谈谈求解离心率的取值范围问题的思路

伍俊

离心率是椭圆和双曲线的重要性质，因而离心率的取值范围问题主要考查椭圆和双曲线的方程、几何性质及定义.此类问题对同学们的分析和逻辑思维能力有较高的要求.笔者着重研究了一道离心率的取值范围问题，对其解法进行了总结.下面谈谈个人的一些看法，供大家参考.

例题：设椭圆 C：+= 1（a > b >0）的左焦点为F，直线 l： y =kx（k >0）与椭圆 C 交于 A，B 两点.若 AF⊥ BF， ∠FAB ∈0， ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是    .

该题主要考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程、焦点，直线的斜率、方程、倾斜角.解答本题，需首先从已知 AF⊥ BF， ∠FAB ∈0， 条件入手，寻找解题的思路.

方法一：利用三角函数的有界性

在求解取值范围问题、最值问题时，我们经常要用到函数、三角函数的有界性.这就需要将问题与角度关联起来，如根据三角函数的定义，根据直线的倾斜角和斜率公式，根据圆锥曲线与直线的参数方程等，来构造三角函数关系式.将圆锥曲线的离心率用三角函数关系式表示出来，通过三角恒等变换化简目标式，便可运用三角函数的有界性来求得离心率的取值范围.

解法1：设右焦点为 F1，因为 AF⊥ BF ，

则根据椭圆和直线 y =kx的对称性易知四边形 AFBF1是矩形，如图所示.

我们根据椭圆和直线的对称性，将 BF 转化为 AF1 ，将 | AF | 与 | AF | 1 用角 θ 表示出来，再根据椭圆的定义和离心率公式求得e的表达式，并将其转化为只含正弦函数的式子，便可根据正弦函数的有界性求得离心率e的取值范围.

解法2

将点A的坐标用角 θ 表示，根据曲线上的点的坐标满足曲线的方程，将点 A 代入椭圆方程，得出 cos 2 2θ ，再根据 θ 的取值范围求出 cos 2 2θ 的取值范围，即可得到e的取值范围.解答本题，主要利用了余弦函数的有界性.

解法3

此解法是将直线 AB 的方程 y = kx与圆的方程 x 2 + y2 = c 2 联立，求出 x 2 、y2 后，将其代入椭圆方程求得 k2 ，便可根据直线的斜率公式，建立关于 θ 的三角函数式，根据 θ 的取值范围以及正切函数的有界性快速求得k的取值范围，进而得到e的取值范围.在解答圆锥曲线离心率问题时，要注意灵活运用圆锥曲线方程中a、b、c的关系来进行等量代换，以便得到关于a、c 的式子，求得e的取值或取值范围.

解法4

将m、n用 θ 表示出来，就能求得e的表示式，然后利用对勾函数的性质和正切函数的有界性即可求得e 的取值范围.该思路较为简单，但运用该思路解题的运算量较大.

解法5

该解法主要利用三角形的面积公式来建立关系式 SΔAFB = SΔAFF1 ，结合焦点三角形的面积公式将 1 e 2 - 1 用 sin 2θ 表示出来，便可根据 sin 2θ 的有界性求出e的取值范围.解法5与解法1类似，都是利用正弦函数的有界性使问题得解.

方法二：利用圆锥曲线的几何性质

在求解圆锥曲线的离心率时，要重点讨论椭圆、双曲线的几何性质.常见的性质有椭圆的范围为-a≤ x ≤ a，- b ≤ y ≤ b，其对称轴为坐标轴，对称中心为（0，0）， a、b、c的关系为：c 2 = a2 +b 2 ;双曲线的范围为 x ≥ a 或 x ≤ - a，y∈R，其对称轴为坐标轴，对称中心为（0，0），a、 b、c的关系为：a2 = c 2 +b 2 等.根据这些几何性质以及圆锥曲线的图形，便可建立关于a、b、c的关系式，最后根据离心率公式 e = c a ，即可求得 e 的取值或取值范围.

解法6

此解法主要是根据椭圆的几何性质以及∠FAB ∈ ? è ù ? 0， π 12 ，讨论了极端情形，即當∠AOx = π 6 时的情况，将 |OA| 2 的长度用 a、b 表示，再结合椭圆的几何性质 |OA| ≤ c 得到 6 3 ≤ e < 1 .

相比较而言，第二种方法较为简单，但须仔细观察图形;第一种方法较为复杂，且解题过程中的运算量较大，但比较容易建立关系式.在解答圆锥曲线的离心率问题时，同学们要灵活运用圆锥曲线的几何性质，建立角的关系式，根据三角函数的有界性来求得离心率的取值范围.