谈谈运用数学归纳法解题的思路

王烨斐

数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的重要方法，是从特殊到一般的推理方法.运用数学归纳法证明命题的步骤如下：

1.若 n0是满足条件的最小整数，需先验证 n = n0时命题是否成立;

2.假设 n = k（k ≥ n0 ， n ∈ N）时命题成立，据此进行推理、运算，证明当 n = k +1时，命题也成立

3.得出结论：对任意 n ≥n0 ， n ∈ N ，命题均成立.下面举例说明.

例1.若 n ∈ N ，且 n ≥5，证明：2n > n2.证明：①当 n =5时，2n =32，n2=25，故不等式2n > n2成立;

②假设 n = k（k >5）时，2k > k2成立，

当 n = k +1时，2k +1=2×2k >2k2= k2+ k2，因为 k2+ k2> k2+5k > k2+2k +1=（k +1）2，

所以2k +1>（k +1）2，即当 n = k +1时，2n > n2成立，综上所述，n ∈ N ，且 n ≥5，2n > n2成立.

本题中 n 的初始值为5，需从 n =5时开始验证不等式是否成立，再假设当 n = k 时不等式成立，将其作为已知条件，利用不等式的传递性和可加性证明当 n = k +1时不等式成立，从而证明对任意自然数 n ≥5不等式都成立.运用数学归纳法证明不等式时需注意：  （1）首先确定初始值n0 ，有些命题不一定从 n =1开始成立，可从任意一个正整数 n0开始，此时需从 n = n0 开始验证命题是否成立;（2）在假设 n = k 命题成立时，要注意 k ≥n0 ，以保证递推的连续性;（3）将 f （k）拓展至 f （k +1）时，常需采用放缩法，对不等式进行放大或缩小，以证明不等式成立.

例2.若数列{an }的通项公式为 an = ，数列{bn }的通项公式为 bn =（1- a）（1- a2）???（1- an ）.求证：bn =.

证明：①令 n =1，b1=（1- a1）=（1-4）=-3，满足 bn =;

②假设当 n = k 时，bk =， bk =（1- a）（1- a2）???（1- ak），

当n = k +1时，bk +1=（1- a）（1- a2）???（1- ak）（1- ak +1），

可得=1- ak +1，

则bk +1= bk （1- ak +1）=（1-2k）（1- ak +1）

2k +1        2k +3   2（k +1）+1

=（1-2k）?= -1-2k =1-2（k +1），

满足bn =.所以命题得证.

由 n = k 时的命题证明n = k +1时的命题成立，要将 n = k 时的命题作为推理、运算的条件，并寻找 n = k +1与 n = k 时命题之间的联系，通过因式分解、添拆项、配方等方式进行恒等变换，从而证明当 n = k +1时命题也成立.

例 3 .某平面内有 n 条直线，其中任何两条直线不平行，三条直线不相交于同一点，证明：这 n 条直线有Pn = 1 2 n（n - 1） 个交点.

证明：①当n =2时，P2=1，命题成立;

②假设 n = k（k >2）时，命题成立，即 k 条直线共有Pn = n（n -1）个交点;

③当n = k +1时，直线有 k +1条，

因为其中任何两条直线不平行，三条直线不相交于同一点，

所以新增的一条直线与原来的 k 条直线均有1个交点，即新增了 k 个交点，

此时Pk +1= Pk + k=k（k -1）+ k = k（k -1）=（k -1）?[（k +1）-1]，即当 n = k +1时，命题成立.

综上所述，对任意自然数 n ，这 n 条直线有

Pn = n（n -1）个交点.

解答本题的关键在于由 n = k 时的命题成立推出在 n = k +1时的命题成立.需明确 n 从 k 到 k+1的转变过程中，对Pn的影响，并重点分析 k 条直线所形成的交点的个数与 k+1条直线所形成的交点的个数之间的差异以及联系.

总之，运用数学归纳法证明命题，要按照上述两个步骤对命题进行证明，这样才能确保对任意 n ≥n0 ， n ∈ N ，命题均成立.同時，同学们要重视培养运算、观察、逻辑推理能力，这样才能灵活地运用数学归纳法来顺利证明命题.