王烨斐
数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的重要方法,是从特殊到一般的推理方法.运用数学归纳法证明命题的步骤如下:
1.若 n0是满足条件的最小整数,需先验证 n = n0时命题是否成立;
2.假设 n = k(k ≥ n0 , n ∈ N)时命题成立,据此进行推理、运算,证明当 n = k +1时,命题也成立
3.得出结论:对任意 n ≥n0 , n ∈ N ,命题均成立.下面举例说明.
例1.若 n ∈ N ,且 n ≥5,证明:2n > n2.证明:①当 n =5时,2n =32,n2=25,故不等式2n > n2成立;
②假设 n = k(k >5)时,2k > k2成立,
当 n = k +1时,2k +1=2×2k >2k2= k2+ k2,因为 k2+ k2> k2+5k > k2+2k +1=(k +1)2,
所以2k +1>(k +1)2,即当 n = k +1时,2n > n2成立,综上所述,n ∈ N ,且 n ≥5,2n > n2成立.
本题中 n 的初始值为5,需从 n =5时开始验证不等式是否成立,再假设当 n = k 时不等式成立,将其作为已知条件,利用不等式的传递性和可加性证明当 n = k +1时不等式成立,从而证明对任意自然数 n ≥5不等式都成立.运用数学归纳法证明不等式时需注意: (1)首先确定初始值n0 ,有些命题不一定从 n =1开始成立,可从任意一个正整数 n0开始,此时需从 n = n0 开始验证命题是否成立;(2)在假设 n = k 命题成立时,要注意 k ≥n0 ,以保证递推的连续性;(3)将 f (k)拓展至 f (k +1)时,常需采用放缩法,对不等式进行放大或缩小,以证明不等式成立.
例2.若数列{an }的通项公式为 an = ,数列{bn }的通项公式为 bn =(1- a)(1- a2)???(1- an ).求证:bn =.
证明:①令 n =1,b1=(1- a1)=(1-4)=-3,满足 bn =;
②假设当 n = k 时,bk =, bk =(1- a)(1- a2)???(1- ak),
当n = k +1时,bk +1=(1- a)(1- a2)???(1- ak)(1- ak +1),
可得=1- ak +1,
则bk +1= bk (1- ak +1)=(1-2k)(1- ak +1)
2k +1 2k +3 2(k +1)+1
=(1-2k)?= -1-2k =1-2(k +1),
满足bn =.所以命题得证.
由 n = k 时的命题证明n = k +1时的命题成立,要将 n = k 时的命题作为推理、运算的条件,并寻找 n = k +1与 n = k 时命题之间的联系,通过因式分解、添拆项、配方等方式进行恒等变换,从而证明当 n = k +1时命题也成立.
例 3 .某平面内有 n 条直线,其中任何两条直线不平行,三条直线不相交于同一点,证明:这 n 条直线有Pn = 1 2 n(n - 1) 个交点.
证明:①当n =2时,P2=1,命题成立;
②假设 n = k(k >2)时,命题成立,即 k 条直线共有Pn = n(n -1)个交点;
③当n = k +1时,直线有 k +1条,
因为其中任何两条直线不平行,三条直线不相交于同一点,
所以新增的一条直线与原来的 k 条直线均有1个交点,即新增了 k 个交点,
此时Pk +1= Pk + k=k(k -1)+ k = k(k -1)=(k -1)?[(k +1)-1],即当 n = k +1时,命题成立.
综上所述,对任意自然数 n ,这 n 条直线有
Pn = n(n -1)个交点.
解答本题的关键在于由 n = k 时的命题成立推出在 n = k +1时的命题成立.需明确 n 从 k 到 k+1的转变过程中,对Pn的影响,并重点分析 k 条直线所形成的交点的个数与 k+1条直线所形成的交点的个数之间的差异以及联系.
总之,运用数学归纳法证明命题,要按照上述两个步骤对命题进行证明,这样才能确保对任意 n ≥n0 , n ∈ N ,命题均成立.同時,同学们要重视培养运算、观察、逻辑推理能力,这样才能灵活地运用数学归纳法来顺利证明命题.