等边三角形“手拉手”模型构造及解题策略研究

陈杏

[摘 要]文章结合实例对等边三角形“手拉手”模型问题进行分析，并概括几种常见的解题策略。

[关键词]等边三角形;“手拉手”模型;构造

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）17-0016-03

等边三角形“手拉手”模型是指由两个共顶点的等边三角形构成的基本图形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形。如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，所以称这个模型为“手拉手”模型，此模型经常在几何综合题中出现。构造等边三角形“手拉手”模型常与平行、旋转、截长补短等辅助线作法相结合。

一、从教材母题抽象出模型，厘清模型问题本质

很多考试题目的母题都来源于教材，从教材习题提取模型、类比模型和模型变式都是考试命题的方向。三角形全等证明是初中数学教学的重点内容之一，其难点在于要求学生从复杂的图形中抽象出全等三角形。

[例1]（人教版八年级上册第83页第12题）如图1，[△ABD]，[△AEC]都是等边三角形，求证[BE=DC]。

学生大多能准确地判断出本题是利用三角形全等证边等的问题，但不一定能马上给出解题思路。笔者提示学生将共顶点的等边三角形（如图2）抽取出来，学生很快就发现它们形成“手拉手”模型，并找到一对全等三角形，從而得出证明。在面对多个等边三角形时，教师可以引导学生寻找解决问题的模型——“手拉手”模型，使学生更好地理解和应用几何模型思想，提高解题效率和正确率。

二、作平行线构造等边三角形“手拉手”模型

有时两个等边三角形不共顶点，这时可以通过作辅助线，构造共顶点的等边三角形，从而得到“手拉手”模型。

[例2]在等边三角形[ABC]中，[E]是边[AC]上一定点，[D]是直线[BC]上一动点，以[DE]为一边作等边三角形[DEF]，连接[CF]。

（1）如图3，若点[D]在边[BC]上，求证：[CE+CF=CD]。

（2）如图4，若点[D]在边[BC]的延长线上，请探究线段[CE]，[CF]与[CD]之间存在怎样的数量关系，并说明理由。

虽然有教材母题的经验，但学生发现本题没有全等三角形，也找不到“手拉手”模型。对此，笔者引导学生添加辅助线。学生尝试作平行线，有学生过点[E]作[BC]边的平行线，虽然构造出共顶点的两个等边三角形，但和题目要证明的结论联系不大。笔者引导学生过点[D]作[AB]边的平行线[DM]，发现不但可以得到第三个等边三角形，而且其与其中一个等边三角形共顶点，“手拉手”模型出现（如图5），证明[△DME≌△ECF]，将[CF]转换为[EM]，即可得出证明。学生有了经验，很快可以在图4中作平行线，构造“手拉手”模型（如图6），从而得出证明。在等边三角形中，作一边的平行线构造新的等边三角形是常用的辅助线作法，找准过哪个点作平行线，即找到了模型，可使问题迎刃而解。

三、旋转构造等边三角形“手拉手”模型

旋转也是构造等边三角形“手拉手”模型的重要途径。在旋转变换中，要注意可以旋转的前提条件，即有边相等旋转即重合，旋转特殊度数后有特殊三角形产生。有时还要注意证明旋转后点的共线。

[例3]如图7，等边[△ABC]中， [P]为[△ABC]外一点，连接[AP]、[BP]、[CP]，[∠APB=∠BPC=60°]，求证：[AP+PC=BP]。

对于线段和差的证明问题，通常把不在一条直线上的两条线段放在一条直线上，因此，可以将[△APC]绕点[A]顺时针旋转60°（如图8），[AC]与[AB]重合，但点[P]是否在[BP]上需要证明。利用旋转后[∠AP′B=120°]，[AP=AP′]，旋转角[∠PAP′=60°]，因此[△AP′P]是等边三角形，所以 [∠AP′P=60°]，得到[∠AP′B+∠AP′P=120°+60°=180°]，从而得到[B]、[P′]、[P]三点共线，由此，就构造了共顶点的等边三角形[△AP′P]和等边三角形[△ABC]形成的“手拉手”模型。

四、截长补短构造等边三角形“手拉手”模型

截长补短是证明三角形全等的重要辅助线作法，对构造等边三角形“手拉手”模型也同样好用。

[例4]如图9，在等腰[△ABC]中，[120°<∠BAC<180°]，[AB=AC]，[AD⊥BC]，且交[BC]于点[D]，以[AC]为边作等边[△ACE]，直线[BE]交直线[AD]于点[F]，连接[FC]交[AE]于点[M]。（1）求[∠AFC]的度数;（2）探究[FE]，[FA]，[FC]之间的数量关系，并证明你的结论。

由（1）可解得[∠AFC=60°]，这是构造等边三角形的有利条件，笔者鼓励学生在长线段[FC]上截取[FG=FA]，从而得到等边三角形[△AFG]与等边三角形[△AEC]构成了共顶点的“手拉手”模型（如图10）。

[例5]如图11，在[△ABC]中，[AB=AC]，[∠ADB=∠BAC=60°]，求[∠ADC]的度数。

这道题不仅有等边三角形，还有含60°角的三角形[△ABD]，笔者引导学生思考：能否尝试补短？[∠ADB]的两边中，[BD]比较短，可将短边[BD]延长至[E]，使[DE=AD]（如图12），从而形成等边三角形[△AED]，进而构造了共顶点[A]的等边三角形[△ADE]和等边三角形[△ABC]的“手拉手”模型。

五、作等边三角形构造等边三角形“手拉手”模型

当图形中只有一个等边三角形时，也可以在它的一个顶点作另一个等边三角形，从而构造等边三角形“手拉手”模型。

[例6]如图13，[E]为等边[△ABC]内一点，[∠BEA=90°]，[∠AEC=150°]，求证：[BE=2EC]。

本题可以[EC]为其中一边在其右侧构造等边[△EDC]，这样[△EDC]就与[△ABC]构成共顶点[C]的“手拉手”模型（如图14）。

六、“手拉手”模型的应用

笔者在几何综合题的教学实践中，提出了“四步骤几何模型研究”的教学策略（如图15），以帮助学生实现对模型的构造和对综合问题的解决。

下面以一道模拟题为例说明这个教学策略。

[例7]如图16，[△ABC]和[△CDE]都是等边三角形，且点[A]、[C]、[E]在一条直线上，可以证明[△ACD≌△BCE]，则[AD=BE]。

（1）将图16中的[△CDE]绕点[C]旋转到图17，猜想此时线段[AD]与[BE]的数量关系，并证明你的结论。

（2）如图17，连接[BD]，若[AC=2 cm]，[CE=1 cm]，现将[△CDE]绕点[C]继续旋转，则在旋转过程中，[△BDE]的面积是否存在最大值？如果存在，直接寫出这个最大值;如果不存在，请说明理由。

（3）如图18，在[△ABC]中，点[D]在[AC]上，点[E]在[BC]上，且[DE∥AB]，将[△DCE]绕点[C]按顺时针方向旋转得到[△CD′E′]（使[∠ACD′<180°]），连接[BE′]，[AD′]，设[AD′]分别交[BC]，[BE′]于[O]，[F]，若[△ABC]满足[∠ACB=60°]，[BC=3]，[AC=2]。求[BE'AD'] 的值。

分析：

第一步，标图——显示图形的特征。

引导学生标注图形中相等的线段和角（如图19），将图形的特征显性化，为进一步找到等边三角形“手拉手”模型做好铺垫。

第二步，析图——抽象几何模型。

通过图形标注，学生很容易发现[△ACD≌△BCE]的条件，即[AC=BC]，[∠ACD=∠BCE]，[CD=CE]（有共顶点的等边三角形），从而发现[AD=BE]，这对解决第（1）问起到提示作用。如图17所示的图形虽然[A]、[C]、[E]三点不共线，但学生仍能发现等边三角形“手拉手”模型（如图20），[△ABC]和[△CDE]都是等边三角形，所以[AC=BC]，[DC=EC]，[∠ACB=∠DCE=60°]，[∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD]，即[∠ACD=∠BCE]，在[△ACD]和[△BCE]中，[AC=BC]，[∠ACD=∠BCE]，[DC=EC]，[△ACD≌△BCE]，[AD=BE]。

第三步，构图——构造几何模型。

在第（2）问中，将[△CDE]绕点[C]继续旋转，当[△CDE]旋转到[BC]与[C]到[DE]的高在同一条直线上时，[△BDE]面积最大（如图21），此时，教师应引导学生利用旋转将面积问题转化为“手拉手”模型，再由线段相等得到[△BDE]是等腰三角形，从而求出[△BED]面积的最大值。因为[DE]边上的高为[2+32] cm，所以[△BDE]面积的最大值为[12×1×2+32=1+34（cm2）]。

第四步，变图——利用图形变化进行模型变化。

在第（3）问中，要求出[BE′AD′]的值，可抽象出两个相似模型。因为[DE∥AB]，所以[△CDE∽△CAB]，利用平行线得到的[A]型相似如图22所示，则有[CDCA=CECB]，由[△CDE]绕点[C]旋转得到[△CD′E′]，[CE′=CE]，[CD′=CD]，[∠DCE=∠D′CE′=60°]，所以[CD′CA=CE′CB]，则[CD′CE′=CACB]，又因为 [∠DCE+∠BCD′=∠D′CE′+∠BCD′]，即[∠ACD′=∠BCE′]，所以[△ACD′∽] [△BCE′]，从而得到“手拉手”的相似模型（如图23），即[BE′AD′=CBCA=32=62]。

在一道几何综合题中往往会涉及几个不同的模型，在教学中教师应引导学生熟悉模型，熟记相关结论，从题目中快速抽象出几何模型，从而提高学生的解题速度和效率。

从本文的解法归纳中可以看出，即使是比较复杂的图形问题，所用到的也是简单的基础知识，这就要求教师在平时的教学和备考中，从几何图形的形成、变化过程入手进行研究，教给学生几何模型的构建方法，提高学生解题的正确率，增强学生的解题能力。

（责任编辑 黄桂坚）