例谈同构法在导数中的应用

摘要：同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化为比较大小、解恒成立或者求最值等问题，同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两侧的结构一致，从而构造函数.

关键词：同构法;导数;双变量型;指对跨阶型

中圖分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0002-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：白亚军（1978-），男，甘肃省永昌人，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

用导数比较大小、解不等式，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小、解不等式问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小或解不等式.

1 双变量型

含有同等地位的两个变量x1，x2的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.常见的同构类型有：

（1） g（x1）-g（x2）>λf（x2）-f（x1）g（x1）+λf（x1）>g（x2）+λf（x1），从而构造函数h（x）=g（x）+λf（x）；

（2）f（x1）-f（x2）x1-x2>k（x1

（3）f（x1）-f（x2）x1-x2f（x2）+kx2，从而构造函数h（x）=f（x）+kx.

例1已知函数f（x）=lnax-2x-1+1ex-1（a>0）.

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）对x1，x2∈0，12，当x2>x1时，都有f（x2）-f（x1）<1ex2-1-1ex1-1成立，求实数a的取值范围．

分析第（2）问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，则问题可转化为函数单调性问题.解析（1）由题意，得ax-2x-1>0，ex-1≠0，

即ax-2ax-1>0，x≠0.

①当01，函数f（x）的定义域为-SymboleB@，0∪0，1∪2a，+SymboleB@；

②当a=2时，2a=1，函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）；

③当a>2时，2a<1，函数f（x）的定义域为-SymboleB@，0∪0，2a∪1，+SymboleB@.

（2）设h（x）=f（x）-1ex-1=lnax-2x-1，则h（x2）

所以h（x）在区间0，12上单调递减.

设u（x）=ax-2x-1=a+a-2x-1，

即函数u（x）在0，12上单调递减，且u（12）>0.

所以a-2>0，12a-212-1>0，a>0.解得2

所以实数a的取值范围为2，4

评注例1中出现的双变量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确，针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数，利用函数单调性，解不等式.

2 指对跨阶型

解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为fg（x）>fh（x）的结构，f（x）即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：xex=ex+lnx；exx=ex-lnx；xex=elnx-x；x+lnx=ln（xex）；

x-lnx=lnexx.

2.1 直接变形

（1）积型：aea≤blnbaea≤lnb·elnb，从而构造函数f（x）=xex；aea≤blnbealnea≤blnb，从而构造函数f（x）=xlnx;

aea≤blnbln（aea）≤ln（blnb）a+lna≤lnb+ln（lnb），从而构造函数f（x）=x+lnx.

（2）商型：eaa

eaa

eaa

（3）和差型： ea±a>b±lnbea±a>elnb±lnb，从而构造函数f（x）=ex±x；

ea±a>b±lnbea±lnea>b±lnb，从而构造函数f（x）=x±lnx.

2.2 先凑再变形

若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x，同加上x等，再用上述方式变形.常见的变形有：

（1）aeax>lnxaxeax>xlnx；

（2）ex>aln（ax-a）-aexa>lna（x-1）-1ex-lna-lna>ln（x-1）-1

ex-lna+x-lna>ln（x-1）+x-1=eln（x-1）+ln（x-1）；

（3）ax>logaxexlna>lnxlna（xlna）exlna>xlnx.

例2若关于x的不等式ex-a≥lnx+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）.

A. -SymboleB@，1eB. -SymboleB@，e

C. -SymboleB@，1D. -SymboleB@，2

分析不等式两侧都加上x，即能出现同构法中的“和差型”.由不等式的结构判断，通过将不等式变形为ex-a+x-a≥lnx+x，符合同构法中的指对同阶模型.

解析 将条件不等式两侧都加上x得到

ex-a+x-a≥lnx+x.

设f（t）=et+t，则f ′（t）=et+1>0.

所以f（t）在R上单调递增.

由ex-a+x-a≥lnx+elnx，得

f（x-a）≥f（lnx）.

即x-a≥lnx.

即a≤x-lnx对一切正实数x恒成立.

设g（x）=x-lnx，则

g′（x）=1-1x=x-1x.

令g′（x）>0，则x>1;

令g′（x）<0，则0

所以g（x）在1，+ 上单调递增，在0，1上单调递减.

故g（x）min=g（1）=1，故a≤1.故选C.

评注不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度.故要对常见不等关系的结论及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.

3 同构放缩或同构换元共存型

有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者不等式本身的结构不特殊，可以先结合常用不等结论放缩.常见的放缩模型：

（1）利用ex≥x+1放缩：xex=ex+lnx≥x+lnx+1；exx=ex-lnx≥x-lnx+1；xnex=ex+nlnx≥x+nlnx+1.

（2）利用ex≥ex放缩：xex=ex+lnx≥e（x+lnx）；xex=elnx-x≥e（lnx-x）

；xnex=ex+nlnx≥e（x+nlnx）.

（3）利用lnx≤x-1放缩：x+lnx=ln（xex）≤xex-1；x+nlnx≤xnex-1.

（4）利用lnx≤xe放缩：x+lnx=ln（xex）≤xex-1；x+nlnx=ln（xnex）≤xnex-1.

例3已知函数f（x）=xeax-1（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的图象经过点1，1，求证：x>0时，1xex+lnf（x）≥0.

分析待证明的不等式中有xex，lnx+x，容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.

解析（1）由题意知，函数f（x）的定义域为R.

当a=0时，f（x）=xe，函数f（x）在-，+上单调递增．

当a≠0时，f ′（x）=eax-1+axeax-1=eax-1a（x+1a），

令f ′（x）=0，即x=-1a.

①当a<0时， x<-1a时f ′（x）>0;

x>-1a时f ′（x）<0.

所以f（x）在區间-，-1a上单调递增，在区间-1a，+上单调递减．

②当a>0时，x>-1a时f ′（x）>0;

x<-1a时f ′（x）<0.

所以f（x）在区间-，-1a上单调递减，在区间-1a，+上单调递增．

（2）若函数f（x）的图象经过点1，1，则f（1）=ea-1=1，得a=1.

则1xex+lnf（x）=1xex+lnx+x-1=1xex+ln（xex）-1.

设t=xex，则当x>0时，t∈0，+.

设g（t）=1t+lnt-1，则

g′（t）=-1t2+1t=t-1t2.

令g′（t）=0，则t=1.

所以g（t）在区间0，1上单调递减，在区间1，+上单调递增.

所以g（t）≥g（t）min=g（1）=0.

所以当x>0时，1xex+lnf（x）≥0恒成立．

评注第（2）问进行指对变形，换元简化函数，同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“一致性”，再换元，大大降低了函数研究的难度，但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或者变形为f（x）>g（x）的结构，比较最值.

参考文献：

［1］巨小鹏.几道高考题背后的破解秘密——同构[J].数理化解题研究，2022（01）：55-58.