研习高考真题 实现融合教学

姜卫东

[摘  要] 2021年我国部分省份已进入全国卷数学高考，对于解析几何的复习与教学，拟通过对全国卷真题的命题背景及解法的研习，找准解析几何的复习定位，实施融合教学.

[关键词] 高考真题;解法及背景;融合教学

问题的提出：2021年我国部分省份已进入全国卷数学高考，解析几何问题如何考查？地方卷与全国卷的解析几何问题是否差别较大、没什么联系？解析几何教学是否需要重新建构？笔者拟通过对近三年全国卷解析几何问题的解法研讨及背景分析，探寻其中的答案.

[⇩] 2019年真题研习

2019年全国卷（新课标Ⅱ·理科数学）第21题：已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为-. 记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线;

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.

①证明：△PQG是直角三角形;

②求△PQG面积的最大值.

1. 解法探究

解法1：（1）利用直接法不难得到C的方程. 由题意得·=-，整理得曲线C的方程为+=1（x≠2），所以曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆.

（2）①利用设点法求解. 设P（x，y），则Q（-x，-y），E（x，0），联立直线QE的方程与椭圆的方程，利用韦达定理求得G点的坐标，然后再去证明PQ，PG的斜率之积为-1.

设P（x，y），则Q（-x，-y），E（x，0），G（x，y），所以直线QE的方程为y=（x-x），与+=1联立后消去y，得（2x+y）x2-2x0yx+xy-8x=0. 所以-xx=，所以x=，所以y=（x-x）=，由此可得k===. 把x+2y=4代入上式，得k==-，所以k·k=·

-=-1，所以PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形.

②利用S=PE·

x

+x，代入相关数据，即可将△PQG的面积表示为关于x，y的函数;然后通过变形，将它转变为x，y的齐次式;最后分子、分母同除以xy，并对+进行换元，从而利用“对勾函数”的性质可得最值.

由已知可得S=PE·（x+x）=y（x+x）=y

+x0

=yx·== ====. 令t=+，则S==. 由“对勾函数”f（t）=2t+在[2，+∞）的单调性可知，f（t）≥4+=（t=2时取等号），所以S≤（此时x=y=），故△PQG面积的最大值为.

解法2：（1）同解法1.

（2）①利用设线法求解. 可设直线PQ的方程，同时引入参数k（直线PQ的斜率），联立直线PQ的方程与椭圆的方程求得点P，Q的坐标，从而求出直线QE的方程. 又联立直线QE的方程与椭圆的方程，借助于韦达定理可求得点G的坐标，然后再去证明PQ，PG的斜率之积为-1.

设直线PQ的方程为y=kx，将它代入+=1，解得x=±. 记μ=，则P（μ，μk），Q（-μ，-μk），E（μ，0），故直线QG的斜率为=，其方程为y=（x-μ），将其代入椭圆方程得（2+k2）x2-2μk2x+μ2k2-8=0. 根据韦达定理可得x+x=，所以-μ+x=，所以x=，将其代入直线QG的方程，得G

，

.于是直线PG的斜率k==-，所以PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形.

②利用三角形的面积公式将△PQG的面积表示为关于k的函数，然后借助于换元求出所得函数的最大值.

由已知可得S△PQG=PQ·d=··=2μ2·

，将μ=代入上式，化简得S△PQG=（k>0）. 求S△PQG的最大值，可以利用求导的方法来完成，但此种方法较烦琐！如果对上述△PQG的面积表达式进行变形，然后再换元，就能便捷地解决问題，其解题过程如下：

S△PQG==，设k+=t（t≥2），可得S△PQG===. 又y=2t+在t≥2单调递增，所以2t+≥2×2+=，所以S△PQG≤=（当且仅当t=2时，“=”成立），故△PQG面积的最大值为.

2. 背景分析

本题第（2）问中①题的背景就是椭圆的中心弦定理：设椭圆的方程为+=1（a>b>0），AB是经过中心O的弦，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB与坐标轴不平行，可证k·k= -. 应用此定理，此问就能更迅捷地得以解决！

3. 真题关联

2011年江苏卷（数学）第18题：如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆+=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN，求k的值;

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d;

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.

分析：本题的第（3）问与上述2019年全国卷第（2）问的①题，无论是题目还是解法，几乎都一模一样，它们的背景正是椭圆的中心弦定理.

[⇩] 2020年真题研习

2020年全国卷（新课标Ⅰ·理科数学）第20题：已知A，B分别为椭圆E：+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，·=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点.

1. 解法探究

解法1：（1）如图2所示，求出·=a2-1=8，解出a=3，求出E的方程为+y2=1.

（2）设点P的坐标，得出直线PA，PB的方程，进而求出点C，D的坐标，最终得到直线CD的方程. 由直线方程来研究直线的性质，证明它过定点.

由（1）知A（-3，0），B（3，0），設P（6，m），则直线PA的方程是y=（x+3），联立

+y2=1，

y=（x+3），得（9+m2）x2+6m2x+9m2-81=0. 由韦达定理得-3x=，即x=，将其代入直线PA的方程得C

，

. 直线PB的方程是y=（x-3），联立

+y2=1，

y=（x-3），得（1+m2）x2-6m2x+9m2-9=0. 由韦达定理得3x=，即x=，将其代入直线PB的方程得D

，

. 则

①当x=x时，即=，m2=3时，此时x=x=，CD为直线x=.

②当x≠x时，直线CD的方程是y-=

x-

，整理得y=

x-

，直线CD过定点

，0

.

综合①②，直线CD过定点

，0

.

解法2：（1）同解法1;

（2）可以首先根据图形的对称性，判断直线CD必过x轴上一定点，然后采用先特殊后一般的解法求解.

同解法1可得C

，

，D

，

.

①当x=x，即=时，得m2=3，此时CD为直线x=，过定点E

，0

.

②当x≠x时，下证直线CD也过定点E，即证C，D，E三点共线. 因为k==，同理可得k=，所以C，D，E三点共线，即直线CD过定点E

，0

.

综合①②，直线CD过定点

，0

.

2. 背景分析

本题的背景实际上是极点与极线. 设直线CD与AB相交于点E（n，0），则点E关于椭圆+y2=1的极线方程为+0·y=1，所以x=. 又此极线必过点P，且点P的横坐标为6，所以=6，解得n=，所以直线CD必过定点

，0.

3. 真题关联

2010年江苏卷（数学）第18题：在平面直角坐标系xOy中，如图3所示，已知椭圆+=1的左、右顶点为A，B，右焦点为F. 设过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0.

（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹;

（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标;

（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.

分析：本题的第（3）问与上述2020年全国卷的第（2）问考查的都是定点问题，无论是题目的设置还是解法几乎如出一辙，更加关键的是这两问都是以极点与极线为背景而命制的.

[⇩] 2021年真题研习

2021年全国卷（理科数学·甲卷）第20题：抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M（2，0），且☉M与l相切.

（1）求C，☉M的方程;

（2）设A，A，A是C上的三个点，直线AA，AA均与☉M相切.判断直线AA与☉M的位置关系，并说明理由.

1. 解法探究

（1）由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程确定抛物线的方程，然后利用直线与圆的关系求得圆的方程. 即设抛物线C的方程为y2=2px（p>0），令x=1，则y=±. 根据抛物线的对称性，不妨设P（1，），Q（1，-）. 因为OP⊥OQ，故1+·（-）=0⇒p=，所以抛物线C的方程为y2=x. 因为☉M与l相切，故其半径为1，所以☉M：（x-2）2+y2=1.

（2）分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点的横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性证得直线与圆相切.

设A（x，y），A（x，y），A（x，y）. 当A，A，A中某一点为坐标原点时（假设A为坐标原点时），设直线AA的方程为kx-y=0，根据点M（2，0）到该直线的距离为1可得=1，解得k=±;联立直线AA的方程与抛物线的方程可得x=3，此时直线AA与☉M的位置关系为相切.

当A，A，A都不是坐标原点时，即x≠x≠x，直线AA的方程为x-（y+y）y+yy=0，此时有=1，即（y-1）y+2yy+3-y=0;同理，由对称性可得（y-1）y+2yy+3-y=0，所以y，y是方程（y-1）t2+2yt+3-y=0的两根. 依题意有，直线AA的方程为x-（y+y）y+yy=0. 令M到直线AA的距离为d，则有d2===1，此时直线AA与☉M的位置关系也为相切.

综上，直线AA与☉M相切.

2. 背景分析

对于本题的第（2）问，其本质是射影几何中同构思想的具体体现. 从形的角度来看，“直线AA与☉M相切”与“直线AA与☉M相切”是完全同构的，最后得出“直线AA与☉M相切”，也是同构的必然结果！从数的角度来看，根据直线AA，AA与☉M相切，得到（y-1）y+2yy+3-y=0与（y-1）y+2yy+3-y=0两个方程，这就是两个同构方程，从而利用韦达定理简化计算！

3. 真题关联

江苏省扬州市2015—2016学年度第一学期高三期中调研测试第19题：已知直线x-2y+2=0与圆C：x2+y2-4y+m=0相交，截得的弦长为.

（1）求圆C的方程;

（2）过原点O作圆C的两条切线，与抛物线y=x2相交于異于原点的两点M，N，证明：直线MN与圆C相切;

（3）若抛物线y=x2上任意三个不同的点P，Q，R，且满足直线PQ和PR都与圆O相切，判断直线QR与圆O的位置关系，并加以证明.

分析：本题的第（3）问与上述2021年高考题的第（2）问，无论是题目的呈现方式还是解答过程，几乎一模一样！实际上，上面的高考题及扬州市的模拟题，均改编于《新课标高中数学竞赛通用教材（高二分册）》（浙江大学出版社，2013年7月底第3版）上的一道训练题，原题如下：“已知圆O：x2+y2=1和二次函数曲线y=x2-2上三个不同的点P，Q，R，如果直线PQ和PR都与圆O相切，求证：直线QR也与圆O相切（见该书第73页第13题）.”

[⇩] 注重教学融合

毋庸置疑，地方卷与全国卷中的解析几何题存在着一定的区别：全国卷中对圆的要求有所降低;解答题中不仅以椭圆与圆为载体进行考查，也出现了更多以抛物线为载体的问题;全国卷中对轨迹与方程的考查要求有所提高. 但通过前面的分析，我们也发现，全国卷与地方卷的解析几何题也有众多的相似甚至相同之处：一是考查的内容，主要考查曲线与方程、离心率、长度、面积、定点、定值、最值等;二是考查的能力，地方卷及全国卷对学生的运算求解能力要求都较高，突出考查解析法在解题中的运用. 因此，在今后的教学中，我们不仅要了解地方卷与全国卷的区别所在，及时调整教学策略，更要清楚两者之间存在着密切的联系，注重在以下几方面进行教学融合：

（1）注重灵活选择算理和算法. 高考对运算求解能力的考查不仅在于学生的计算，更在于学生对算理和算法的选择，所以教师在课堂教学中，必须教会学生设计合理、简捷的算法，以减少运算量，避免陷入“死算”. 例如：涉及直线与圆锥曲线相交的问题时，通过消元，在得到关于x（或y）的方程后，这时为了减少运算量，往往不直接求出方程的根，而是巧妙运用韦达定理，设而不求、整体求解;又如：文章中的第一例，通过构造齐次式，再进行换元，以达到消参的目的.

（2）注重函数与方程、数形结合、不等式等思想方法的应用. 例如：求范围或最值时，要善于利用函数思想或基本不等式来解决;又如：在处理解析几何问题时，要将数与形紧密地结合起来. 实际上，对于某些问题，如果一味地用代数求解，有时会导致运算过于烦琐;相反，若能充分利用图形的几何性质和圆锥曲线的定义，往往会使运算量大大减少、解法更加优化.

（3）注重培育学生解题运算的非智力因素. 培养学生的运算求解能力，当然需要学生在课外加强演练. 但作为教师，在平时的课堂教学中，在传授知识与方法的同时，更应舍得花时间，注重培育学生解题的非智力因素，诸如细心、耐心、静心等，使学生在碰到较复杂的运算时，能冷静分析、精准计算.

（4）注重解题后的回顾与反思. 在每题的解题任务完成后，培养学生反思与回顾的习惯，可以让学生想一想：算理与算法的选择是否合理？能否优化运算过程？有无其他优解？长此以往，学生的运算求解能力必将得到进一步提高！