基于水动力模型的城市洪涝过程数值理论概述

杨自东 任伍伍

摘 要：城市以及河流洪涝灾害频发使得人们愈加重视洪水流动的过程，以此应对极端暴雨情况下水流的演变与流动过程。基于此现象，本研究以水动力理论为基础总结与分析水动力理论在洪水流动过程与数值解析之间的关系。即如何精确地在大尺度范围内解析多尺度水深下的演进。通过水动力模型模拟原理来阐述洪涝过程中数值模拟的应对方法与水动力模型的局限与不足。

关键词：洪涝过程;水动力模型;圣维南原理

中图分类号：TU992   文献标志码：A     文章编号：1003-5168（2022）6-0090-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.06.021

Overview of Numerical Theory of Urban Flooding Process Based on

Hydrodynamic Model

YANG Zidong1    REN Wuwu2

（1.Gansu Province Minle County Water Bureau， Zhangye 734500，China; 2. Gansu Long Yi Intelligent Technology Co.， Zhangye 734000 ，China）

Abstract：The frequent occurrence of urban and watershed flooding has led to an increased focus on flood flow processes to cope with the evolution and flow of water under extreme rainfall conditions. Based on this phenomenon， this study summarizes and analyzes the relationship between the hydrodynamic theory in the flow process and numerical analysis of the flood process based on hydrodynamic theory. That is， how to accurately analyze the evolution under multi-scale water depth in a large scale. Through the principle of hydrodynamic model simulation to explain the response method of numerical simulation in the flood process and the limitations and shortcomings of hydrodynamic model.

Keywords： flooding process; hydrodynamic model; St. Venant's principle

0 引言

随着城市化的高速发展，未来城市中各种用地的建设面积将会以目前城市建设面积的若干倍不断进行拓展，预计在未来几十年后，全球城市建设及其相关用地面积将达到10 000 km2左右。在持续推动城镇化战略的背景下，未来一段时期内我国城市化率仍将有大幅度提高[1]。由于城市化步伐的逐步加快以及全球气候变化等诸多因素的影响，城市洪涝已成为最普遍、最严重的自然灾害之一。根据统计，我国有超过250个城市受到城市洪涝灾害的影响。洪涝灾害影响显著加剧，城市看海、河道溃坝等发生频率增高，已经成为一个不容忽视的灾害现象。洪涝灾害导致路面受损、交通堵塞、网络、水、电、气等生活体系瘫痪，严重妨碍了人们的生活、工作和学习，降低了人们生活的幸福感，也使居民出行成为问题。城市化的不断加剧使城市地表上可渗透雨水的绿地面积逐步减少，新的土地类型不可避免地会对原有的地表水输运方式产生较大的改变。其中以下几个方面与区域水循环密切相关：水域和绿色植被的减少、人工热源的增加、地表形态的改变等，导致城市地区水循环机制的显著变化，影响水循环过程的环节有降雨、蒸发、径流和渗透等，造成许多水文效应的改变。例如，水蒸发的速度加快，下渗区域减少，降雨强度和频率的增加，地表径流的增加，洪峰的增加，峰值出现时间的推进，使城市暴雨和发生洪水的风险在一定程度上相应增加[2-3]。

近年来，由于全球气候的不稳定影响了大气圈内的水循环，局部产生极端暴雨的频率明显增加，许多城市受雨岛效应的影响，局部极端暴雨逐渐增多。全球极端气候对暴雨的形成有着巨大的影响：气候的改变可能导致地区温度升高，加速区域水循环过程，增加降雨频率或提高降雨强度;气温回升导致大气蓄水量增加，雨水会汇聚在云层中。所以，一旦出现强降雨，降雨量就会显得更加强烈，容易引发城市洪涝灾害[4-7]。

1 目的与意义

在许多不利因素的影响下，近年来城市内涝灾害发生频率逐步增加，对城市生产生活的影响不断加深，导致其所造成的直接、间接损失也在逐年增加。洪涝灾害的预防和治理多依赖工程措施和非工程措施。其中，主要的非工程措施有：城市暴雨内涝预报预警、应急调度和灾害风险评估等，需要更加完善的模拟方法来提前分析洪涝过程，为及时和直接治理提供依据，其基础是城市暴雨洪涝过程的数值模拟。因此，建立城市洪涝模拟模型，对城市洪涝的水动力机理与模拟开展研究是十分必要的。

1.1 城市洪涝模拟研究的基本发展历程

美国环保局最初提出了暴雨洪水管理模型SWMM（Storm Water Management Model），通过该模型首次实现了下渗、地下管网流动、地表产汇流等城市区域基本水文水动力过程的融合，是城市综合水文模拟研究初步产生的重要标志[8]。继SWMM模型提出后的若干年，城市洪水模拟方面的算法得到蓬勃发展，主要是对其水文过程和水动力模拟方面的算法创新。例如，在径流下渗模拟中研究了霍顿法、Green-AMPT法、径流曲线法、入渗曲线法等计算方式。在地表产汇流计算方面，对单位线法、非线性水库法等水文方法和二维水动力数值模拟进行了应用和对比研究[9]。在管网模拟计算方面，对采用动力波、扩散波、运动波等多种一维控制方程进行离散求解的算法也已经有深入的研究和应用。随着排水管网研究的不断深入，许多学者在算法上也对一维明满流的模拟计算进行了完善。此外，城市地表的雨洪模拟也逐渐趋于完善，其中包括有限差分法、有限体积法、元胞自动机法、地形覆盖法等[10]。1986年第一代MIKE模型被DHI公司初步开发出来，并在此后的算法创新阶段将许多新算法、新技術与数据前后处理等集成到同一个仿真平台中，推动了城市水管理仿真技术的发展，使城市内涝建模更加方便、高效。

1.2 城市洪涝水动力模型研究进展

在大部分的城市水动力过程仿真研究中，单纯模拟有压管网或无压河道水流运动的一维水动力方程目前是十分成熟的，一般采用一维圣维南方程组或其简化形式通过有限差分法、有限体积法或特征线法进行求解。在城市地下排水管网中存在多种流态，有明流和满流以及可能出现的复杂过渡流等状态。一维水动力模拟研究的难点在于同时实现无压和有压管流相互转换的明满流模拟。明流和满流之间存在不同的流动特征，是一维水动力统一模拟的难点所在，同时这两种流动在模拟时偏重的力也不同，明流偏重重力，满流偏重压力。

在二维数值模拟上，其对控制方程的理论研究相对完备，难度较大的地方在于寻找一种稳定高效的数值离散算法以减小离散过程中的误差。近年来，非结构化、网格化解决的方法受到人们青睐，而结构性网格加有限差分配方法在复杂区域的贴合度存在一定不足。城市洪涝通过以水动力学方法为主的模拟算法，其重要特点在于不会对地表产汇流过程和排水管网、河道等流动过程的模拟采用分别计算，减小了由于简单流量叠加造成的误差。大部分模型计算对这两部分均采用一二维耦合的水动力模拟方法，还有一些采用完全三维的水动力学模拟方法，但是该方法建模复杂，计算量非常大，因此应用较少。此外，水动力学方法为主的模型模拟类型较少，控制方程具有非常高的限制，且与以水文学方法为主的模型有非常大的区别。水动力学方法主要求解一维圣维南方程组、二维浅水方程组或三维雷诺平均输移方程，因此重点主要是在于对特定水流流动过程的模拟、对偏微分方程组的高效稳定准确求解和一二维水动力过程计算时耦合方法的探索。

2 城市水动力过程模拟原理

圣维南方程是流体力学中三维N-S方程组的简化形式。由连续性方程和动量方程组成。圣维南方程建模时需要以下基本假设：①河道或者管网沿水流方向的坡度很小;②视水为不可压缩液体;③横断面沿水深方向的压力分布满足静水压力分布规律;④水流为一维流动，不考虑水流在其他方向上的交换，水面线沿断面宽度方向不变。

连续性微分方程式由质量守恒定律推出，如图1所示，选取上游断面1-1和下游断面2-2之间的水流作为控制体，ds为该控制体的流段长度。在t时刻，1-1断面流量记为Q，由于流量随位置变化，2-2断面流量为Q+（∂Q/∂s）ds。忽略在dt时段内的流量变化，两断面流量都选择t时刻的值。在dt时间内控制体流入水流的质量为ρQdt，流出控制体的质量为ρ（（∂Q/∂s）ds+Q）dt，故控制体内液体质量变化为式（1）。

[ρQdt−ρ（∂Q/∂s）dt+Qdt]  （1）

忽略dt时间内水位随流程变化，计算控制体体积均以上游1-1断面计算，t时刻控制体内水流质量为ρAds;t+dt时刻内为[ρ[（∂A/∂s）dt+A]ds]。

故控制体内水流质量增量为式（2）。

[ρ（∂Q/∂s）dt+Ads−ρAds]   （2）

根据式（1）和（2）联立可得式（3）。

[∂Q∕∂s+∂A∕∂t=0]    （3）

明渠非恒定流圣维南方程组中的能量方程，如图2所示，同样取断面1-1与2-2之间的水体为控制体，则该控制体内水流方向的动量为[ρAvΔx]，在经过[∆t]后，控制体内动量增量为式（4）。

[∆P=∂ρAvΔx∂tΔt=ρ∂Q∂tΔxΔt]  （4）

断面1-1流入动量为[ρQvΔt]，断面2-2流出的动量为式（5）。

[ρQvΔt+∂ρQvΔt∂xΔx]    （5）

则控制体的流入动量为式（6）。

[Pm=−∂∂（Qv）ΔxΔt]    （6）

设底面与水平面的夹角为[θ]，近似认为[sinθ≈θ=S0]，[S0]为河道底坡，考虑底坡摩阻力和控制体重力的影响，重力作用为式（7）。

[G=ρgAΔxS0]     （7）

摩擦阻力为式（8）。

[f=−ρgAΔxSf]     （8）

上下游断面压力为式（9）。

[ΔF=−ρAg∂ℎ∂xΔx]    （9）

其中，[Sf=n2QQA2R4/3]，[Sf]为摩阻坡度，[n]为糙率，[R]为水力半径。

运用动量守恒定律为式（10）。

[∆P=PM+G+f+∆FΔt]   （10）

将式（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）联立最后化简得式（11）。

[∂Q∂t+∂Qv∂x+ga∂ℎ∂x=gAS0?Sf] （11）

在式（2）至式（8）中包括当地加速度项、平移加速度项、压力项、摩擦力和重力项。方程（3）的s改为x后和方程（11）组成的方程组称为明渠非恒定流圣维南方程组。方程组的解称为圣维南方程组的全解，也称为动态波解。该方程用于河道和管网等一维水动力过程的模拟。

3 二维水动力过程模拟基本原理

3.1 二维浅水方程

由于城市暴雨、洪水引发的地表水流动，因为其水平方向的尺度大于垂直方向的尺度，一般可视为浅水运动。这样的运动，可以用二维浅水方程来描述，故只需要关注其运动量平均值，而不需要得到水深的分布。推导二维浅水方程的基础性假设是：①水流行动在纵向方向上的尺度远小于横向方向的尺度;②水流运动变量沿着水深方向呈纵向均匀分布，近似等于其平均值;③垂直方向的流体运动，满足静水压力分布的规律;④自由面满足压力梯度假设，底部坡度很小。基于上述基本假设，根据N-S方程可分别推导二维浅水方程的连续方程和动量方程。如式（12）（13）（14）。

[∂ℎ∂t+∂ℎu∂x+∂ℎv∂y=0]    （12）

[∂ℎu∂t+∂ℎuu∂x+∂ℎuv∂y=−gℎ∂ℎ+b∂x+]

[1ρτzxz=ℎ+b−τzxz=b+]

[1ρ2∂∂xℎvt∂u∂x+∂∂xℎvt∂u∂x+ℎvt∂u∂x]

（13）

[∂ℎv∂t+∂ℎuv∂x+∂ℎvv∂y=−gℎ∂ℎ+b∂y+]

[1ρτzyz=ℎ+b−τzyz=b+]

[1ρ2∂∂yℎvt∂u∂y+∂∂yℎvt∂u∂y+ℎvt∂u∂y]

（14）

3.2 二维城市雨洪模拟的局限性

当下，对于城市二维模拟水灾方式还有很大局限性，主体表现为以下几个方面。①在城市地下排水管网的模拟仿真方面往往采用一维计算，即使通过参数率定仍与实际出入较大，其中排水管道网实际运行时内部的流动过程、几何形态等，都非常复杂。在下大暴雨期间，管道排水过程中不是恒定的流动，而是随时间变化的流动模式。此外，城区的排水管网还没有一个定量的排雨水能力，而在空间方面，管网的布局对其能力影响较大。所以采取最大的设计排水能力来进行评估存在与实际不符的情况。②几乎没有考虑到地表形态对城市内涝的排水作用。由于降雨先在城市地表产生径流，地表的不同形态会对初期降雨汇集的径流产生很大的影响，不同地表对径流的作用也不相同，导致的问题是积水时间和地点的不确认性，因此在数值计算上存在一定困扰。③暴雨强度之下，只能反映地表积水的特点。当降水量较高的时候，可以看作是地表产生了径流、管网也有了较大量的水分和引流效果。所以，目前渠道的模拟计算采取概化方式，基本能够满足项目要求，但是也会有一些模拟结果与真实情况发现相同的空间分布不符。结合上述讨论可知，在城市内涝模拟过程中通过采用二维地表模拟和一维概化的方法考虑排水管网进行模拟仍存在较大的局限性，加之无法考虑地表形态对城市内涝的排水作用，导致在数值计算中存在许多问题。通常情况下，采用数值模拟对降雨强度较大的降雨模拟结果基本可靠，且参数率定较为稳定，而对降雨强度较小的降雨模拟结果仍不太理想，容易出现不准确。此外，由于地表形态对城市内涝的影响，整个模拟期内的积水过程与真实情况不符的状况也十分普遍。

4 结语

在全球降雨频率增大和城市化速度越来越快的大趋势下，城市洪涝灾害已成为城市中危害最严重、影响最广泛的自然灾害之一，严重影响城市生产生活和社会经济发展。本文主要对城市洪涝模拟研究的基本发展历程和城市洪涝水动力模型研究进展进行介绍，主要包括城市一维水动力模拟计算原理和城市二维水动力模拟原理，分别推导了一维和二维水动力以及二维水动力控制方程，论述了当前在城市洪涝模拟中的局限性。随着技术的发展，未来通过城市模型仿真进行的智慧城市或智慧水利将在城市内涝中发挥极大的作用，通过仿真和实时监控可以极大地减轻城市内涝造成的损失。

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