学会反思，学会改错

牟天乐

【摘要】错题的有效利用是提高学生数学学习成绩的重要方法之一，特别是高中数学，知识点繁多，很容易出错.本文从错题本的重要性、使用方法与要点以及使用示例等方面系统地阐述如何高效利用错题本提高学习效率，同时通过对学生学习方法与策略进行指导，合理运用错题本对做过的题目进行反思，培养学生的数学综合素养，从而取得进步.

【关键词】高中数学;错题反思;学习策略

1 立足现状，巧设反思

提起高中数学，很多学生就愁眉苦脸，难度大、知识点多，且很“拉分”.基础较弱的学生花费大量的时间学习数学，结果却不尽如人意.而即使思维活跃的同学，每次成绩也会有很大的波动.究其原因，是学生没有将反思性的学习方式贯穿始终.

笔者认为在学习过程中要学会总结，立足于平时的知识和经验积累，逐步克服学习过程中遇到的困难，才能提高数学成绩.以150分的试卷为例，60分左右是简单题，只要熟悉定理，很快就能得出答案;还有60分左右是中档题，这些题目就需要考生能够合理、灵活运用知识进行解答，通常是要将多个知识点串联起来进行解题;最后30分是难题，对考生的数学素养、逻辑思维、运算能力等均有很高的要求，得分率普遍较低.笔者对班级一些学优生与学困生的作业考试情况进行对比，发现在难题上，能做对的只是极少数同学，真正容易拉开差距的是简单题和中档题.高分的同学都是简单题和中档题的正确率很高，面对难题他们也会不断尝试钻研，而考得不理想的同学往往是在简单题和中档题就错误百出，对难题更是望而却步，分数自然就低.因此对于成绩不理想的同学，提高简单题和中档题的准确率就显得尤为重要.

由于数学学科，内容包含了很多原理定理以及它们的特例，而这些特例往往是考试时命题者设置的“陷阱”，马虎粗心、对知识点不够熟悉、思考不够全面等等都有可能导致错误.这时，教育的首要任务就是让这些学生学会反思，学会改错，遇到做错的题目要及时反思感悟，查漏补缺，错有所思才能有所得.因此，有一本自己的错题本，有一套整理错题的方案，懂得对特殊的知识点加以防范，是免入“陷阱”的好方法，今后再遇到类似的问题时才能够从容应对.

2 抓牢错因，提炼方法

知错改错是引导学生辨析正误、自我提升的重要手段.现代教育心理学观点认为，学生的学习发展有两种水平：一种是学生HYPERLINK"https：//baike.so.com/doc/3664705-3851758.html"＼t"https：//baike.so.com/doc/_blank"的現有水平，另一种是学生可能的发展水平.两者之间的差异就是最近发展区.教学HYPERLINK"https：//baike.so.com/doc/2968805-3131790.html"＼t"https：//baike.so.com/doc/_blank"应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，不断地产生错误，纠正错误，从而提高认知水平.

一本好的错题本，是融入自己的思考与探索的.学生制作错题本的过程应该是进行自我对话的过程，它强调学生在制作过程中不断调整自我认识，进行自我完善.当然，盲目地接受，将所有错题一股脑全盘摘抄，不去思考，这样效果肯定是微乎其微的.做好错题本确实需要花费一些精力，尤其是刚开始做的时候.坚持一段时间熟练以后，必然能让你的学习效率大大提高.用好错题本，当你整理吸收的错题达到一定量以后，你会发现你的失误会逐渐减少最后不会再犯，并且很享受每次题目设置的“陷阱”被你识破的过程，成绩也能稳步提升.

笔者根据不同学生的错题摘录情况提出以下几点建议：

2.1分类摘录

摘录错题是做好错题本的第一步，主要有两个原则：一、不是所有错题都要往错题本上搬;二、不是只有错题才能记到错题本上.先解释第一条原则，在日常学习中，会遇到大大小小各种类型的错题，这时就需要你根据自己的实际情况先对错题进行分析，是何种原因导致错误.重视基础性、概念性的错误，适当放弃一些你根本就没有思路的问题或者明显是超过你能力范围的问题.摘录错题更多的是为了巩固基础，基础牢固后才能攻克难题.另外，在整理错题本时也不能仅仅局限于错的题目，一些好的题目，涉及好的解题方法，好的解题思路等也可往错题本上记.同时要把错题本分成几个模块，对记上去的题目进行分类，哪些是基础性错误，哪些是发展性错题，哪些是好的解题方法等等.

例1 在△ABC中，AC=5，AB=6，cosA=34，点O满足4OA+5OB+6OC=0→，若OP=xOB+yOC，其中0≤x≤1，0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为.

思路解法 综合运用等和线、奔驰定理等知识点，将条件4OA+5OB+6OC=0→运用奔驰定理进行转化，OP=xOB+yOC，0≤x≤1，0≤y≤1，动点P轨迹覆盖的区域即两个三角形OBC.

在遇到例1这个问题时，第一类同学可能束手无策，无法对条件进行转化;第二类同学可能想到用等和线或者奔驰定理相关结论，但当多种情形结合起来时却又算不下去;第三类可能会想到用别的方法（比如坐标法）解决，但过程繁琐.因此，对不同学生而言，这道题的价值就不一样.分类摘录错题，也就是学生根据自己实际情况，综合评判一道题对你的帮助在哪里.

在摘录错题的时候还要注意，错题本在进行整理时，要用不同颜色的笔进行区分，例如黑笔用于抄录原题和解答，红笔用于写下该题错误原因以及自己的总结反思，蓝笔用于写题目的类别等等.

2.2 分析问题

题目摘录好以后，一定要对题目进行及时分析.对于错题，要从以下两个方面入手分析，一是是否为马虎性错误，如审题不清、条件看漏、看错、计算错误、书写格式等等;二是概念定理不清、题目条件应用不到位、隐藏条件没有充分挖掘等等.对于好题，主要是要分析思想方法好在哪里，是对某个条件的巧妙转化，还是对某个定理的灵活运用.简而言之，分析题目就是借助各种错题资源，针对错因形成自己的理解.

对于例1而言，更多的可能是概念定理不清、题目条件应用不到位，即对奔驰定理、等和线的概念不清楚等，起到查漏的作用.

2.3 指导实践

分析问题过后，更重要的是实践，即通过分析所得来指导以后再遇到类似的题目怎么办，并及时记录自己的所思所想.

对于例1，类似条件4OA+5OB+6OC=0→即要想到奔驰定理，看到条件OP=xOB+yOC就需要联想到等和线.

例如高一数学第一章集合内容中有这样一道题目：

例2 已知集合A=x|-2

若A∪B=A，求实数m的取值范围.

对于这一类问题，学生在解答的时候最容易忽略的情况就是集合B是空集的情况，这是马虎吗？其实不是，是对集合的运算以及子集的概念不清晰导致的.所以对这道题目进行反思，要提醒自己，做到类似求子集的问题时要先考虑到空集，空集是任何集合的子集.

再比如三角函数板块，三角函数大题是每年高考的必考题，难度适中，不容有失.这就需要考生能快速、准确的作出判断并解答.下面这道三角函数题就是一个很值得研究的题目：

例3 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，2bcosB=acosC+ccosA.求角B的大小.

这一类题目仔细去研究，其实解题流程都类似，可以总结出来三个解题经验：

（1）边与角在同一式子中出现时，要用正弦定理把边角统一，通常是化为角;

（2）三角形內角A，B，C在同一式子出现，一定会用到内角和为180度;

（3）三角形中同角的正弦可约而余弦不可，因为余弦可能为0而正弦不会.

例如 本题条件2bcosB=acosC+ccosA，符合经验1，把边化为角以后再利用三角恒等变换可得2sinBcosB=sinA+C，这时，符合经验2，因此可以得出

A+C=π-B，所以sinA+C=sinπ-B=sinB=2sinBcosB.

再根据经验3，可得sinB≠0，所以cosB=12，B=π3.

即可求出结果，所以对于一类题型，做对只是一方面，更重要的是你能从这些题目中感悟出的经验方法，来指导后续的实践.

2.4 温故知新

我国古代伟大的教育家孔子曾说：温故而知新，可以为师矣.错题本不是把错题改完了记到本子上就结束了.对于已经思考过的错题，还需要经常性地翻阅，再次建构学习.可以根据记忆遗忘曲线，刚开始的时候多回顾，印象深刻之后频率可以逐渐降低.每次回顾时，注重自己对错题的理解，不断进行延伸拓展.

通过试验，笔者发现此方法在考前效果最佳.很多学生在考试前仍然不断地刷题，以为做的题越多效果就会越好.这种做法其实是不可取的，考前学生不需拼命做新的题目，只需把错题拿出来，有针对性地温习一遍，就能起到事半功倍的效果.在今后遇到同类问题时，会立刻回想起曾经犯的错误，从而避免再犯.做到同一道题不能错两次，同一类题目不能错两次，从而减少习题量.

2.5 把书读“薄”

把书读“薄”，即错题的再整理.当错题本上的题目逐渐变多了以后，复习的时间会变久，对于靠前部分的题目可能看过很多次早已滚瓜烂熟，收效甚微.这个时候就需要把错题本读“薄”，即错题本的再整理.高中阶段，建议新课期间用好一本错题本，到总复习开始之前重新准备一个本子，将原有的题目重新整理，筛除一些已经很熟悉的题目，留下一些还未完全吸收的题目，这样我们后续再翻的时候能有的放矢，加深学习，提高效率.

2.6 扉页应用

扉页，即一本本子的第一页，我们把它称为整个本子的风水宝地，它的位置好，每次翻开的时候基本上都能看到.这里可以用来记“精炼且重要的易错点”，最好能浓缩为一句话.

“二次项系数0的讨论”“求子集注意空集”“方程的解、函数定义域值域要用集合表示”“对数函数注意定义域”“向量AB与BC的夹角是补角”等等.可能你会问为什么要记“精炼且重要的易错点”？因为尽管我们常常能翻到扉页，但是停留的时间不会很长.精炼的语句能够让我们迅速提炼出有用的信息，一目了然.

2.7 相互学习

一个学生能整理的错题是有限的，而且因为不同学生的数学能力与思维方式存在一定的差异，收集的错题也是千差万别，但不可否认的是每一位学生收集的错题都有自己的“精华”部分，对一些题目也有自己独特的理解与反思.因此每隔一段时间，学生之间可以组织相互传阅错题本，相互借鉴，取长补短.在这过程中，不仅仅是数学知识的交流，也是做错题本心得的分享，学生的不同思维会产生激烈的碰撞，激发学生的数学学习兴趣，共同进步.

3 运用策略，提升自我

学会一个好的学习方法很简单，但是将好的学习方法坚持下去，成为一种习惯就很难.刚开始整理错题的时候，由于不熟练速度会比较慢，要花很多的时间，这些都是正常的，速度慢，恰恰说明你的认真，你的用心.不要着急，耐心去做，提高效率与熟练度.

现代教育家提出的有意义的学习论，指要在新旧知识之间找到某种联系，从而让学习者在认知框架中吸收新知识.错题的反思感悟本来就是知识再次建构的过程，不断地将错题回炉重造，填补自己的知识漏洞，才能获得新的体会.同时从错题找出知识点漏洞、找出答题时自己思维习惯的弱点，加以修正完善，这才是错题本学习法的精髓.

所以，坚持下去，让回顾错题与好题成为你的习惯，特别是能力范围之内的知识点与题目，要保证100%拿下，稍微超出能力范围的，那就是努力的方向，解决掉这些，你就会取得进步，这也就是著名教育学家维果斯基的“最近发展区理论”.最后，希望各位读者能着眼于最近发展区，不断攻克它来扩大自己的已有知识面，从而取得更好的成绩！

【受汕头市教育科学“十四五”规划项目（2021GHB034）资助】

参考文献：

[1]李一行.高考过来人教你如何整理错题集[J].高中生，2015（21）：50-51.

[2]郭桂飞.浅谈高中数学_错题本学习法[J].数理化解题研究，2019（25）：39-40.

[3]郭鹏程.“错题本”在中学数学教学中的应用研究[J].新教育时代电子杂志（学生版），2019（6）

[4]韩琦.高中数学错题教学的有效策略[J].数理化解题研究，2020（36）：9-10.

[5]费翔宇.运用错题集提高高中数学复习效率[J].中国校外教育，2017（S1）：26