基于板-梁理论的单轴对称箱形钢梁组合扭转分析

张文福,吴 宇

(1. 安徽建筑大学土木工程学院, 安徽 合肥 230601;2. 南京工程学院建筑工程学院, 江苏 南京 211167)

薄壁箱形截面梁具有结构性能良好、自重轻、抗扭刚度大等优点,在现代建筑和桥梁中得到了广泛应用.相比于开口截面,闭口截面扭转是一个复杂的力学问题.文献[1]基于Wumanski第二理论建立了箱梁扭转的微分方程,研究单箱双室波形钢腹板组合箱梁的扭转性能;文献[2]基于周边不变形理论研究了波形钢腹板箱梁自由扭转和约束扭转剪应力分布,并与ANSYS有限元计算结果进行对比;文献[3]对于双轴对称薄壁箱梁组合扭转问题给出了能量变分模型和微分方程模型,并给出了扭转刚度的解答.对于单轴对称薄壁箱梁,由于腹板翘曲位移的非对称性,其扭转理论相对复杂.本文在板-梁理论[4-6]的基础上,基于Kirchhoff板和Timoshenko梁[7-9]力学模型引入腹板翘曲变形偏移的待定系数,得到单轴对称箱梁的扭转刚度,并计算出单轴对称箱梁组合扭转理论公式;运用ANSYS有限元分析软件对理论计算结果进行验证,对比结果表明了理论公式的正确性;相比于Wumanski理论[9],无需引入Vlasov扇性坐标,计算简便、理论模型易于理解.

1 理论计算

1.1 板-梁理论

以图1所示的单轴对称箱形截面钢梁为研究对象,引入两套坐标系:整体坐标系xyz和局部坐标系nsz.这两套坐标系与Vlasov坐标系类似,均符合右手螺旋法则,整体坐标系的原点选在截面形心C,各板件的局部坐标系原点选在板件形心.已知:钢梁的长度为L;上翼缘的宽度为bf1;上翼缘的厚度为tf1;下翼缘的宽度为bf2;下翼缘的厚度为tf2;腹板的高度为hw,厚度为tw;各板件的弹性模量为E,剪切模量为G,泊松比为μ.

图1 单轴对称箱形截面的坐标系与变形图

板-梁理论的基本假设为刚周边假设和变形分解假设.由于闭口截面薄壁构件无法忽略板件平面内剪切变形的影响,因此不能采用Euler梁力学模型确定各板件平面内弯曲变形的应变能,而是按Timoshenko梁力学模型确定,平面外扭转变形按Kirchhoff板力学模型确定.由文献[4]推导得出形心和剪心的新定义,此定义可计算出ef1、hs1.

1.2 钢梁扭转的能量方程

1.2.1 各板件截面任意点位移

(1)

根据薄壁构件基本约定,α为整体坐标系x轴按右手螺旋法则到局部坐标系s的角度:

(2)

式中:rs为剪心S(0,y0)到s轴的距离;rn为剪心S(0,y0)到n轴的距离.

(3)

式中:vs为左腹板任意点沿s轴的位移;vn为左腹板任意点沿n轴的位移.

腹板形心的横向位移和纵向位移为:

(4)

根据变形分解原理,将式(3)改写为:

(5)

1.2.2 各板件平面内扭转变形应变能

以左侧腹板为例,其平面内弯曲引起的左侧腹板沿着s轴位移为:

vw(z)=bθ/2

(6)

纵向位移根据Timoshenko梁力学模型确定:

ww(s,z)=ψw(z)(s+m)

(7)

式中:ψw(z)为腹板平面内弯曲的截面转角,为待定系数;m为纵向位移为0的点到腹板形心的距离,为待定系数.

由板-梁理论得到平面内弯曲的应变能:

(8)

1.2.3 各板件平面外扭转变形的应变能

根据变形分解原理,以左侧腹板为例,其平面外弯曲引起的任意点横向沿n轴的位移为:

(9)

沿s轴的位移为:

(10)

纵向位移即沿着z轴的位移依据Kirchhoff板力学模型确定:

(11)

由板-梁理论得到平面外弯曲的应变能为:

(12)

根据对称性,左右腹板的扭转应变能相等.

运用同样的方法可确定上翼缘的应变能为:

(13)

下翼缘的应变能为:

(14)

1.2.4 偏移值m的确定以及三个截面转角与横截面刚性转角关系

根据相邻板件纵向位移协调以及剪力流相等的条件,以左上角点为例,交点处纵向位移计算式为:

(15)

计算得到:

(16)

由于剪力流相等,qf1=qw,即:

Gγsz,f1tf1=Gγsz,wtw

(17)

得到:

(18)

求解可得:

(19)

(20)

(21)

同理,再对左下角进行分析,可求得:

(22)

联立ψw、ψf1、ψf2和m之间的关系方程可以解得:

m=

(23)

1.2.5 总应变能

经过整理,可将本研究理论公式简化为单变量的钢梁组合扭转理论公式:

(24)

单轴对称钢梁组合扭转的约束扭转刚度为:

(25)

箱形钢梁组合扭转的自由扭转刚度为:

(26)

1.2.6 总势能

对于钢梁端部仅作用集中扭矩时,钢梁的总势能为:

(27)

平衡微分方程为:

EIwθ(4)-GJkθ″=0

(28)

对于悬臂梁的边界条件,其解为:

(29)

可解得端部转角的表达式为:

(30)

2 单轴对称钢梁组合扭转理论的有限元验证

2.1 建立有限元模型

借助有限元分析软件ANSYS对单轴对称钢梁组合扭转行为进行数值模拟.为了精确模拟薄壁构件整体稳定性,单元选用4节点有限应变壳单元SHELL181,每个节点有3个平动自由度和3个转动自由度,有限元模型如图2所示.材料定义为Q235型号钢材,弹性模量E=2.06×105MPa,泊松比μ=0.3.采用CERIG方法将截面所有节点绕纵轴的转动从属于截面某一角点来模拟截面的刚周边假设.通过对端部施加一对力偶来模拟悬臂梁端部作用集中扭矩的情况.运行ANSYS静态求解器,通用后处理器导出变形图和端部节点转角,如图3所示.

(a) 模型整体图

(a) 变形整体图

2.2 理论解与有限元结果对比分析

根据约束扭转特征长度K,选取6组不同尺寸的钢梁进行理论计算和有限元模拟,其结果如表1所示.由表1可见,本例中公式推导所得到的结果与有限元结果吻合较好,最大误差在3.5%以内,证明了本理论的正确性.

表1 有限元结果与理论解的对比分析结果

3 结论

1) 对于闭口薄壁构件,无法忽略板件平面内剪切变形影响,平面内弯曲变形可采用Timoshenko梁力学模型确定;

2) 板-梁理论根据传统理论将薄壁构件各板件的屈曲变形分解为平面内的弯曲变形和平面外的扭转变形,对于闭口截面分别按Timoshenko梁和Kirchhoff板力学模型确定,根据能量变分原理计算求解,相较于传统Vlasov理论,物理过程清晰明确,容易理解,适合薄壁构件的屈曲分析,且计算精度较高;

3) ANSYS有限元软件中SHELL单元适用于分析薄壁构件,并可通过定义刚性区域的方式实现刚周边假设,验证理论解的正确性.