解答解析几何中定值问题的两种路径

徐晓玲

圆锥曲线中的定值问题是与圆、椭圆、双曲线、抛物线有关的斜率、距离、面积、比值为定值的问题.这类题目往往具有较强的综合性，需要运用相关的解析几何知识及数学思想来证明定值不会受任何变量的影响.在本文中，笔者结合例题探究如何解答解析几何中的定值问题.

一、采用特殊化法

運用特殊化法解答解析几何中的定值问题，需从一些特殊的情况入手，如特殊图形、特殊值、特殊位置等，根据已知条件求得定值，再证明这个值与变量无关.此方法较为简单，且较为便捷.

例1.如图，已知椭圆 C：+ y2=1的上下顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆 C 上且不与点 A，B，重合设直线 AP，BP 的斜率分别为k1，k2 ，求证：k1?k2为定值.

证明：

此题的解法就是从特殊点 A 、B 入手，根据特殊点 A 、B 的坐标，求出直线 AP 和 PB 的斜率，再将其相乘，即可得出k1?k2的乘积为定值，从而可以证明结论.

二、消参

消参法是指通过消去参数，求得问题的答案.运用消参法解答解析几何中的定值问题，要先选取合适的动点坐标或直线的斜率，将其看作变量，把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并根据已知条件来减少变量的个数，消去变量，化简式子得到定值，再由题目的结论证明定值必定与变量无关.

例2

证明：

由于 P 点为动点，所以以点 P 的坐标为变量，然后结合题目中的条件，用 P 点的坐标表示| AM |和|BN |，得出 | AM |?|BN | 的表达式，接着通过化简、消参，证明定值与变量无关.

特殊化法适用于求解选择题与判断题，而消参法则适用于解答题.针对不同的题型，需要选择更加合适的方法进行解题.同学们要从平时的解题训练中不断总结归纳解题方法，那么再碰到类似的题目时，就能更加得心应手.