三类三角函数最值问题的解法探究

薛超

三角函数最值问题具有较强的综合性，主要考查同学们对三角函数的定义、图象、性质、公式等知识点的掌握情况.此类问题的常见命题形式是根据已知函数式求最值，下面重点探讨一下三类三角函数的最的求法.

一、y = a sin x + b cos x 型

形如 y = a sin x + b cos x 的三角函数式中同时含有正弦函数和余弦函数，并且都是一次式.可先根据辅助角公式 a sin x + b cos x = cos（x +θ）=?sin（x +φ），其中 tan θ= ，tan φ= ，将三角函数式转化为关于一个角、只含一种函数名称的三角函数，即可根据正弦或者余弦函数的有界性和单调性求得三角函数式的最值.

例1.若-≤ x ≤，求函数 f （x）= sin x + cos x的最值.

解：

二、y = a sin2 x + b cos x + c 型

y = a sin2 x + b cosx + c 型函数式中同时含有正弦函数和余弦函数，且其中一个是二次式.求 y = a sin2 x +b cos x + c 型三角函数式的最值，往往要利用同角的三角函数关系式 sin2 x + cos2 x =1将函数式化为只含有正弦函数或余弦函数的式子，进而将问题转化为二次函数最值问题，利用二次函数的性质求解.这样目标函数就成为复合函数，需遵循“同增异减”的原则来讨论定义域上函数的单调性，进而根据函数的单调性求最值.

例2.

解：

三、型

这种类型的三角函数式为分式，且分子和分母中分别含有正弦函数和余弦函数.求解此类三角函数最值问题，需将y看作参数，再根据辅助角公式将函数式化为只含一个角、一种函数名称的式子，根据正弦函数和余弦函数的有界性建立关于y的不等式，解该不等式即可求得y的取值范围，进而求得函数的最值.

例3.

解：

三角函数最值问题的命题形式多种多样，同学们在日常学习中要学会总结归纳，将形式、解法相同的题目放在一起对比、分析，以便总结出一类题目的通性通法，这样不仅能提升学习的效率，还有利于培養抽象思维能力.

本文系江苏省陶研会立项课题《高中生小组合作学习下数学错题反思的有效性研究》（课题批准文号：JSTY624）研究成果.