建坐标系法解一类中考题

沈建新

【摘要】 同一类型的题虽然从表面上看，条件、结论都不同，但其有共同的解题思路、技巧与方法，我们把这样一类题归并在一起讲解，可以提高学生的综合与归纳能力，并使知识系统化.本文以建直角坐标系法为例，多题一法，试用2021年浙江省若干中考题来进行阐释，与大家分享.

【关键词】 建直角坐標系;多题一法;平面上两点间的距离公式

例1 如图1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（  ）

（A）33.   （B）32.

（C） 1.（D）62.

解 如图2，以D为原点建直角坐标系，根据题中信息分析可得

AD=BD=3，CD=1，

所以可得A（0，3），B（-3，0），C（1，0），

因为E，F分别为AB，BC的中点，根据平面直角坐标系中线段中点的坐标公式可得E-32，32，F-3+12，0，再根据平面上两点间的距离公式得

EF=-3+12--322+0-322

=14+34=1，

故选（C）.

例2 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（  ）

（A）13.  （B）522.（C）412.（D） 4.

解 如图4，以A为原点建直角坐标系，根据题中信息分析可得B（5，0），C（0，5），D（0，2），设E（x，0），因为点F，G分别是BC和DE的中点，所以可得

F52，52，Gx2，1.

因为AG=FG，

所以可列方程

x2-02+（1-0）2

=x2-522+1-522，

解得x=3，

所以E（3，0），易得DE=22+32=13，

故选（A）.

例3 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图5所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H.若AE=2BE，则CGBH的值为（  ）

（A）32.    （B）2.

（C）3107.（D）355.

解 如图6，以B为原点建直角坐标系，由题意可设BE=x，则AE=2x，AB=5x，易得BE=AP=DF=CN=x，小正方形PENF边长也等于x，大正方形ABCD边长为5x.因为∠PFE=∠DFG=45°，易得△DFG为等腰直角三角形，所以DG=DF=x.过点G作GM⊥CD的延长线于点M，

易得∠GDM=∠ADP，

且∠M=∠APD=90°，

所以△GDM∽△ADP，

得DGAD=GMAP=DMDP，

即x5x=GMx=DM2x，

求得GM=5x5，DM=25x5，

故可得G45x5，75x5，

因为C（5x，0），

所以CG=45x5-5x2+75x52

=10x.

因为FN=CN=x，

所以N为CF中点，

又因为PQ∥EH，

易得NH为△CFQ中位线，

所以FQ=2NH，

又因为FG=EF=2x，

即F为EG中点，

且FQ∥EH，

所以FQ为△EGH中位线，

所以EH=2FQ，

得EH=4NH，

所以EN=3NH，

即NH=13x，

所以BH=73x，

所以CGBH=10x73x=3107，

故选（C）.

例4 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图7，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分），则图中AB的长应是.

解 如图8，建直角坐标系，由题意得三个小正方形（阴影部分）的面积为1，则每个小正方形的面积为13，可得ED=33.

在Rt△ODE中，由勾股定理可得

OE=63.

易得△ODE∽△OCD，

所以OEOD=DECD，

即631=33CD，

求得CD=22，

所以C1，22，

易得直线OC解析式为y=22x，

所以可求得点B的坐标为（2，1），继而可求得

AB=2-1.