中考探究型试题的考向研究

付小玲

[摘 要]探究型试题集动手操作与新知探究于一体，研究探究型试题有利于培养学生的创新意识、直觉思维与综合实践能力。

[关键词]中考;探究型试题;考向

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）14-0004-03

近几年中考，考查学生动手操作能力的探究型试题在逐年增加。此类试题集动手操作与新知探究于一体，需要学生通过前期的观察与分析，中期的操作、比较与猜想，后期的抽象与概括等，灵活运用课本知识与生活经验解决问题。这类试题有利于培养学生的创新意识、直觉思维与综合实践能力。

一、利用图形变换作图

平面几何图形的变换主要包括平移、旋转、轴对称、位似等。利用平移作图，就是把一个图形沿规定的方向移动一定的距离，平移前后的两个图形全等，对应线段平行或在同一直线上，且图形各部分所处的方位不变;利用旋转作图，就是把一个图形绕一个固定点按顺时针或逆时针转动一定的角度，旋转前后的两个图形全等，对应点连线的中垂线经过旋转中心，每组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角;利用轴对称作图，就是把一个图形沿一直线翻折，翻折前后的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段或所在直线如果相交，交点在对称轴上;利用位似作图，就是把一个图形按规定的比例放大或缩小，位似前后的两个图形相似，对应线段平行，对应点的连线经过位似中心。

[例1]如图1，已知[△ABC]的三个顶点的坐标分别为[A（3， 3）]，[B（-1， 0）]，[C（4， 0）]。

（1）如果将[△ABC]平移，使点[O]与点[A]重合，那么平移后点[C]的对应点[C1]的坐标是多少？

（2）将[△ABC]以点[B]为中心逆时针旋转90°，画出所得的三角形。

（3）以点[A]为位似中心放大[△ABC]，得到[△AB2C2]，使[S△ABC]∶[S△AB2C2] =1∶4，在图中画出[△AB2C2]。

分析：（1）因为平移后点[A]与点[O]重合，点[A]的坐标为（3，3），点[O]的坐标为（0，0），所以点[A]需要向下平移3个单位，再向左平移3个单位。因为点[C]的坐标为（4，0），向下平移3个单位，向左平移3个单位，得点[C1]的坐标为（1，-3）。

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而画出图形。如图2所示，[△A′BC′]即为所求，[A′]点的坐标为（-4，4）。

（3）直接利用位似图形面积比得出相似比为1∶2，即可得出对应点位置。如图2所示，[△AB2C2]即为所求。

评注：此类题型常需在网格中作图，且有坐标系。在网格中作图要充分利用网格的水平线和竖直线所指的方向，找到图形变化后的对应点。一般图形顶点为格点的，对应点也在格点上，作图时要依靠关键点来控制图形的形状。

二、设计测量方案

对于过高或过宽的物体，或者有障碍物的物体，通常不能直接测量其高度或宽度，对此可以利用所学数学知识设计测量方案，根据易测出的数据算得所求物体的高度或宽度。其中，可利用的数学知识包括全等三角形、三角形的中位线、相似三角形、勾股定理及锐角三角函数。测量工具包括皮尺、测角器、平面镜、标杆等。

[例2]为了测量某电线杆（如图3）的高度，老师给学生准备了如下测量工具：皮尺、标杆、测角仪和平面镜。其中测角仪是用来测量仰角、俯角的仪器。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）请画出你的测量方案示意图，并写出你所选用的测量工具;（2）根据示意图，写出你求电线杆高度的思路。

解析：（1）根据题意，测量方案示意图如图4所示;选用的测量工具为高1.5 m的测角仪、皮尺。

（2）根据正切函数设计测量方案。先测得[CA]的长度，因为四边形[ACDE]是矩形，可得[DE=CA]，[AE=CD=1.5];根据正切函数求得[BE]，[AB=BE+1.5]，即[CA]（测角仪离电线杆的距离）[=a]，[CD]（测角仪的高）=1.5，[∠BDE]（测角仪测得的仰角）[=α]，

根据正切函数得[tan α=BEDE]，因为[DE=CA=a]，得[BE=atan α]，则[AB=BE+AE=atan α+1.5]，故电线杆高度为[（atan α+1.5）]米。

评注：本题构造的图形是直角三角形和矩形，根据测得的仰角和水平距离，利用锐角三角函数求得电线杆的高度。本题选用正切设计方案是最好的选择，因为构造的直角三角形的斜边也无法测量，所以正弦与余弦都不能选择。

三、按要求剪拼图形

剪拼图形时不能改变图形的面积，一般先把原图形剪成几块，再把这几块图形重新拼合成新的图形，在拼合时要用到平移、旋转、翻折等图形变换。实际上拼合的图形更能说明问题的本质所在，如需计算或推理，拼合后的图形条件更集中，问题更易于解决。如把一个三角形沿中位线剪开后能拼成平行四边形;把一个平行四边形沿着其中一条高线剪开后可以拼成矩形;把一个四边形剪切成四部分可以拼成矩形;把兩个全等的正方形沿对角线剪开后能拼成一个大正方形;把一个矩形沿一边中点与对边一个端点的连线剪开，剪开的两个图形可以拼成直角三角形，也可以拼成等腰梯形，还可拼成平行四边形。

[例3]如图5所示，把一个三角形沿中位线剪切后，可以得到一个三角形和一个四边形，这两个图形可以拼成平行四边形，仿照上面的方法，完成下面的操作：（1）如图6所示的平行四边形[ABCD]，把它剪成两个图形，使这两个图形可以拼成一个矩形，要求在图中画出剪切线;（2）如图7所示的梯形[ABCD]，把它剪成两个图形，使这两个图形能拼成一个平行四边形，要求在图中画出剪切线。

解析：（1）因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以可以考虑通过作高得到一个直角，如图8，过点[A]作[AE⊥BC]，垂足为[E]，再把[△ABE]剪切下来，移到[△DCF]的位置;

（2）因为梯形与平行四边形的主要区别是：平行四边形有两组对边分别平行，梯形只有一组对边互相平行。因此，可以考虑作不平行对边的平行线。如图9，过[AB]的中点[G]作[GF]∥[DC]，再把[△BGF]剪开，然后旋转到[△AEG]的位置即可。

评注：本题的剪切线表现出三种形态，分别是中位线、高、平行线。其实还有对角线、对边中点的连线、过中心的直线等，它们都属于一次剪切线，剪切线就是一条折线。本题第（1）小题剪切后得到的[△ABE]通过平移进行拼接;第（2）小题剪切后得到的[△BGF]通过旋转进行拼接。当然拼接时也有借助轴对称的。

四、通过函数图像解决几何问题

通过观察函数图像获得信息，不仅可以解决实际生活问题，还可以提高学生分析问题和解决问题的能力。用函数图像解决几何问题时，要厘清图像的含义，要有一定的识图技能。

[例4]九（1）班的数学兴趣小组正在探究这样一个问题：如图10，点[D]是[BC]上一动点，弦[BC]的长为8 cm，取线段[BC]的中点为点[A]，过点[C]作[CF]∥[BD]，点[F]是[DA]延长线与[CF]的交点。[△DCF]为等腰三角形时，线段[BD]的长度是多少？

兴趣小组的学生发现，此问题不易通过直接推理计算解决，于是尝试通过函数图像研究此问题的答案。请将下面的探究过程补充完整：

（1）当点[D]在[BC]上移动时，线段[BD]的长不断变化，小组学生分别测量线段[BD]，[CD]，[FD]的长度，得到下表的几组对应值（单位：cm）。

①当点[D]为[BC]的中点时，上面表格中[a]的值为多少？

②有学生说：“线段[CF]的长度不用测量就能得到答案。”这种说法对吗？为什么？

（2）兴趣小组的学生将线段[BD]的长度作为自变量[x]，把[CD]和[FD]的长度作为[x]的函数，标记为[yCD]和[yFD]，其中函数[yFD]的图像（如图11）兴趣小组的学生已经画出来了，你能在同一坐标系中画出函数[yCD]的图像吗？

（3）在同一坐标系内根据需要继续画图，结合图像你能看出当[△DCF]为等腰三角形时，线段[BD]长度的近似值吗？

分析：（1）①在同圆或等圆中，等弧所对的弦也相等，得[a=5.0];②通过“角边角”证明[△BAD≌△CAF]，可得[BD=CF];（2）用描點法画出函数[yCD]的图像;（3）先画出[yCF]的图像，那么函数[yCD]，[yFD]，[yCF]的图像彼此的交点的横坐标就是[BD]的长度。

解：（1）①因为点[D]为[BC]的中点，所以[BD=CD]，由圆心角定理，得[BD=CD=a=5.0];②因为点[A]是线段[BC]的中点，所以[AB=AC]，因为[CF]∥[BD]，根据“两直线平行，内错角相等”得[∠F=∠BDA]，因为[∠BAD=∠CAF]，得[△BAD≌△CAF]，所以[BD=CF]，所以这种说法正确。

（2）根据表格中[BD]、[CD]的每组对应值，描出相应的点，再用平滑的曲线画出函数[yCD]的图像（如图12）。

（3）[yCF]的图像如图13所示。[△DCF]为等腰三角形有以下三种情况：一是[CD=FD]，二是[FD=CF]，三是[CF=CD]。当[CD=FD]时，则函数[yCD]与[yFD]图像的交点的横坐标就是[BD]的长，由图像可得[BD=3.8];当[FD=CF]时，则函数[yFD]与[yCF]图像的交点的横坐标就是[BD]的长，由图像可得[BD=6.2];当[CF=CD]时，则函数[yCD]与[yCF]图像的交点的横坐标就是[BD]的长，由图像可得[BD=5.0]。由图像可得：[BD]的长度为[3.8 cm]或[6.2 cm]或[5.0 cm]时，[△DCF]为等腰三角形。

评注：本题解决几何图形问题的方法别具一格。本题既考查了等腰三角形的判定，又考查了函数图像交点的意义，体现了数形结合思想。

（责任编辑 黄桂坚）