周德萍
生活中的优化问题主要是指一些与生活实际相关的利润、用料、容积、面积问题,通常会要求根据实际情境求最大利润、最大容积,确定用料最省、效率最高的方式等.对于这类实际应用问题,我们需根据生活经验将实际应用问题转化为数学问题,利用函数和导数知识来求解.
解决生活中的优化问题的一般步骤为:
1.仔细读题、审题,提炼有用信息;
2.用数学语言、符号、图形表示出相关的信息.尤其要关注变量,研究其变化情况;
3.明确所求目标,并建立关系式,构建函数模型;
4.将问题看作函数最值问题,明确约束条件,求得目标函数、自变量、定义域;
5.利用函数的性质、图象,导数与函数单调性之间的关系、极值,求得函数的最值;
6.检验所得的结果是否满足题意和生活实际.
下面举例说明.
例1.如图1所示的帐篷下部是高为1m 的正四棱柱,上部是侧棱长为3m 的正四棱锥.已知帐篷的体积V 是关于这个帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离 x的函数.
(Ⅰ)随着 x 的变化,体积 V 是如何变化的?
(Ⅱ)当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷的体积最大?最大体积是多少?
解:
解决实际生活中的优化问题时,往往需要先结合题意及问题的实际意义,确定自变量及其取值范围,求得目标函数的表达式.若不易判断出函数的单调性,可对函数求导,根据导函数与函数的单调性来判断函数的单调性,求得函数的极值,即可求得函数的最值,确定最优解.
例2.要在某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距 m 米,余下的工程是建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为 256 萬元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 + x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都可视为一个点,且不考虑其他的因素.当 m = 640 米时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用最少?
解:
解答本题的关键是求得费用的表达式,然后再借助导数知识研究函数的单调性,确定其极小值.解决生活中的优化问题需注意的是,(1)实际问题中函数的定义域,由实际问题的意义和函数的解析式共同确定;(2)如果函数在开区间内只有一个极值点,那么只要根据实际问题的意义判定该极值是最大值还是最小值,不必再将其与端点处的函数值进行比较.
例3.有一块半径为 20 米,圆心角为∠AOB = 2π 3 的扇形展示台,如图2所示,该展示台被分成了四个区域:△ OCD ,弓形 CMD ,扇形 AOC 和扇形 BOD ,其中∠AOC = ∠BOD .某次菊花展分别在这四个区域摆放泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:50 元/ 米2 ,30 元/ 米2 ,40 元/ 米2 . 当∠COD 的余弦值为何值时,日总效益最大?
解:
本题中的变量为∠COD ,于是将其设为 α,并视其为自变量,构造函数 f (α),该函数式中含有正弦函数式和一次函数式,很难快速判断函数的单调性,于是借助导数知识来求得函数的最大值,从而使问题得解.
总之,解决生活中的优化问题,一要将实际问题抽象为函数最值问题;二要增强运用函数、导数知识解决问题的意识;三要提升分析、解决问题的实际能力.