伍俊
离心率是椭圆和双曲线的重要性质,因而离心率的取值范围问题主要考查椭圆和双曲线的方程、几何性质及定义.此类问题对同学们的分析和逻辑思维能力有较高的要求.笔者着重研究了一道离心率的取值范围问题,对其解法进行了总结.下面谈谈个人的一些看法,供大家参考.
例题:设椭圆 C:+= 1(a > b >0)的左焦点为F,直线 l: y =kx(k >0)与椭圆 C 交于 A,B 两点.若 AF⊥ BF, ∠FAB ∈0, ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 .
该题主要考查了直线与椭圆的位置关系,椭圆的方程、焦点,直线的斜率、方程、倾斜角.解答本题,需首先从已知 AF⊥ BF, ∠FAB ∈0, 条件入手,寻找解题的思路.
方法一:利用三角函数的有界性
在求解取值范围问题、最值问题时,我们经常要用到函数、三角函数的有界性.这就需要将问题与角度关联起来,如根据三角函数的定义,根据直线的倾斜角和斜率公式,根据圆锥曲线与直线的参数方程等,来构造三角函数关系式.将圆锥曲线的离心率用三角函数关系式表示出来,通过三角恒等变换化简目标式,便可运用三角函数的有界性来求得离心率的取值范围.
解法1:设右焦点为 F1,因为 AF⊥ BF ,
则根据椭圆和直线 y =kx的对称性易知四边形 AFBF1是矩形,如图所示.
我们根据椭圆和直线的对称性,将 BF 转化为 AF1 ,将 | AF | 与 | AF | 1 用角 θ 表示出来,再根据椭圆的定义和离心率公式求得e的表达式,并将其转化为只含正弦函数的式子,便可根据正弦函数的有界性求得离心率e的取值范围.
解法2
将点A的坐标用角 θ 表示,根据曲线上的点的坐标满足曲线的方程,将点 A 代入椭圆方程,得出 cos 2 2θ ,再根据 θ 的取值范围求出 cos 2 2θ 的取值范围,即可得到e的取值范围.解答本题,主要利用了余弦函数的有界性.
解法3
此解法是将直线 AB 的方程 y = kx与圆的方程 x 2 + y2 = c 2 联立,求出 x 2 、y2 后,将其代入椭圆方程求得 k2 ,便可根据直线的斜率公式,建立关于 θ 的三角函数式,根据 θ 的取值范围以及正切函数的有界性快速求得k的取值范围,进而得到e的取值范围.在解答圆锥曲线离心率问题时,要注意灵活运用圆锥曲线方程中a、b、c的关系来进行等量代换,以便得到关于a、c 的式子,求得e的取值或取值范围.
解法4
将m、n用 θ 表示出来,就能求得e的表示式,然后利用对勾函数的性质和正切函数的有界性即可求得e 的取值范围.该思路较为简单,但运用该思路解题的运算量较大.
解法5
该解法主要利用三角形的面积公式来建立关系式 SΔAFB = SΔAFF1 ,结合焦点三角形的面积公式将 1 e 2 - 1 用 sin 2θ 表示出来,便可根据 sin 2θ 的有界性求出e的取值范围.解法5与解法1类似,都是利用正弦函数的有界性使问题得解.
方法二:利用圆锥曲线的几何性质
在求解圆锥曲线的离心率时,要重点讨论椭圆、双曲线的几何性质.常见的性质有椭圆的范围为-a≤ x ≤ a,- b ≤ y ≤ b,其对称轴为坐标轴,对称中心为(0,0), a、b、c的关系为:c 2 = a2 +b 2 ;双曲线的范围为 x ≥ a 或 x ≤ - a,y∈R,其对称轴为坐标轴,对称中心为(0,0),a、 b、c的关系为:a2 = c 2 +b 2 等.根据这些几何性质以及圆锥曲线的图形,便可建立关于a、b、c的关系式,最后根据离心率公式 e = c a ,即可求得 e 的取值或取值范围.
解法6
此解法主要是根据椭圆的几何性质以及∠FAB ∈ ? è ù ? 0, π 12 ,讨论了极端情形,即當∠AOx = π 6 时的情况,将 |OA| 2 的长度用 a、b 表示,再结合椭圆的几何性质 |OA| ≤ c 得到 6 3 ≤ e < 1 .
相比较而言,第二种方法较为简单,但须仔细观察图形;第一种方法较为复杂,且解题过程中的运算量较大,但比较容易建立关系式.在解答圆锥曲线的离心率问题时,同学们要灵活运用圆锥曲线的几何性质,建立角的关系式,根据三角函数的有界性来求得离心率的取值范围.