提升高中生数学抽象素养的途径

●黎方平，张丹

一、数学抽象

《普通高中数学课程标准（2017年版）》把数学学科核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）描述为“具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现”，“是高中数学学习中应培养的思维品质和关键能力”。因此，培养数学学科核心素养的关键在于提升数学思维品质。

数学思维品质是个体在数学思维过程中所具有的特征和特点，具有抽象性、严谨性、系统性、连贯性、灵活性、深刻性、批判性与创新性等特征。苏联教育学家巴班斯基经过实验研究，证实了中学生的学习与他们的思维品质密切相关。中学生数学思维品质的形成和发展，主要是在教师的启发和引导下，学生通过自己独立思考或与他人交流，逐渐养成的思维习惯和思想方法，是可以通过数学的学习活动提升的。数学源于对现实世界的抽象，数学的研究对象是从数量和数量关系、图形与图形关系中抽象得到的，其要求从事物的表面看到本质，从片面看到整体，然后提炼出稳定的、共同的特征。因此抽象性是数学思维品质最重要的特征。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养；数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象表现为获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系[1]。

（一）获得数学概念和规则

数学概念的形成过程一般会经历两种不同层次的抽象过程：一种是从数学外部的事物出发抽象出数学概念，如日常生活中的“线性”关系，得到“正比例”函数的概念；另一种是在数学内部，对已有的数学概念进一步抽象，如从正比例函数、反比例函数、一次函数等抽象出“函数”的概念。

（二）提出数学命题和模型

在提出数学命题和模型的过程中，数学抽象素养主要表现为：

（1）将实际问题“数学化”：用数学的语言对问题重新表述；

（2）理清命题的逻辑结构：条件和结论分别是什么？ 条件是否充分？ 结论是否完整？

（三）形成数学方法与思想

数学的思想方法（方程思想、函数思想、数形结合思想等）不仅是抽象的产物，其存在形式也是抽象的，数学思想方法的形成通常蕴含在数学概念、原理、命题的抽象过程及数学问题的解决过程中[2]。

（四）认识数学结构与体系

在高中阶段，关于数学结构和体系的抽象可以表现在以下几个方面：

（1）在高观点下对已学知识的系统梳理，如用函数思想梳理初中所学函数、方程、不等式；

（2）系统描述某个数学领域的知识体系，如向量的知识体系；

（3）利用核心概念串联相关的知识，统一处理表面上不同的问题[2]，如函数与数列。

二、培养数学抽象素养的途径

对于中学数学教师而言，如何培养高中生的数学抽象素养呢？ 下面以“函数”教学为例进行阐述。

（一）在问题情境的分析中积累抽象活动经验

在高中阶段的数学课程中，函数是非常重要的内容，课程标准把函数作为高中数学内容的四条主线之一。函数的概念是高中生接触到的第一个比较困难的概念，和初中的“变量说”相比，“集合—对应说”的函数定义更具有一般性，而函数概念的抽象过程对于学生而言是有难度的，也是不容易想到的，如何才能在学生的认知水平的基础上自然地获取概念呢？ 一种普遍的观点是，学习者必须能从许多事物、事件或情境中认识或抽象出它们的共同特征，以便进行概括。在此基础上，还要能够从正反两个方面对概念进行辨析。

“问题引导学习”是高中数学新版教科书的一大特点，教科书提供了丰富的问题情境，教学中关键是要对此进行恰当的分析引导。教师需通过创设切合学生实际的情境和问题，引导学生在解决问题的过程中理解数学的本质，实现从具体到抽象的过渡，通过提问的方式定向训练思维的抽象性。在函数概念的抽象过程中，可以通过以下“问题串”实现：

问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程s（单位：km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为s=350t。

（1）如果有人说:“根据对应关系s=350t，运行1h就前进了350km。”你认为这个说法正确吗？

（2）s 和t 之间是的对应关系是什么？ 在什么范围适用？ s 与t 的取值范围是什么？

（3）你能用集合语言来表述这种对应关系吗？

问题2 某公司要求工人每周工作至少1 天，至多不超过6 天，如果公司确定的工资标准是每人每天350 元，而且每周付一次工资。

（1）一个人一周的工资w 是他工作天数d 的函数吗？ 用d 怎样表示w？

（2）问题2 与问题1 是同一个函数吗？

问题3 给出北京市某天的空气质量指数I 的变化图。

（1）这天12：00 时空气指数I 的值是多少？

（2）你认为这里的I 是t 的函数吗？ 你能用集合语言来表述这种对应关系吗？

问题4 给出某地近10年恩格尔系数值的列表，你认为按此表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？

在分析案例、解决问题的过程中，引导学生抓住案例的本质特征，归纳4 个案例的共性并进行抽象概括：都包含两个非空数集（A，B），都有一个对应关系（式、图、表），都有相同的特征：对于数集A 中的任意一个实数x，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 与之对应。在此基础上给出高中阶段函数的定义，并结合4 个案例，理解定义中的符号f（x）的含义。

通过定向的提问和追问，将不可视的思维过程具体化，为从具体到抽象搭建了桥梁，积累了抽象活动经验。

（二）在概念建立的过程中培养抽象性思考的思维方式

在概念课的教学中，学生通过模仿学习，在以反映概念本质特征的情境中抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验，学会“用数学的眼光观察世界”“用数学的语言表达世界”。概念的形成过程是发展学生思维抽象性的重要途径。

概念教学一般经历如下过程：

（1）引入概念——从解决实际问题的需要或体系的发展过程引入概念；

（2）概括属性——提供丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，得到本质属性；

（3）明确概念——通过下定义给出准确的数学语言描述（文字、符号、图形）；

（4）辨析概念——以实例为载体分析关键词的含义（正反例）；

（5）应用概念——在具体问题中应用概念、形成操作方法；

（6）纳入概念系统——建立与相关概念的联系[3]。

其中阶段（2）（3）和（6）涉及概念的生成、内涵与外延，是发展学生数学抽象思维的重要环节。

仍然以函数概念的教学为例，前面对情境的分析和归纳，完成了前三个教学环节，但还不一定能很好地理解函数的概念。教学中还需要完成概念的辨析和应用，促进学生将所获得的函数概念纳入概念系统。

除了函数的概念，高中数学的以下概念课都值得认真研究：集合的概念、任意角与弧度制、平面向量的实际背景及基本概念、数列的概念、平面的公理化体系、随机事件、计数原理等。对于这些概念，一般都要从具体情境出发，经历分析、比较共同特征，进而概括其本质属性得到概念。经历概念的形成过程有效地发展了学生的数学抽象素养。

（三）在知识体系的建构中培养一般性思考问题的习惯

在函数概念教学过程中首先会遇到的问题是，学生在初中阶段已经学过函数的概念，即变量关系，高中阶段又要通过对应关系重新定义，这是为什么呢？有必要重新定义吗？如果在教学过程中不涉及这类本质性的问题，学生就会留下这样的认识：函数有两个定义，这两个定义是有区别的，都应该记忆。因此教学过程中阐述重新定义的必要性就显得尤为重要，它可以促进学生从“知其所以然”进步到“何由以知其所以然”。

课堂教学开始时，可以提出如下问题，以引发认知冲突，引出学习的必要性：

（1）正方形的周长与边长的关系l=4x 与正比例函数y=4x 相同吗？

在教学的小结环节，可以通过以下问题促进学生的进一步思考：

（1）在这节课中我们是如何获取函数概念的？

（2）与初中相比，函数的定义有什么不同，为什么需要重新定义？

（3）为什么定义中要求是“实数集到实数集”的对应？

（4）在获取了函数的概念之后，接下来我们应该研究什么内容？

在概念课的设计中，应该让学生在已有的认知基础上，感知高中数学的显著变化，体会：为什么要提出新的定义？为什么要这样来定义？改变定义中的关键词语行不行，为什么？ 通过这些问题启发思考，逐步培养学生一般性思考问题的习惯，引导学生理解数学的本质。

获取了函数的概念之后，接下来我们要研究的是函数的性质。函数的一般研究路径是：实际背景—函数概念—函数的图象和性质（性质和图象）—应用。教学中要注意同一主线内容的逻辑联系，以函数的概念为指导，把研究路径运用到研究基本初等函数中，比如在三角函数中，既注意借鉴指数函数、对数函数的研究经验，设计三角函数的研究路径，又注意引导学生关注三角函数的特殊性，充分利用周期性简化研究过程，使学生体验研究方法的多样性。

在教学中通过问题促使学生思考概念的本质，思考知识的上下位关系，培养“发现问题和提出问题”的能力，养成一般性思考问题的习惯，在认识数学知识的结构与体系的过程中进一步发展数学抽象素养。

（四）在小结复习的整合中提升抽象思维能力

在小结复习中，教师应注意采取措施改变学生知识碎片化、浅表化的现状，通过数学抽象使学生潜移默化地学会在孤立中看到联系，在分散中看到整体，从表面看到本质。比如，在函数主线中，随着知识的纵向发展，与函数概念密切相关的有以下概念：

图1 函数概念与其他概念的联系

函数是描述客观世界变量关系和规律的数学模型，相关概念的生成过程需要呈现丰富的现实背景：指数函数刻画的是呈现“指数增长” 的运动变化现象，三角函数则是刻画周期运动的数学模型，在定义一类函数时，都应该明确如下四个要点：

（1）这类函数的现实背景是什么？它刻画了哪类运动变化现象？

（2）决定这类运动变化现象的要素是什么？

（3）要素之间的相互关系如何？

（4）可以用怎样的数学模型来刻画？

数列的本质是定义在正整数集（子集）上的一类特殊的离散型函数，概率则可以看作是定义在样本空间（有限样本点）全体子集上的“集函数”。基于这样的认知，就可以沿用与函数相同的研究路径对其展开研究：现象—概念—性质—应用。

以一般观念指导下的问题为导向，可以更好获取和理解在函数结构体系下的相关概念。随着学习的深入，学生对于函数是“用抽象的符号表示数集之间对应关系”的理解会更加深刻，进而真正把握函数概念的本质。

（五）在科学合理的评价中发展数学抽象思维水平

课程标准指出，评价不仅要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程，关注数学学科核心素养的达成，帮助学生认识自我和增强自信。在函数概念的教学过程中，教师可以从以下几个方面关注学生的抽象思维水平：

（1）是否能够在特例的基础上归纳并形成简单的概念（命题）。

（2）是否能用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则。

例如：请列举生活中的函数。

（3）是否能够理解并准确使用数学语言描述所学对象，并能进行文字、图形、符号之间的转化。

例如：请说明符号f（x），f（x-1）的含义。

（4）是否能够提炼出解决一类问题的数学方法。

例如：我们是如何得到函数概念的？体现了怎样的思想方法？

根据学生的回答，利用生生、师生互评互议，进一步促使学生反思。教师有意识地通过可操作、可评价的手段和方式，促进学生自我提升抽象思维水平。

另外，如何通过试题检测学生思维的抽象水平？题目应该如何命制？是否难度越大的题目，对抽象素养的要求就更高呢？ 这一系列的问题值得进一步探讨。

抽象是学习数学最重要的思维，抽象使得数学成为“高度概括、表达准确、结论一般、有序多级”的系统[1]。抽象思维贯穿数学学习的整个过程，抽象思维有助于获取新概念、准确运用数学语言、形成数学结构体系。教学中，教师要充分利用概念教学这一载体，有意发展学生的抽象思维，促进学生思维品质的提升。