指向核心素养的高考概率与统计试题新变化

蒋凤君　金克勤

摘 要：2022 年高考数学试卷中的概率与统计试题，具有背景丰富、难度稳定、考查主干知识和考查数学素养等特点. 从目标解析、解法分析、试题分析和类题赏析四个方面对优秀试题进行解析，在此基础上对2023年高考概率与统计的复习备考提出了建议.

关键词：概率与统计;解题分析;复习建议

2022年高考数学试卷中概率与统计试题考查的内容与 《普通高中数学课程标准 （2017 年版 2022 年修订）》保持一致，与教材中知识内容的比例相当，注重考查内容的全面性和层次性，突出对核心概念、主干知识和重要思想的考查. 2022年高考概率与统计试题重在对基础知识的考查，强调基本思想方法，以及对概率与统计的基本原理的深入理解和应用，在通性、通法的基础上，适度进行了综合与创新. 试题有较好的信度和区分度，达到了考查的目的.

一、试题特点分析

1. 试题背景丰富

2022年高考概率与统计试题突出反映了概率与统计和现实之间的紧密联系. 试题设置了与社会经济密切联系的情境. 例如，分析地方性疾病与居民生活卫生习惯之间的关系，普及垃圾分类知识的统计，长途客车运营情况分析，林区某种树木材积量的估计和预测，流行病调查，学校运动会优秀奖人数和冠军得主预测，等等. 这些试题情境与我国社会经济发展和生产、生活实际相结合，与学生的生活经验紧密联系，富有时代特征，突出数学的应用性和实践性. 在实际情境中考查学生运用概率与统计的基础知识和基本方法解决实际问题的能力，具有鲜明的时代特征.

2. 难度保持稳定

2022 年高考概率与统计试题容量基本保持稳定，分值近几年相比几乎没有变化. 全国甲卷（文、理科）和全国乙卷 （文、理科） 都是两道客观题和一道主观题，共22分;全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷都是一道客观题和一道主观题，共17分，占全卷的11.3%～14.7%，与概率与统计在高中课程中的内容比例相当.2022年高考概率与统计试题难度适中，与2021年不同的是没有出现作为压轴题的难题. 与全国甲卷 （文、理科）和全国乙卷（文、理科）相比，全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷难度稍大，今后也可能会以概率与统计建模内容作为压轴试题.

3. 考查主干知识

2022年高考概率与统计试题围绕概率与统计的主干知识进行考查.

概率考查的主要内容有：（1） 古典概型的概率计算，如全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷的第 5 题，全国甲卷理科第15题，全国甲卷文科第6题，全国乙卷理科第13题 （文科第14题）;（2） 概率的性质和相互独立事件的概率，如全国甲卷理科第19题，全国乙卷文科第10题;（3） 条件概率与全概率公式，如全国新高考Ⅰ卷第20题，全国新高考Ⅱ卷第19题，天津卷第13题;（4）随机变量分布列与数字特征、二项分布、超几何分布、正态分布，如全国新高考Ⅱ卷第13题，全国甲卷理科第19题，北京卷第18题，浙江卷第15题.

统计考查的内容有：（1） 随机抽样与数据的数字特征，如全国新高考Ⅰ卷第 20 题，全国甲卷理科第2题 （文科第2题），全国甲卷文科第17题;（2） 统计图表与数据数字特征，如全国新高考Ⅱ卷第19题，全国甲卷理科第 2 题 （文科第 2 题），全国乙卷文科第4题，天津卷第4题;（3）统计相关性与一元线性回归模型，如全国乙卷文科第19题;（4） 独立性检验，如全国新高考Ⅰ卷第20题，全国甲卷文科第17题.

2022年高考概率与统计试题涵盖高中概率与统计的主要知识，全面考查了概率与统计的主要知识和方法，考查的知识覆盖面广，系统性、联系性强，体现了概率与统计知识的特点.

4. 考查数学素养

2022年高考概率与统计试题体现出对数学素养的考查要求.

首先，是数学阅读，概率与统计主观题的文字量是所有数学试题中最多的，学生要审读试题，在短时间内依据概率与统计的概念和知识理解题意，了解问题的背景，形成解决问题的思路与方案.

其次，概率与统计试题突出对数学思想方法的考查，试题往往从概率与统计的相互联系之处提出问题，很多试题都体现了“用频率估计概率”“用样本估计总体”的思想. 例如，全国新高考Ⅱ卷第19题就是用随机抽样的100名某种疾病患者的信息，估计该地区某年龄段人群患这种疾病的概率;又如，北京卷第18 题中要求根据甲、乙、丙三名学生以往比赛的成绩，去估计谁获得冠军的概率最大. 这些都是概率与统计思想在解題中的应用.

最后，概率与统计试题中渗透了数学建模的思想方法，试题呈现出这样的建模思想：将现实问题归结为数学问题，然后建立一个概率模型或统计模型，再选择合适的数学方法加以求解，并且对求得的结果进行评价，或者对出现的结果加以解释或做出预测. 例 如，全国新高考Ⅰ卷第 20 题，构建了一项度量指标

二、优秀试题分析

三、复习建议

依据以上对2022年高考概率与统计试题的特点分析和优秀试题分析，对2023年高考概率与统计的复习提出以下几点建议.

1. 注重基础，加强联系

高考概率与统计试题重视对基础知识和基本思想方法的考查，复习过程中要加强对基本概念的理解和基本性质的掌握，重视概率与统计方法的归纳与总结. 要形成系统的知识网络，可以借助知识结构图，厘清知识间的相互关系. 在知识和方法的重要节点下工夫去明概念、熟方法，按概率与统计课程的核心内容组织复习，通过强化基础知识和基本方法的复习，做到事半功倍.

2. 规划专题，重点突破

高考概率与统计试题特征明显，分类清楚，建议分以下几个专题进行有侧重的复习和训练. 概率可以分为“古典概型与概率的性质”“独立事件的概率与条件概率”“离散型随机变量的分布列与数字特征”“特殊分布及其数字特征”四个专题;统计可以分为“随机抽样和频率分布直方图”“样本估计总体”“相关性与回归模型”“ 2 × 2 列联表与独立性检验”四个专题. 对于每个专题从知识、方法和思想三个方面进行复习，针对常见题型、易混概念、易错问题进行强化训练，逐步形成解决一类问题的思想方法.

3. 关注本质，提炼内涵

高考概率与统计试题背景丰富，形式多样，但本质一致. 许多试题形异质同. 因此，在复习过程中，要透过现象看本质，从纷繁复杂的问题背景中看到其数学本质，提炼、简化为基本模式. 对基本模式的提炼本质上是对数学内涵的再认识. 要学会在各种不同的情境中识别基本模式，形成解决基本模式问题的一般思路与方法，把对解题的思考转化为对基本模式的判别，然后再按一定的解题程序解决问题. 这是面对复杂问题的解决方案，也是认识数学本质、抓住关键要点进行复习的有效策略.

4. 聚焦素养，思想引领

概率与统计的复习要聚焦数学核心素养，提升数据分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养和能力. 概率与统计的解题过程处处体现出对素养的要求，复习过程中要时刻用数学思想引领复习的方向. “随机抽样的原理”“随机性中的规律性”“统计结论的或然性”“频率稳定于概率的原理”“样本估计总体的思想”“随机变量的概念与含义”“独立性检验的思想”等概率与统计中特有的思想方法对于掌握概率与统计的解题方法至关重要，要把对这些数学思想方法的参悟贯穿在复习解题过程中，使复习过程能够体现经验积累和思想升华.

四、典型模拟题

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准 （2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 中华人民共和国教育部制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]《现代数学手册》 编纂委员会. 《现代数学手册》 随机数学卷[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2001.

[4] 范俊明，蒋志方，徐新斌. 2020年高考“计数原理、概率与统计”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（11）：41-50，58.

[5] 高霞，吴丽华. 2021年高考“概率与统计、计数原理”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2021（9）：45-53.