解决生活中的优化问题的步骤

周德萍

生活中的优化问题主要是指一些与生活实际相关的利润、用料、容积、面积问题，通常会要求根据实际情境求最大利润、最大容积，确定用料最省、效率最高的方式等.对于这类实际应用问题，我们需根据生活经验将实际应用问题转化为数学问题，利用函数和导数知识来求解.

解决生活中的优化问题的一般步骤为：

1.仔细读题、审题，提炼有用信息;

2.用数学语言、符号、图形表示出相关的信息.尤其要关注变量，研究其变化情况;

3.明确所求目标，并建立关系式，构建函数模型;

4.将问题看作函数最值问题，明确约束条件，求得目标函数、自变量、定义域;

5.利用函数的性质、图象，导数与函数单调性之间的关系、极值，求得函数的最值;

6.检验所得的结果是否满足题意和生活实际.

下面举例说明.

例1.如图1所示的帐篷下部是高为1m 的正四棱柱，上部是侧棱长为3m 的正四棱锥.已知帐篷的体积V 是关于这个帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离 x的函数.

（Ⅰ）随着 x 的变化，体积 V 是如何变化的？

（Ⅱ）当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？最大体积是多少？

解：

解决实际生活中的优化问题时，往往需要先结合题意及问题的实际意义，确定自变量及其取值范围，求得目标函数的表达式.若不易判断出函数的单调性，可对函数求导，根据导函数与函数的单调性来判断函数的单调性，求得函数的极值，即可求得函数的最值，确定最优解.

例2.要在某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距 m 米，余下的工程是建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为 256 萬元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 （2 + x）x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都可视为一个点，且不考虑其他的因素.当 m = 640 米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用最少？

解：

解答本题的关键是求得费用的表达式，然后再借助导数知识研究函数的单调性，确定其极小值.解决生活中的优化问题需注意的是，（1）实际问题中函数的定义域，由实际问题的意义和函数的解析式共同确定;（2）如果函数在开区间内只有一个极值点，那么只要根据实际问题的意义判定该极值是最大值还是最小值，不必再将其与端点处的函数值进行比较.

例3.有一块半径为 20 米，圆心角为∠AOB = 2π 3 的扇形展示台，如图2所示，该展示台被分成了四个区域：△ OCD ，弓形 CMD ，扇形 AOC 和扇形 BOD ，其中∠AOC = ∠BOD .某次菊花展分别在这四个区域摆放泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50 元/ 米2 ，30 元/ 米2 ，40 元/ 米2 . 当∠COD 的余弦值为何值时，日总效益最大？

解：

本题中的变量为∠COD ，于是将其设为 α，并视其为自变量，构造函数 f （α），该函数式中含有正弦函数式和一次函数式，很难快速判断函数的单调性，于是借助导数知识来求得函数的最大值，从而使问题得解.

总之，解决生活中的优化问题，一要将实际问题抽象为函数最值问题;二要增强运用函数、导数知识解决问题的意识;三要提升分析、解决问题的实际能力.