合运用

变式训练二：求证：对于x∈[1，+∞），xlnx/x+1≤1/2（x-1）.

教学设计意图

本题的设计目的，除了相关知识和方法巩固、问题解决过程中发展学生的数学运算、逻辑思维外，还希望能够更好激活学生的知识网络，引导学生在运用已有知识方法解题进行认知建构过程中，提升元认知监控能力.学生只有在解题中不断分析、推理、反思、比较和鉴别，才能形成正确思路并准确表达其思维过程.

问题与方法总结

结构不良，复杂的不等式问题证明，需要使用分析法将不等式先作合理转换，再构造函数进行证明.同时关注“对数单身狗”属性.

5.2.7 回顾小结

对于本节课，你有哪些不同层次的体会？

知识：用导数法证明不等式问题的研究.

方法：构造函数，求函数最值、“指数好基友、对数单身狗”的转换方式.

思维：提升逻辑思维、数学运算、数学抽象（由e≥x+1转化得到x≥lnx+1的数学抽象方法）等核心素养.

6 教后反思

首先，本节课重点研究的不等关系：e≥x+1，既是研究的题目，也是放缩法的桥梁.如几种放缩方法：化曲为直、化动为静、化繁为简、顺水推舟等.

其次，本节重点研究的不等关系：e≥x+1，既是其它不等式证明的源头，也是问题解决方法的重要背景，并且问题的变化往往也是通过这个不等关系得到的.在教学过程中，我们对二级结论的探究和使用一直都存在分歧，笔者认为二级结论在选择填空题中应大胆使用，在解答题中应当在证明结论的前提下可以使用;教学中对于学习能力强的同学应当对二级结论有一定认识，而对于学习能力较弱的同学应更加注重通性通法;平时教学应当以通性通法为主要教学内容，如果提到二级结论，应当尽量给出较为完善的推理证明过程.

再次，明确不等式证明还有其它的题型，比如不等式兩边可以分别求最大值与最小值直接比较大小关系，而移到一侧却无法求最值，此类问题也需要关注.

最后，不等式证明还可以延伸至数列中不等关系证明，需要前后对应，寻找关联，解决问题.用函数方法解决数列问题是比较常见的一种解决问题方法，需要给予足够关注.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018（1）.

[2] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016（10）.

[责任编辑：李璟]