汪应佳
在习题训练时,我们经常会遇到数列求和问题,其中多项式数列求和问题属于难度较大的一类题目.由于解答此类问题过程中的运算量较大,因而很多同学经常得不到正确的答案.事实上,我们可以利用不定积分来解答多项式数列求和问题.
仔细观察数列 {n } 2 的前 n 项和公式与函数 y = x 2 的不定積分,可以发现二者之间存在很多相似之处:(1)都是三次式;(2)三次式最高次项的系数都为 1 3 . 这给了我们一个启示:多项式数列的前n项和公式与对应的多项式函数不定积分之间有很多相同的地方.观察 ∑i = 1 n i = n(n + 1) 2 , ∑i = 1 n i = n(n + 1)(2n + 1) 6 , ∑i = 1 n i = é ? ê ù ? ú n(n + 1) 2 2 ,可发现多项式数列的特点,可以得到下面的定理.
这里运用导数的运算性质、不定积分公式、数学归纳法以及组合知识得到了伯努利数的递推公式,并通过进一步研究得到了方幂和的通项公式.
由定理3、推论1、推论2可知,求高次多项式数列的和,要先对数列通项公式求导,再求和,最后用不定积分公式 ∫xk dx = 1 k + 1 xk + 1 + C ,解微分方程就可以得到 f (n) 了.
例题:(2020全国文数卷 I,第16题)数列{an}满足 an +2+(-1)n an =3n -1 ,前16项和为540,则 a1=_____.
解:
解答本题,需根据定理1、定理2得到 a2i -1= k3-2k2+ h′(0)k 的表达式,这是是解答本题的关键.然后根据定理3、推论2,通过求不定积分得到 h(k)的表达式,进而求得 a1的值.
运用不定积分求高次多项式数列的和,关键要建立数列的前 n 项和与多项式函数不定积分之间的联系,根据上述3个定理得出多项式函数 f(n)= g(i),然后通过求不定积分,求得数列的前 n 项和.