用不定积分解答多项式数列求和问题的措施

汪应佳

在习题训练时，我们经常会遇到数列求和问题，其中多项式数列求和问题属于难度较大的一类题目.由于解答此类问题过程中的运算量较大，因而很多同学经常得不到正确的答案.事实上，我们可以利用不定积分来解答多项式数列求和问题.

仔细观察数列 {n } 2 的前 n 项和公式与函数 y = x 2 的不定積分，可以发现二者之间存在很多相似之处：（1）都是三次式;（2）三次式最高次项的系数都为 1 3 . 这给了我们一个启示：多项式数列的前n项和公式与对应的多项式函数不定积分之间有很多相同的地方.观察 ∑i = 1 n i = n（n + 1） 2 ， ∑i = 1 n i = n（n + 1）（2n + 1） 6 ， ∑i = 1 n i = é ? ê ù ? ú n（n + 1） 2 2 ，可发现多项式数列的特点，可以得到下面的定理.

这里运用导数的运算性质、不定积分公式、数学归纳法以及组合知识得到了伯努利数的递推公式，并通过进一步研究得到了方幂和的通项公式.

由定理3、推论1、推论2可知，求高次多项式数列的和，要先对数列通项公式求导，再求和，最后用不定积分公式 ∫xk dx = 1 k + 1 xk + 1 + C ，解微分方程就可以得到 f （n） 了.

例题：（2020全国文数卷 I，第16题）数列{an}满足 an +2+（-1）n an =3n -1 ，前16项和为540，则 a1=_____.

解：

解答本题，需根据定理1、定理2得到 a2i -1= k3-2k2+ h′（0）k 的表达式，这是是解答本题的关键.然后根据定理3、推论2，通过求不定积分得到 h（k）的表达式，进而求得 a1的值.

运用不定积分求高次多项式数列的和，关键要建立数列的前 n 项和与多项式函数不定积分之间的联系，根据上述3个定理得出多项式函数 f（n）= g（i），然后通过求不定积分，求得数列的前 n 项和.