基于经验正交函数的剖面重构及其物理意义分析

钟玮琪，屈 科，梁 羿

（广东海洋大学电子与信息工程学院，广东 湛江 524088）

声速剖面是重要的海洋水声环境参数之一，是评估海域稳定性的基础指标，也是海洋声场分析的必要先验信息。获取精确的声速剖面，对海洋环境监测、声源定位和军事方面的应用都具有重大意义。声速剖面是有关深度和声速的函数，也可以用时间或空间随深度变化的矩阵形式来描述，声速剖面的矩阵越大，精度越高。然而，使用深度和声速的数值关系模拟实际声速剖面需要大量的参数，参数增加的同时也增大了逆问题求解的难度，因此需要采用一定的降维技术尽可能使用较少的模态更为简单、有效地重构声速剖面。经验正交函数方法（Empirical Orthogonal Function，EOF） 就被证实是十分有效的途径之一。为了降低声速剖面在水声学逆问题中未知参数的维度，通常将海洋声速剖面表示为恒定的背景剖面与扰动项的叠加，通过经验正交函数方法提取样本扰动的主成分，然后可以通过若干阶EOF 和投影系数描述声速剖面。

经验正交函数分析方法也称为特征向量分析或主成分分析，是分析矩阵数据结构特性、提取主要数据特征的一种方法，能够将随时间变化的变量场分解为仅依赖时间变化的时间函数和不随时间变化的空间函数。DAVIS R E[1]证明了EOF 是描述声速剖面最有效的基函数。沈远海等[2-3]、张镇迈等[4]研究表明在浅海使用经验正交函数描述和重构声速剖面的可行性和有效性。在实际中声速剖面难以使用连续函数表示，传统声速剖面重构方法对样本数量有一定要求，因此，通过正交分解一定数量声速剖面样本序列的时间向量和空间向量，可以有效地描述声速剖面，通常情况仅需要前几阶就可以获得足够的精度[5-7]，并且此方法可以避免描述声速垂直结构多参数的问题，在反演海水声速剖面算法执行过程中具有较高的时效性[8]。以上研究都表明了即便是在浅海声速剖面变化剧烈的情况下，采用经验正交函数表示声速剖面仍然具有较高的实用性。孙文舟等[9]解析了声速剖面EOF 第一模态时间系数和空间函数的变化规律，分析了引起声速剖面变化的主要因素；苏林等[10]分析了经验正交函数系数分布特点，实现内波环境下对声速剖面的实时预测。从上述研究工作可以总结出，经验正交函数可以有效地应用于声速剖面时空变化分析[11]、声速场模型构建[12-13]和海洋活动监测[14-15]等领域。

EOF 方法作为一种数值统计方法，可将复杂的参考模型方程投影到少数主成分上来降低问题的维度。由于EOF 模态是样本矩阵的主成分，并没有物理表达式，其物理意义不直观，难以从中获取海洋动力学信息[16-18]。为了提升对EOF 方法反演结果的解析，本文采用经验正交分解法，对2001 年中美联合实验（The Asian Seas International Experiment，ASIAEX）在南海北部测量的温度链数据进行处理，对第一、二阶投影系数的物理意义进行发掘分析。结果表明前两阶主要模态与海洋动力学参数密切相关，通过第一、二阶投影系数的变化可以对海洋动力活动进行有效监测。

1 基于EOF 的声速重构

本文所采用的数据选自2001 年ASIAEX 于南海北部进行声学实验中的温度链数据。ASIAEX 是中国、美国、俄罗斯、日本、韩国、新加坡之间的综合科学合作，其主要实验在2001 年4—8 月进行。实验包括两项内容，第一个是在东海的海底相互作用实验，第二个是在南海的体积相互作用实验。本次数据取自2001 年5 月3 日至2001 年5 月17 日的南海实验，该实验在浮标投放点（21°55.285′N，117°35.088′E）进行采样时间为1 min 的测量。浮标的每根绳子放置11 个温度传感器，传感器之间的间隔约为10 m。温度剖面的深度范围为21.7～135.1 m。图1 显示了72 h（5 月7 日00∶00 至5 月10 日00∶00）温度剖面的变化，可以观察到频繁强烈的线性和非线性内波活动，观测到的内孤立波振幅约为70 m。

图1 5 月7 日00 ∶00 至5 月10 日00 ∶00 温度数据

由于影响浅海声速的主要因素是浅海海水温度，因此声速的计算采用Chen-Millero-Li 声速经验公式[19]。由于实际采样过程中存在实验条件的限制，导致每条声速剖面的采样并不能完全保持在等深度处，所以利用三次样条插值法[20]将声速内插到垂直标准层后得到声速剖面。

假设已获得N 条声速剖面，每条剖面有M 层垂直标准层，声速剖面矩阵为C。计算声速剖面矩阵C 中每层的平均声速值，声速剖面矩阵还可以表示成平均声速剖面与声速扰动X 的和。通常先将声速剖面矩阵进行预处理，即标准化处理或转化为声速剖面的残差形式。若对声速剖面矩阵C 进行标准化处理，那么R 被称为相关系数矩阵；若将C 进行声速剖面残差处理，那么R 被称为协方差矩阵。然后计算X 与其转置矩阵的交叉积，则X 的协方差矩阵如下。

对协方差矩阵求解特征值向量，将R 分解如下。

式中，E 是R 的特征值矩阵，将E 按从大到小的顺序进行排列。每个非0 的特征值都对应一个特征向量，得到F= [f1f2… fn]，F 是特征值对应的特征向量矩阵，即EOF 的空间函数。取前q 个EOF 系数，则声速剖面可以表示如下。

1.1 重构结果及误差分析

对获得的所有样本组成的声速剖面矩阵进行经验正交分解，可得出各阶EOF 函数和方差贡献率。图2 为分解得到的前五阶归一化EOF 函数。表1中第一阶EOF 重构声速剖面的方差贡献率为70.06%，前三阶EOF 的方差累计贡献率达到93.46%，前五阶可以达到97.45%。在南海北部海内波波动剧烈的条件下，前三阶累计贡献率也已经达到96%以上[21]，足够较好地重构声速剖面。因此，从EOF 重构声速剖面方差贡献率的角度考虑，本文使用前五阶足够反映声速剖面的主要特征。

图2 前五阶归一化EOF

表1 EOF 的方差贡献率及累计方差贡献率

仅仅使用前几阶拟合声速剖面和实际所测声速剖面必然存在误差，因此，为分析重构剖面的准确性，将重构的均方根误差定义如下。

式中，Czi为实测声速；Ci为拟合声速；M 为深度上的采样点个数。

式中，RMSEi为单个剖面均方根误差；N 为剖面个数。

图3 为重构声速剖面的均方根误差，清晰地显示了应用EOF 重构声速剖面的均方根误差均在2.50 m/s 以下，误差的最大值是2.19 m/s；在统计结果后，平均均方根误差为0.83 m/s，42%的重构均方根误差在平均均方根误差以下，即声速剖面的重构可以达到较好的精度。

图3 不同剖面序号重构效果的均方根误差

海水扰动主要是由内波、湍流等动力活动所引起的，对剖面有一定影响。如图4 所示，选取3 种特殊情况中的3 个具有代表性的剖面进行误差分析。当海水具有较大扰动时，海水向上运动的重构剖面的均方根误差为0.29 m/s，其余两个剖面误差略大于平均误差。选取的3 个剖面的均方根误差均接近平均均方根误差，表明了在海水有较小和较大扰动的情况下，EOF 重构声速剖面仍有较好的效果。

图4 振幅最小、振幅向下最大和振幅向上最大的实测剖面（红色线）与重构剖面（蓝色线）效果图

2 EOF 物理意义的分析

前二阶EOF 模态的累计方差贡献率是86.11%，其中第一阶模态占70.06%，在所有模态中所占权重最高，在重构声速剖面中起主导作用。从图5 可见，第一阶模态幅值最大值是在水深为69 m 处，在第一阶模态幅值最大值时，第二阶模态幅值为零，且第一阶模态只有1 个极值，符号都为正值，此时表明了水质子运动方向相同。最大振幅出现的位置，在海水跃层中代表着等声速线，且等声速线都往同一个方向振荡。第二阶模态有两个极值，且在第一阶模态幅值最大水深处附近改变符号，可以解释为等声速线在跃层上方和下方运动方向相反，代表了跃层内声速梯度的变化。

图5 第一、二阶模态归一化幅值

将归一化后的值A 定义如下。

式中，an为投影系数；amin为投影系数的最小值；amax为投影系数的最大值。

在忽略第二阶以上模态影响的情况下，第一阶投影系数可近似描述重构剖面中1 522 m/s 的等声速线。根据物态方程，盐度稳定时可认为声速和温度变化成正比，等声速线和等温度线近似一致。如图6 所示，将第一阶投影系数和等声速线的振幅进行归一化，可以注意到第一阶投影系数与一阶模态幅值最大深度等声速线的变化趋势相似，并且相关系数达到0.96，这说明了第一阶投影系数与该等声速线具有很强的相关性。第一阶投影系数与海水水层温度的变化趋势相近，因此还可以解释为，第一阶投影系数可以近似反映出海水水层的变化趋势。

图6 归一化第一阶投影系数及等声速线变化

第二阶模态具有两个极值，通过求解得到两个极值（39～95 m）的声速梯度，将第二阶投影系数和声速梯度的振幅进行归一化处理，如图7 所示。将声速梯度与第二阶投影系数进行对比，可以明显观察到两条曲线非常相似，变化规律基本一致。两条曲线相关系数高达0.99，具有十分强的相关性。因此，第二阶投影系数可以描述二阶模态两个极值间的声速梯度，从第二阶投影系数可以得到等声速线变化的方向和声速随深度变化的快慢。由于声速梯度影响声线折射的方向，在浅海中导致传播损失变大，影响水下探测，使得声呐系统探测距离变短。

图7 归一化第二阶投影系数及声速梯度变化

由图8 可以看到内波中声速随时间的变化及双振荡结构。如图8（a）所示，该时段出现了5 个显著连续的内孤立波，并且在出现内孤立波的情况下，该时段还产生了类似正余弦变化、符号相反的双振荡结构，如图8（b）所示。将相邻两个点的振幅除以采样时间得到投影系数的时间变化率，可以观察到双振荡结构的两条曲线分别对应着第一阶投影系数与第二阶投影系数的时间变化率，在内波活动下第一阶投影系数的时间变化率振荡峰均略高于第二阶投影系数，且随着时间变化，内波振幅深度减小，双振荡结构的振幅也随之减小。

图8 内波与双震荡图

海洋内波是由海水温差、盐差造成密度稳定分层现象产生的水下波浪，而内波通常发生在水体的内部，在海水表面难以观察。形成海洋内波需要两个条件，第一是稳定的密度分层，第二是扰动源。在海脊、大陆架边缘等特殊地形条件下，海洋密度跃层中内潮波之间的非线性相互作用会产生大振幅的内孤立波。由于黑潮入侵和季风影响海洋环境，南海北部是内孤立波活动的多发海域。内孤立波在传播过程中可以形成海水强烈的辐聚和突发性的波致流，严重威胁海洋工程活动与海洋石油工作。内波活动还会影响声速剖面，进而影响水下目标的探测与定位以及水声通信。

在海水深度较浅的情况下，温度是声速的主要影响因素，并且温度和密度相互影响。EOF 模态在不同深度上的幅值代表深度扰动的大小，在有理想流体媒质中有声扰动的条件下，物态方程可以描述声场中声速与密度的变化之间的关系。

式中，c0是声速；P 是压强；ρ 是密度，物态方程反映出海水受到声扰动的压缩特性。在理想流体媒质中，压强和密度的变化具有相同的方向。

密度扰动是引起内波的原因之一，假设海水为理想流体媒质，由于密度扰动层的密度分布是不稳定的，扰动层中的海水密度比周围的海水密度高，高密度海水必须向低密度海水混合，dρ ＜0，则dP＜0，海水膨胀。此时水体朝下方运动，跃层上方幅度大于下方。水体运动速度与一阶模态近似，对应等声速线向下运动，一阶投影系数随时间正向增大。跃层内梯度变大，对应二阶投影系数随时间负向增大。

在高低密度海水混合的过程中，一阶投影系数变化率向上增大到峰值则开始减小，二阶投影系数变化率则是向下增大到最大后开始减小，减小到某一时刻的变化率都为0 时，表明了海水混合的速率是由快到慢地恢复到一个密度平衡的状态。

由于惯性的作用，平衡密度会出现继续向下混合的现象。此时水体朝上运动，等声速线向上运动，对应一阶投影系数随时间负向増大。跃层内梯度变小，二阶投影系数随时间正向增大。

当海水停止混合时，海水密度已经低于平衡密度，周围高密度海水又开始向低密度海水混合，dρ＞0，则dP ＞0，海水压缩。与一阶模态对应的等声速线依旧向上运动，跃层内梯度继续变小。一阶投影系数变化率则向下增大到最大后开始减小，二阶投影系数变化率向上增大到峰值后开始减小，直至某一时刻变化率再次都为0 时，海水重新恢复到平衡密度，则开始新的周期，形成内波。基于上述分析，内波的双振荡实质为密度层扰动的一个周期。

3 结 论

从声速剖面的重构效果而言，使用EOF 方法对声速剖面进行分解和重构固然有效且重构精度较高。然而，作为一种数值方法，EOF 并没有实际的物理意义。本文应用EOF 方法对声速剖面进行重构，对第一、二阶投影系数的物理意义进行探讨和分析，得出EOF 系数扰动与海洋变化规律结果如下。

（1） 一阶EOF 模态与受温度影响的声速变化分布相关，第一阶投影系数变化趋势与等声速线高度相关，实验相关系数为0.96。

（2） 二阶EOF 模态主要控制二阶跃层梯度，可以使用第二阶投影系数描述二阶模态两个极值间深度的声速梯段。

（3） 内孤立波存在时，一、二阶EOF 模态具有相关性。在温度和密度的影响下，等声速线和梯度联合扰动的过程可以用前两阶随时间变化的投影系数表示成双振荡结构。因此可以通过双振荡结构作为内孤立波的识别特征，进行监测和预警。