李群
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形較为特殊,其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.
一、根据椭圆或双曲线的定义求解
解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题,首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若 P 为椭圆上一点,根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹,用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ,根据椭圆的定义可知(1)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos θ;(2) S △PF1F2=|PF1||PF2|· sin θ;(3)焦点三角形的周长为2(a+c).对于双曲线,也有类似的性质.
例1.已知双曲线的中心在原点,两个焦点 F1,F2的坐标分别为( ,0)和(- ,0),点 P 在双曲线上,且 PF1⊥ PF2,ΔABC 的面积为2,则双曲线的方程为 .
此题比较简单,根据题目中的垂直关系,利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于|PF1|、|PF2|的方程组,解方程组就可以求出双曲线的方程.
例2.已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1,F2,曲线C1和C2的一个交点为 P,且 PF1⊥ PF2,则 C1的离心率 e1与 C2的离心率 e2一定满足的关系是( ).
解答本题,需利用椭圆与双曲线的定义,借助勾股定理建立关于|PF1|、|PF2|的方程,然后将其转化为 a、c 的方程,根据圆锥曲线离心率公式 e =,得到e1、e2的关系式.
二、根据正余弦定理求解
若三角形ABC 的三个内角的对边为a、b、c,则有正弦定理:== =2R .余弦定理:a2= b2+c2-2bc cosA;b2=c2+a2-2ca cosB;c2=a2+ b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时,可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式,通过解方程求得问题的答案.
本题较为复杂,要找到焦点三角形的最小内角,需根据“三角形的小角对小边,大角对大边”的定理进行判断,然后根据余弦定理建立关于a、c的关系式,通过解方程,利用椭圆和双曲线中a、b、c之间的关系求得双曲线的渐近线方程.
可见,解答椭圆、双曲线中的焦点三角形问题,关键是明确焦点三角形的性质、两条焦点弦与焦距之间的关系,灵活运用椭圆或双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式.