夯实力学基础 提升能量境界

陶汉斌

[摘 要]力与能量是贯穿整个高中物理的两条主线，力是基础，能量是境界，力与能量也是物理学中的两大物理观念。在高考物理选考复习的最后阶段，要非常专注物理的深度学习，理解物理的本源——力与能量。功是能量变化的量度，做功是一个过程，通过做功可以实现能量的转化，做功的过程体现了一个因果关系，体现了状态与过程的关系，即[W=ΔEk]。每个章节都有个性化的功与能量转化的一一对应关系，复习中应将这些功能关系形成一个有序的整体，以便知识的存与取，提高复习的效率。

[关键词]两条主线;基础;境界;力与能量

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章編号]    1674-6058（2022）05-0032-06

在高中阶段，从必修到选修的所有物理课程，都涉及力、运动和能量问题。从重力、弹力、摩擦力，到电场中的电场力和磁场中的安培力与洛伦兹力，再到原子物理中的核力，都是从受力分析开始的，力是基础。而功与能量的学习，也是循序渐进、螺旋上升的。如必修物理中的动能、机械能和摩擦生热的内能，电场中的电场力做功与电势能变化的关系，恒定电流中电流做功的本质是使电能转化为其他形式的能，磁场、电磁感应现象中的能量问题——安培力做功实现机械能与电能的相互转化，光学中的能量问题——爱因斯坦光电效应方程，原子物理中的能量问题——原子能级跃迁、核能。

高考选考物理一般有4个计算题，约40分，分值非常可观，这些试题均考查力与能量这两大观念。在高考物理选考复习的最后阶段，要紧紧围绕力与能量这两个基本点，构建力与能量的知识网络，专注物理的深度学习。从力与能量的角度理解物理的本源，把握物理知识的内在联系，将所学知识提升到更高的层次，从而提高分析与解决问题的能力，为解决力学、热学、电磁学等领域的问题提供快捷途径。

一、两条主线——力与能量

在解决高中物理问题时，学生必须先明确研究对象，并对其进行正确的受力分析，这是基础的基础。离开了受力分析，物理学习（或研究）将寸步难行。这是必修1的核心内容。有了力的基础，就可通过力的空间积累，通过做功实现能量的转化。这是必修2的核心内容。在此基础上，从重力场到电场，最后到磁场，让学生建立起场的物质概念，抽象分析各种场力做功的特点与相应能量变化的一一对应关系。

在学习高中物理的过程中，随处可以看到包含能量转化规律的物理现象，比如：

①力学中的功能问题——摩擦生热、机械能守恒定律、动能定理。

②热学中的能量问题——热力学第一定律。

③电场中的能量问题——电场力做功与电势能变化的关系。

④恒定电流中的能量问题——电流做功的本质是使电能转化为其他形式的能。

⑤磁场、电磁感应现象中的能量问题——安培力做功实现机械能与电能的相互转化。

⑥理想变压器中的能量问题——变压器的输入功率等于输出功率。

⑦光学中的能量问题——爱因斯坦光电效应方程。

⑧原子物理中的能量问题——原子能级跃迁、核能。

整个高中物理中，有两条主线。一条是力与运动的关系，另一条就是功与能的关系。各种形式的能可以相互转化，同一种形式的能可以相互转移。功是能量转化的量度，从能量角度分析思考问题是研究物理问题的一个重要而普遍的思路。

在高中物理学习中，以能量观点为线索构建物理知识结构，能更深入地把握物理知识的内在联系，将所学知识提升到更高的层次，从而提高分析与解决问题的能力，为解决力学、热学、电磁学等领域的问题提供快捷途径。学习要会由此及彼，要会纵横串联知识，要善于将关联的重要知识编织形成网络，便于知识在大脑中存取。如图1所示是“功”的联想知识网络图。联想是记忆的翅膀，联想意识强，记忆效率就高。

二、力与能量主线例说

（一）传送带中的力与能量

生活中的传送带问题是最经典的力学问题，涉及的摩擦生热问题一直是学生最为头痛的，还有为了维持传送带匀速运动电动机需多提供能量的问题，许多学生每做必错，弄得一些学生一看到传送带就害怕。教师有必要针对学生的学习难点，设置恰当的问题组，让学生通过受力分析和能量分析，找出共性，总结方法，从而克服恐惧心理。

[例1]水平传送带以速度[v=2 m/s]逆时针运转，两传动轮MN之间的距离为[L=12 m]，若在[M]轮的正上方，将一质量为[m=3 kg]的物体从传送带的左端以[v0=4 m/s]的速度向右冲上传送带，已知物体与传送带之间的动摩擦因数[μ=0.5]，[g=10 m/s2]。

（1）试分析物体的运动情况。

（2）传送带对物体的摩擦力做了多少功？

（3）摩擦力对传送带做了多少功？

（4）摩擦力对物体和传送带所做功的总和是多少？

（5）在这个过程中，摩擦生热是多少？

（6）为传送物体，电动机需额外做多少功？

解析：这道题设置六个问题，循序渐进地将力与能量的观点“植入”学生的脑中。在第一个问题中，通过受力分析可知，物体先向右以初速度[v0=4 m/s]匀减速到0，然后向左匀加速返回，到速度[v=2 m/s]，与传送带相对静止时，与传送带一起向左匀速运动。而在第二个问题中，研究对象是物体，应对物体应用动能定理。第三个问题中的研究对象是传送带，摩擦力对传送带做负功。而后面三个问题的研究对象是系统，摩擦力对物体和传送带所做功的总和是负值，其绝对值就是摩擦生热产生的内能。下面具体解析最后一个问题。

1.能量的观点——整体运用能的转化与守恒定律

利用能的转化与守恒定律从宏观上把握物体在运动过程中所消耗的能量，突出运用能量观点从整体上把握问题的思维方式。在物体运动的过程中有哪些能量发生了变化？一是物体增加的动能减小了;二是物体在与传送带相对运动的过程中产生了内能——“摩擦生热”。具体解答如下：

整个过程中对物体应用动能定理，其动能减小了[ΔEk]，有：

[ΔEk=12mv2-12mv02=-18 J]

在这个过程中，物体向右运动的时间为：

[t1=v0μg=0.8 s]

这个过程中传送带与物体摩擦产生的热量为：

[Q1=Ff·vt1+12v0t1=48 J]

物体向左运动到[v=2 m/s]的时间为：

[t2=vμg=0.4 s]

這个过程中传送带与物体摩擦产生的热量为：

[Q2=Ff·vt2-12vt2=6 J]

所有这些能量都是电动机提供的，为传送物体电动机需额外做的功为：

[W=ΔEk+Q1+Q2=36 J]

2.力的观点——以传送带为研究对象，从力的角度进行剖析

当物体放到传送带上后，物体与传送带之间增加了弹力与摩擦力。以传送带为研究对象，它额外增加了一个与速度[v]方向相反的摩擦力[Ff]，如图3所示。而传送带还是要保持匀速运动，电动机必须克服摩擦力[Ff]做功，这样就把电动机的能量成功输送出来了。具体解答如下：

以传送带为研究对象，传送带一直受到向右的摩擦力而做匀速运动，电动机克服摩擦力所做的功为：

[W=Ff·s=Ff·v（t1+t2）=36 J]

电动机需额外做36 J的功。

（二）电场中的力与能量

带电粒子在电场中运动的基调是“电场搭台，力学唱戏”。电场中力与运动、力与能量的关系是高考的热点，常考常新，精彩纷呈。复习时应从物理的本源出发，领悟物理学中的两大观念——力与能量。从力与能量两个视角观察物体运动的表象，提炼解题方法，活化物理知识，探究物理的本质。当然，电场的知识确实非常抽象，教学中曾借助检验电荷，从力与能的角度研究电场，从力的角度引入了电场强度[E]的概念，用来描述电场;利用电势[φ]与电势差[U]的关系，从做功与能量的角度描述电场。

[例2]在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以[O]为圆心，半径为[R]的圆，[AB]为圆的直径，如图4所示。质量为[m]，电荷量为[q（q>0）]的带电粒子在纸面内自[A]点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的[C]点以速率[v0]穿出电场，[AC]与[AB]的夹角[θ=60°]。运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小;

（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？

（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为[mv0]，该粒子进入电场时的速度应为多大？

解析：（1）粒子的初速度为零，由[C]点穿出电场，故电场方向与[AC]平行，由[A]指向[C]。由几何关系和电场强度的定义知：[AC=R]， [F=qE]，

由动能定理有：[F·AC=12mv20]，解得：[E=mv202qR] 。

（2）如图5所示，由几何关系知[AC⊥BC]，故电场中的等势线与[BC]平行。作与[BC]平行的直线与圆相切于[D]点，与[AC]的延长线交于[P]点，则自[D]点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知：

[∠PAD=30°]，[AP=32R]，[DP=32R]

设粒子以速度[v1]进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为[t1]。粒子在[AC]方向做加速度为[a]的匀加速运动，运动的距离等于[AP];在垂直于[AC]的方向上做匀速运动，运动的距离等于[DP]。由牛顿第二定律和运动学公式有：

[F=ma] [AP=12at21] [DP=v1t1]

解得：[v1=24v0]

（3）设粒子以速度[v]进入电场时，在电场中运动的时间为[t]。以[A]为原点，粒子进入电场的方向为[x]轴正方向，电场方向为[y]轴正方向建立直角坐标系。由运动学公式有：

[y=12at2] [x=vt]

粒子离开电场的位置在圆周上，有：

[x-32R2+y-12R2=R2]

粒子在电场中运动时，其[x]方向的动量不变，[y]方向的初始动量为零。设穿过电场前后动量变化量的大小为[mv0]的粒子，离开电场时其[y]方向的速度分量为[v2]，由题给条件及运动学公式有：

[mv2=mv0=mat] 解得[v=0]和[v=32v0]

此题中的第三问还有另外一种解法：由题意知，初速为0时，动量增量的大小为[mv0]，此即问题的一个解。自[A]点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿[y]方向位移相等时，所用时间都相同。因此，不同粒子运动到线段[CB]上时，动量变化都相同，自[B]点射出电场的粒子，其动量变化也为[mv0]，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率[v=32v0]。

点评：此题考查了带电粒子在电场中的运动问题，可运用运动的独立性和力的独立作用原理进行分析，第三问的解答运用了等效的思维方法。

（三）磁场中的力与能量

1.洛伦兹力实现能量的中转

从微观上看洛伦兹力的作用并不提供能量，而只是传递能量。可以说，洛伦兹力在能量传递中将起到一个“中转站”的作用。

[例3]在竖直平面内放置一长为[L]、内壁光滑的薄壁玻璃管，在玻璃管的[a]端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为[-q]、质量为[m]。玻璃管右边的空间有匀强磁场与匀强电场。匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度为[B];匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为[E=mgq]。如图6所示，场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远。玻璃管带着小球以水平速度[v0]垂直于左边界进入场中向右运动，由于水平外力[F]的作用，玻璃管进入场中速度保持不变，一段时间后小球从玻璃管[b]端滑出，运动过程中小球电荷量保持不变，不计空气阻力。

（1）求小球从玻璃管[b]端滑出时的速度大小;

（2）从玻璃管进入磁场至小球从[b]端滑出的过程中，外力[F]所做的功。

解析：（1）由[E=mgq] 可得[Eq=mg]，即重力与电场力平衡，根据运动的独立性原理，小球随管以水平速度[v0]向右运动产生向上的洛伦兹力[Fy=Bqv0]，小球竖直向上运动的加速度为：[a=Fym=Bqv0m] 。

设小球运动至[b]端时[y]方向速度分量为[vy]，则：[v2y=2aL]

所以小球运动至[b]端时速度大小为：

[v=2Bv0qLm+v20]

（2）小球在竖直方向的速度[vy]产生水平向左的洛伦兹力[Fx=Bqvy]，

因此小球向左挤压玻璃管，而玻璃管水平方向要保持匀速直线运动，由平衡条件可知，玻璃管必须加一个水平外力[F=Fx=Bqvy]。

而[vy=at=Bqv0mt] [L=12at2]

解得：[t=2mLBqv0]

解得外力随时间变化关系为：[F=B2q2v0mt]

水平方向位移為[x=v0t]，故有：[F=B2q2xm]

可见外力[F]是变力，而且大小随玻璃管位移的增大而均匀变化，则[F]所做的功为：

[W=Fx=120+B2q2v0m2mLBqv0·v02mLBqv0=BqLv0]

点评：本例中，向上的洛伦兹力[Fy=Bqv0]对小球做正功，向左的洛伦兹力[Fx=Bqvy]对小球做负功，总功还是零。在这个过程中正是因为小球受到了向左的洛伦兹力[Fx=Bqvy]才“迫使”有等大向右的外力[F=Fx]施加在玻璃管上，这样外力[F]做功将外界的能量成功地输入这个系统，从而增大了小球的动能。可见，洛伦兹力是有功劳的，洛伦兹力在能量传递中起到了“中转站”的作用，如果没有洛伦兹力的参与，就不能实现能量的转化。

2.动生电动势中的非静电力做功

在电磁感应现象中，当导体在外力作用下运动时，整个回路将产生感应电流，使导体棒的机械能向电能的转化，从宏观上看是克服安培力做功使其他形式能向电能转化。同样可以从微观的角度分析能量转化的具体过程。如图7所示，当金属导体棒处在垂直纸面向里的磁场中向右运动时，金属导体棒中产生自下而上的电流，在金属导体棒两端产生一个感应电场，感应电场力[F电]对运动电荷做负功，即运动电荷克服电场力做功，电能增加，外力提供的机械能转化为电能。每个电荷所受的电场力为：

[F电=f2=Bqv0]

导体内所有[N]个电荷克服电场力的总功率为：

[P电=NF电u=NBqv0u]

而[f1]的宏观表现就是安培力，导体棒克服安培力做功的功率为：[P安=F安v0=Nf1v0=NBquv0]

所以有：[P电=P安]

点评：从上面的解析可以看出，宏观上外力克服安培力做功时，微观上则是运动电荷克服电场力做功。外力克服洛伦兹力的一个分量[f1]所做的功通过另一个分量[f2]转化为感应电流的能量，实现了机械能向电能的转化。

3.电磁感应中的综合问题

电磁感应问题在高考物理中备受瞩目。学生解答相关问题时，需要在电路分析与受力分析方面下足功夫，才可以搭建起力与运动、功与能、冲量与动量的桥梁。要多角度思考，做到逻辑自洽、结论一致。

[例4]如图8所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距[L=1.0 m]，两导轨中间通过一间距可不计的绝缘隔层分开，左端接有电阻和电容器，阻值[R1=1.0 Ω]，电容[C=0.1 F]，右端接有阻值[R2=0.25 Ω]的电阻。一质量[m=0.1 kg]，阻值不计的金属棒[MN]放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度[B=1.0 T]。棒在水平向右的外力[F]作用下，由静止开始以[2 m/s2]的加速度向右运动。当棒运动[0.09 m]时到达绝缘层，同时撤去外力。假设导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直，且两端与导轨保持良好接触。求：

（1）棒在匀加速运动过程中，外力[F]随时间[t]变化的表达式;

（2）棒在匀加速运动过程中，通过导体棒的电荷量[q];

（3）已知撤去外力前、后整个装置中产生的焦耳热相等。电容器储存的电能[EC=12CU2]（[U]为电容器两极板的电压）。求外力做的功[WF] 。

解析：（1）棒由静止开始匀加速运动至绝缘层，

由 [x=12at2]得[t=0.3 s]，

由[v=at]得[v=0.6 m/s]，

画出图9所示的等效电路。

导体棒为电源，[E=BLv]，[I=IC+IR] ①

导体棒电阻不计，电容器充电电流为：

[IC=ΔqCΔt=CBLΔvΔt=CBLa] ②

流过电阻[R1]的电流为：[IR=ER1=BLvR1] ③

联立①②③得 [I=2t+0.2（A）（0≤t≤0.3 s）]  ④

对棒，由牛顿第二定律得：

[F-FA=ma] ⑤

又[FA=BLI]    ⑥

联立④⑤⑥得[F=2t+0.4（N）（0≤t≤0.3 s）]    ⑦

（2） 解法一：利用平均值直接求解。

由④式知导体棒中的电流[I]是随时间[t]线性变化的，可得平均电流为：

[I=0.2+0.82A=0.5 A] [q=It=0.15 C]

解法二：利用并联电路规律分析求解，由电量守恒可知：[q=qC+qR] ⑧

[qC=ICt=0.06 C]

[qR=IRt=BLvR1t=BLxR1=0.09 C]

也可以将数据代入③式得：[IR=2t（A）]

由电流平均值求得：

[qR=IRt=0+0.62×0.3 C=0.09 C]

最终可解得：[q=qC+qR=0.15 C]

解法三：利用动量定理求解。

设在加速过程中，力[F]对时间[t]的平均值为[F]，导体棒中电流的平均值为[I]。

对导体棒用动量定理得：[Ft-BLIt=mv-0]    ⑨

由⑦式知：[F=0.7 N]

又根据[q=It]代入能量守恒方程可得：

[q=0.15 C]

（3）求外力做的功[W]，可从力与能量的角度分析求解。

解法一：利用动能定理求解。

在棒加速阶段，有：[WF-Q1-EC=12mv2]      ⑩

解得：[EC=12C（BLv）2]

撤去[F]后，電容器中的电能转化为[R1]的焦耳热，导体棒的动能转化为[R2]的焦耳热。

[Q2=EC+12mv2]   且[Q1=Q2]

综合可得：[WF=0.072 J]

解法二：利用能的转化与守恒定律求解。

从能量转化来看，导体棒克服安培力做的功等于电路中的电能。一部分通过[R1]转化为焦耳热，一部分通过电容器储存起来。由①式得 [BLI=BLIC+BLIR]，将导体棒的安培力分解为两个力，它们做的功可以代数和相加。

克服[BLIC]做功转化成电容器中的电能[EC]：

[EC=BLICx=0.018 J]

克服[BLIR]做功在电阻[R1]中产生焦耳热[Q1]：

[Q1=00.3IR2R1dt=00.34t2dt=0.036 J]

代入⑩式可得：[WF=0.072 J]

解法三：利用功的本源定义求解。

导体棒由静止开始匀加速运动位移[x]所需时间为：[t=2xa=x]

功是力[F]在位移上的累积，结合⑦式得：

[WF=00.09Fdx=00.09（2x+0.4）dx=0.072 J]

从上面的求解可以看出，解法二与解法三是从能量转化与功的定义角度求解的，从结论上看是殊途同归的。在第（3）小题中，“若已知撤去外力前、后整个装置中产生的焦耳热相等。电容器储存的电能[EC=12CU2]（[U]为电容器两极板的电压）”其实是多余的，只是为了降低数学能力要求而提供的信息。可见如果撤去外力前、后整个装置中产生的焦耳热不相等，就会让题目不能自洽，这是命题时要注意的。

点评：习题讲评时，教师要展示解题最基本的操作环节，比如画轨迹图、受力图、等效电路图等，让思维的痕迹明显一点，更有利于思维的种子在学生的头脑中生根发芽。

三、运筹帷幄——复习策略

力是基础，能量是境界，抓住基础就抓住了高考，而追寻能量守恒是我们永恒的话题。从高一到高三的教学过程中，广大物理教师有责任使每一个学生掌握受力分析这把“金钥匙”，学会运用能量观去观察分析自然现象和社会现象，真正提高学生的科学素养。在常规训练中，要把能量的常规题做好，掌握受力分析和过程分析的基本方法，抓住物理情景中出现的状态、过程与系统，夯实基础，以不变应万变。同时注重以下两点：

（一）深思勤练——运用能量观点，提炼“过程模型”

有了能量观点，就为解决力学问题开辟了新的途径，同时也要求思维达到新的高度。对一个力学问题，可以用动力学观点，也可以用能量观点来分析求解，而能够自觉熟练地运用能量观点来分析，并提炼出相应的物理过程模型，则标志着思考问题达到了一种新的高度。其实，本板块问题中的过程用动力学观点分析应当属于“力的作用产生加速度，从而改变物体速度”这样的过程模型，用能量观点则可提炼成“力做功，引起能量转化”这样一个更抽象的过程模型。不少学生虽然能运用能量观点，但还谈不上自觉和熟练，为此需要强化练习以使他们真正掌握。

（二）注重方法——加强思维方法的训练

习题讲评时，教师要展示解题最基本的操作环节，比如画轨迹图、受力图、等效电路图等，让思维的痕迹明显一点，更有利于思维的种子在学生的头脑中生根发芽。因为能量问题的考查往往与其他物理概念规律结合起来，故以综合问题出现的概率很大，那么解决综合问题的关键是要正确分析物理过程，选择合适的物理方法和规律解题。综合题除考查高考要求的五种能力（理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力和实验能力）之外，往往还会考查空间想象能力，物理情境的抽象与建模能力，逆向思维与对称思维以及语言文字表达和数学表达能力等，力求思维的创新性和严密性。因此，必须加强思维能力的训练。可让学生通过做适量的习题，多思考，多研究，多整理，在做题的过程中掌握研究物理问题的基本方法。

（责任编辑 易志毅）