怎样解答与焦点三角形有关的问题

李群

焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形較为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.

一、根据椭圆或双曲线的定义求解

解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.若 P 为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos θ;（2） S △PF1F2=|PF1||PF2|· sin θ;（3）焦点三角形的周长为2（a+c）.对于双曲线，也有类似的性质.

例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1，F2的坐标分别为（  ，0）和（- ，0），点 P 在双曲线上，且 PF1⊥ PF2，ΔABC 的面积为2，则双曲线的方程为   .

此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于|PF1|、|PF2|的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.

例2.已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1，F2，曲线C1和C2的一个交点为 P，且 PF1⊥ PF2，则 C1的离心率 e1与 C2的离心率 e2一定满足的关系是（  ）.

解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于|PF1|、|PF2|的方程，然后将其转化为 a、c 的方程，根据圆锥曲线离心率公式 e =，得到e1、e2的关系式.

二、根据正余弦定理求解

若三角形ABC 的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：== =2R .余弦定理：a2= b2+c2-2bc cosA;b2=c2+a2-2ca cosB;c2=a2+ b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求得问题的答案.

本题较为复杂，要找到焦点三角形的最小内角，需根据“三角形的小角对小边，大角对大边”的定理进行判断，然后根据余弦定理建立关于a、c的关系式，通过解方程，利用椭圆和双曲线中a、b、c之间的关系求得双曲线的渐近线方程.

可见，解答椭圆、双曲线中的焦点三角形问题，关键是明确焦点三角形的性质、两条焦点弦与焦距之间的关系，灵活运用椭圆或双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式.