分层抽样———统计中的一朵“玫瑰花”

■冉亚利

分层抽样是历年高考的重要考点之一,高考常把分层抽样与频率分布、分层抽样与概率结合起来进行考查,也反映了高考的命题方向。这类问题,难度不大,但考查的知识面较广,值得同学们重视。

一、分层随机抽样的概念

例1 下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )。

A.从20名同学中抽取5人参加座谈会

B.某社区有500 个家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭280户,低收入的家庭95 户,为了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本

C.从1000名工人中,抽取100人调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量

A 中总体所含个体无差异,且个数较少,适合用简单随机抽样。C和D中总体所含个体无差异,但个数较多,不适合用分层随机抽样。B中总体所含个体差异明显,适合用分层随机抽样。应选B。

评注:分层抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时,可采用简单随机抽样或系统抽样。分层抽样中分层的原则是层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠;所有层中每个个体被抽到的可能性相同。

二、求样本容量

例2 某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n=( )。

A.80 B.100

C.120 D.140

那时哥们儿朝洛蒙祖坟还没有冒白烟，还没有提升为销售助理，还和我们挤在十平米大小的“烟箱子”里。媳妇来了，租不起宾馆，俩人就在“烟箱子”眉来眼去地腻歪着，害得我们哥几个晚上有“家”不能归，只在街上瞎逛。羊肉串吃得没滋味，就去火车站胡同里的小旅店看港台的武打剧或毛片。但还是出了事。哥们儿朝洛蒙和媳妇在“烟箱子”里时，被厂里管后勤的经理撞到了，当成卖淫嫖娼的把他们揪到保安室。几个保安轮流审讯，好在他媳妇还算是有心人，来时把结婚证揣在兜里。媳妇掏了结婚证，给保安看了，保安才放过他们。这事在厂里传扬开来。媳妇臊得要死，咬牙切齿跟哥们儿朝洛蒙说，再也不来这座没有人性的狗屁城市了！

三、求总体容量

例3 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲,乙,丙,丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人。若在甲,乙,丙,丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )。

A.101 B.808

C.1212 D.2012

评注:解决分层抽样问题,关键是求出抽样比。求解此类问题的难点为注意分析是否需要剔除个体。

四、求层中样本容量

例4 某校做了一次关于“感恩父母”的问卷 调 查,从8～10 岁,11～12 岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份,180份,240份,x份。因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )。

A.60 B.80

C.120 D.180

五、分层抽样的设计

因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层随机抽样的方法。

具体抽取过程如下:第1步,将3万人分为5层,一个乡镇为一层。第2步,按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60。第3步,采用简单随机抽样的方法,按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本。第4步,将300人合到一起,即得所需样本。

评注:分层抽样法也叫类型抽样法。它是从一个可以分成不同子总体(或称为层)的总体中,按规定的比例从不同层中随机抽取样本(个体)的方法。这种方法的优点是样本的代表性比较好,抽样误差比较小;缺点是抽样手续较简单随机抽样还要繁杂些。

六、分层随机抽样的均值

例6 某学校高一年级在校人数为600,其中男生320人,女生280人,为了解学生的身高信息,按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本,其样本平均数为170.2cm,抽取50 名女生身高为一个样本,其样本平均数为162cm,则该校高一学生的平均身高的估计值为____。