“逐差法”和“两段法”研究匀变速直线运动的拓展应用

王帅 刘德全

[摘 要]实验是高中物理教学的重要内容，每年高考必考。而纸带上数据的处理，常出现在高考试题中，学生在处理这类问题时容易出错。为了有效提高学生处理纸带类实验数据的能力，文章先简单介绍“逐差法”和“两段法”的原理，然后将“逐差法”与“两段法”进行对比分析，最后结合两道高考题探讨“逐差法”和“两段法”的拓展应用。

[关键词]逐差法;两段法;实验误差

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）11-0047-03

高中物理实验强调培养学生应用所学的实验原理、方法解决实际问题的能力，要求学生学会收集和处理信息，并科学地处理实验数据，从而得出结论。高中阶段，处理打点计时器打出的纸带上的数据很重要，学生应当熟练掌握并灵活运用相应的处理实验数据的方法。处理纸带数据的常用方法有加权平均法、逐差法等。

对于探究小车速度随时间变化规律的实验，主要目的是确定小车运动过程中的加速度不变，并测定其大小。实验中，运动的小车通过定滑轮连接纸带，打点计时器在纸带上打出一系列的点，通过研究这一系列的点之间的距离，就可以有效研究小车的运动情况。为了有效考查学生处理实验数据的能力，有时高考物理实验题，会以打点计时器为素材进行命题。

一、“逐差法”和“两段法”分析

“逐差法”求加速度[a]，目的是解决“连差法——相连计数点间距相减”中存在的实验数据遗漏，而造成计算误差的问题。但“逐差法”也有不足，就是计算较麻烦。“两段法”就是把所有数据分成前后两部分，若总段为奇数段，则一般舍去中间段，两段取差比上[nT2]直接求加速度[a]，计算简便准确。同时“两段法”也能更好地利用所有数据。

“两段法”的原理也是公式[Δs=aT2]，但可以避免“逐差法”的繁杂运算，降低理解难度，有效减小误差，因此在刻度尺适用的情况下，建议采用“两段法”。

（一）“逐差法”的原理分析

在处理“测定匀变速直线运动的加速度”实验数据时，常用“逐差法”求加速度[a]，目的是有效利用所有数据。

如果物体做匀变速直线运动，加速度是[a]， 则在各个连续相等时间间隔[T]里的位移分别是[s1]、[s2]、…、[s6]，如图1所示。

[s4-s1=（s4-s3）+（s3-s2）+（s2-s1）=3aT2]，同样利用公式[Δs=aT2]可得：

[s5-s2=s6-s3=3aT2]

如果已测得的各段位移是[s1]、[s2]、…、[s6]，则可求出：

[a1=s4-s13T2]，[a2=s5-s23T2]，[a3=s6-s33T2]

[a=a1+a2+a33=s6+s5+s4-s3-s2-s19T2]所以[a]是[a1]、[a2]、[a3]的平均值。

这样得出的结果就是匀变速直线运动的加速度。

在处理实验数据的过程中，测量的各组数据[s1]、[s2]、…、[s6]全部都用到了，没有遗漏，避免了“连差法”只用到[s1]和[s6]两组数据，而遗漏中间四组数据的现象。因此，用“逐差法”处理纸带上，数据可以有效减小实验误差。

（二）“两段法”的原理分析

“两段法”就是把图1所示纸带的6段位移分成段数相同的前后部分，即[sⅠ]和[sⅡ]，则[sⅠ]或[sⅡ]是时间间隔[T′=3T]里的位移，如图2所示。

由[sⅡ-sⅠ=aT′2]，可得：

[a=sⅡ-sΙT'2=s6+s5+s4-s3-s2-s19T2]

这样，避免了“逐差法”多次运算求多个a，还需要再次求这些a的平均值的繁杂运算，使得计算简捷，但结果相同，达到异曲同工的效果。物理知识在于活学活用，“相等时间内的位移”中“相等时间”的长度可任意选取，甚至是不连续的“相等时间间隔”，更不必局限在打点计时器留下的点迹时间间隔[T]。能用“逐差法”解决的，用“两段法”效果更好。

二、“逐差法”与“两段法”对比分析

（一）“逐差法”相对“两段法”更难理解

“逐差法”的基本实验原理是[Δs=aT2]，还需要结合加权平均法进行运算，测量繁杂，计算难度大。结果是学生不知道用哪种计算方法。而“两段法”中选取相邻的两段，恰好符合[Δs=aT2]，测量简便，计算简单，前提是刻度尺满足“两段法”的要求。

（二）“逐差法”增加了测量难度，增大了测量的偶然误差

“逐差法”一般会把纸带分为6段，甚至更多，因为每段的长度较短，所以对于精确度一定的刻度尺来讲，测量越短意味着测量次数越多，测量的偶然性越大。多段测量必然增加测量次数，使学生产生“多次测量求平均值可以减小误差”的错觉，对学生思维产生误导，不利于学生科学思维的培养。在测量工具允许的情况下，“两段法”只需要測量两段，可以多次测量，减小偶然误差。

（三）在处理奇数段纸带问题时，“两段法”更有优势

“逐差法”处理奇数段纸带问题时，常常采取舍去“中间段”或者“最小段”的办法，学生纠结于取舍，浪费时间和精力。“两段法”则可以灵活运用，可以是连续相邻的两段，也可以是间隔或者重叠的两段，可达到减小误差的效果。

（四）“逐差法”相对“两段法”增加了相对误差

在测量过程中我们大都使用毫米刻度尺，同一把尺子测量的长度越大，越接近它的量程，则测量的相对误差越小;反之，测量的长度越小，相对误差会越大。

原理是在测量过程中，每次测量的绝对误差最大值对应着刻度尺的精确度，也就是最小分度值。以毫米刻度尺为例，如果测量1 cm和10 cm两个长度，测量的绝对误差都是1 mm，相对测量1 cm来讲，测量的相对误差为10%，而对测量10 cm的长度来说，测量的相对误差只有1%。显然用同一把刻度尺测量长度时，测量的长度越短，相对误差越大。

“逐差法”相对“两段法”测量长度变短，增加了测量的相对误差，不会减小实验误差，而“两段法”则可以减小相对误差。

三、数据处理方法拓展应用

随着教学改革、考试改革的不断深化，高考物理试题，不会是简单直接地考查知识点或物理思想方法，而是要求学生灵活地将所学的物理思想方法迁移运用到新情境中，解决新问题。纸带类数据处理问题也一样，要求学生能够灵活地将数据处理方法迁移运用到新情境中，解决实际问题。

[例1]（2021年高考全国甲卷物理试卷第9题）为测量小铜块与瓷砖表面间的动摩擦因数，一同学将贴有标尺的瓷砖的一端放在水平桌面上，形成一倾角为[α]的斜面（已知[sinα=0.34]，[cosα=0.94]），小铜块可在斜面上加速下滑，如图3所示。该同学用手机拍摄小铜块的下滑过程，然后解析视频记录的图像，获得5个连续相等时间间隔（每个时间间隔[ΔT=0.20 s]）内小铜块沿斜面下滑的距离si（[i]=1，2，3，4，5），如下表所示。

[[s1] [s2] [s3] [s4] [s5] 5.87 cm 7.58 cm 9.31 cm 11.02 cm 12.74 cm ]

由表中数据可得，小铜块沿斜面下滑的加速度大小是                         m/s2，小銅块与瓷砖表面间的动摩擦因数为                         。（结果均保留2位有效数字，重力加速度大小取9.80 m/s2）

答案 ：0.430.32

解析：由两段法和[Δs=aT2]，解得小铜块沿斜面下滑的加速度大小为[a=（s5+s4）-（s2+s1）6（ΔT）2=0.43 （m/s2） ]，由牛顿第二定律可知[mgsinα-μmgcosα=ma]，解得小铜块与瓷砖表面间的动摩擦因数为[μ=0.32]。

点评：本题以实验测量摩擦系数为背景，设计了斜面上问题的受力分析，考查了基本知识和关键能力。“纸带”选取了奇数段，对“逐差法”的选择产生一定影响，增加了计算难度，在惜时如金的高考中，不免会产生争议。但从实际能力考查来看，确实起到一定的区分作用。从运算效果来看，本题仅仅选取第一、二段或者第三、四段，运用“逐差法”计算，结果相同，命题人巧妙地避开了争议;当然舍去最小段或中间段时，再运用“逐差法”加平均计算，也会得出同样结果。而用“两段法”计算是最佳选择，它降低了“逐差法”中要考虑舍弃哪段的困难，减少了计算量。

[例2]（2021年高考全国乙卷物理试卷第9题）某同学利用图4（a）所示装置研究平抛运动的规律。实验时该同学使用频闪仪和照相机对做平抛运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔[0.05 s]发出一次闪光，某次拍摄后得到的照片如图4（b）所示（图中未包括小球刚离开轨道的影像）。图中的背景是放在竖直平面内的带有方格的纸板，纸板与小球轨迹所在平面平行，其上每个方格的边长为[5 cm]。该同学在实验中测得的小球影像的高度差已经在图4（b）中标出。

完成下列填空：（结果均保留2位有效数字）

（1）小球运动到图4（b）中位置A时，其速度的水平分量大小为                             [m/s]，竖直分量大小为                             [m/s];

（2）根据图4（b）中数据可得，当地重力加速度的大小为                         [m/s2]。

解析：（1）①因小球在水平方向做匀速直线运动，因此速度为：

[v0=xt=0.050.05 m/s=1.0 m/s]

②竖直方向做自由落体运动，因此[A]点的竖直速度可由“平均速度等于时间中点的瞬时速度”求得：

[vy=8×5×10-20.05×4 m/s=2.0 m/s]

（2）由竖直方向的自由落体运动可得：

[g=y3+y4-y2-y14T2]，代入数据可得[g=9.7 m/s2]

点评：本题以研究平抛运动为背景，考查运动的分解，通过竖直方向的自由落体运动测量当地重力加速度，考查学生的迁移和应用能力。针对高中物理力学实验中有关“打点计时器类”问题，着重考查学生对纸带数据的处理能力。试题看似考点单一，实则对高中物理实验的几大要素进行了精准考查。本题考查学生的实验数据处理能力和推理运算能力。要减小偶然误差，必须尽量利用好多组数据，采用“逐差法”水到渠成，当然“两段法”更为可取。

试题对处理纸带数据也进行了科学设计。题中所给的四组数据，对“逐差法”或者“两段法”提出明确要求，要求结果保留两位有效数字。对水平分速度和竖直分速度的求解都用到了平均速度，需要学生学会处理匀速直线运动和匀变速直线运动的速度关系。

以上两道高考实验题都属于典型的纸带类实验数据的处理问题，可通过匀变速直线运动公式[Δs=aT2]求解加速度。每个实验都对实验数据进行精细处理，所有数据均没有采取分割测量的操作，落实了回归实验本质，遵循科学本质的素养要求。在量程、精确度均满足要求的前提下，可以采取“两段法”求解，从而达到减小实验误差的目的。以上两道实验题都能达到引导实验教学，提高学生实验技能，培养学生运算能力，提升学生创新能力的目的，都是好题。

全国卷是高中物理教学的风向标，是高考评价体系“一核四层四翼”的具体呈现，对高中物理教学起到关键的引领作用，对初高中物理和大学物理的衔接有着深远的影响。实验题更能考查结果学生的综合能力，好的实验题会引领学生积极探究，培养学生的思维能力。

综上所述，在刻度尺适用的条件下，将线段分成两大段运用公式[Δs=aT2]，选用合适的时间间隔[T]，运用“两段法”进行计算，可以减轻测量难度，减小测量的相对误差，减少数据处理难度。

[   参   考   文   献   ]

[1]  刘大明，江秀梅. 基于“目的+条件”观全面综合剖析纸带问题：以2019年全国卷两道纸带实验题为例[J].中学物理教学参考，2020（9）：56-60.

（责任编辑 易志毅）