动力可靠度约束下基于概率测度变换一全局收敛移动渐近线法的结构优化设计

杨家树 陈建兵

摘要：基于动力可靠度的结构优化是实现随机动力系统优化设计的重要途径。针对设计变量为系统中部分随机变量分布均值的情形，提H{了一种基于动力可靠度的结构优化设计方法。在该方法中，通过概率密度演化理论实现了结构动力可靠度的高效分析。在此基础上，结合概率测度变换，可以在不增加任何确定性结构分析的前提下，实现动力可靠度对设计变量的灵敏度分析。进而，通过将上述概率密度演化一测度变换方法嵌入全局收敛移动渐近线法，实现了基于动力可靠度的结构优化设计问题的高效求解。数值算例的结果表明，所提方法可以显著降低结构分析次数，具有较高的效率与稳健性。

關键词：随机动力系统;可靠性优化设计;概率密度演化;概率测度变换;动力可靠度

中图分类号：TU318+.1;TU352.1

文献标志码：A

文章编号：10044523（2022）01-0072-10

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.008

引 言

随机因素广泛存在于真实的T程结构系统中[1]。只有定量地考虑随机因素的影响，才能得到合理或优化的结构设计方案[2-3]。经过数十年的发展，确定性的结构优化设计方法已经日臻成熟。为了进一步促进结构优化设计在实际T程设计中的应用，推动工程结构设计向更加合理化、白动化与智慧化发展，基于可靠度的结构优化设计已经成为国内外学者广泛关注的研究热点[4]。

近十余年来，学者们对此开展了卓有成效的研究，发展了一系列方法，包括序列近似规划方法[5-7]、序列优化与可靠性评估方法[8]和单循环方法[9]等。这些方法往往基于一次可靠度方法，因此难以处理极限状态函数非线性较强的可靠度优化问题，特别是非线性动力系统基于可靠度的结构优化问题。

对土木工程结构而言，地震等灾害性动力作用在设计中往往起到主导作用。因此，考虑动力作用下基于可靠度的结构优化设计十分必要。然而，到目前为止，基于动力可靠度的结构优化设计的研究远远滞后于基于静力可靠度的结构优化设计研究。一个重要原因是，与静力可靠度分析相比，动力可靠度分析的难度更高[10]。

近年来，在基于动力可靠度的结构优化设计领域，已提出了一些基于随机模拟方法，例如基于Markov链Monte Carlo模拟的方法[11-12]、线搜索方法[13]以及可行方向内点法[14]等。但受限于随机模拟方法巨大的工作量及其随机收敛性质，这些方法的效率和稳健性仍有待进一步提高。

概率密度演化理论（PDEM）的发展为结构动力可靠度的高效分析提供了一条途径[15-16]。最近，与概率测度变换（COM）的结合[17]则进一步为高效的灵敏度分析创造了条件。概率密度演化一测度变换（ PDEM-COM）方法的引入可以显著地提高结构动力可靠度及其灵敏度分析的效率[18]。本文进一步将概率密度演化一测度变换方法拓展到设计变量与部分随机变量耦合情况下具有动力可靠度约束的结构优化问题中。在此基础上，结合全局收敛的移动渐近线法（GCMMA），可实现上述结构优化问题的求解。算例分析表明，本文提出的方法具有较高的效率与良好的稳健性。

1 基于动力可靠度的结构优化问题

基于动力可靠度的结构优化问题可定义为如下考虑动力可靠度约束的优化问题[14]：

事实上，采用式（4）所示的对数形式的可靠度约束一方面可以避免失效概率较小带来的数值误差，另一方面也可以降低函数的非线性，便于构造高精度的近似形式[13]。因此，本文中的结构动力可靠度约束均按照式（4）定义。需要指出，为了便于工程应用，采用可靠性指标构造可靠度约束是另一种较为常见的方式[19]。

2 全局收敛移动渐近线法

尽管遗传算法和粒子群算法等启发式优化算法具有全局寻优能力，但是这类优化算法在寻优过程中一般需要大量的函数调用。对基于可靠度的结构优化设计问题而言，采用遗传算法或粒子群算法求解往往需要成百上千次的结构可靠度分析。因而采用遗传算法或粒子群算法求解实际工程结构的可靠性优化设计问题的计算工作量非常庞大。因此，一阶优化方法仍然是结构优化和基于可靠度的结构优化中常用的方法。

移动渐近线法（ MMA）[20]是结构优化中常用的一种序列近似规划方法。该方法将原始优化问题的目标函数和约束函数近似展开，得到一系列具有显式代数形式的子优化问题，而这些子优化问题的解组成的序列将收敛到原始优化问题的解。在此基础上，Svanberg从函数的保守凸可分近似（CCSA）思想出发，提出了具有全局收敛性的移动渐近线法（以下简称GCMMA）[21]。

在GCMMA中，将非线性函数F（z）（可以是优化问题（1）中的目标函数、标准约束函数或动力可靠度约束函数）近似表示为[21]：

通过在内层循环中调控参数p（k v）GCMMA要求子优化问题比式（1）所示的原始优化问题更加保守。因此，GCMMA的全局收敛性可以在理论上得到保证[21]。此外，由于GCMMA中的子优化问题均比原始优化问题更加保守，任何子优化问题的最优解都是原始问题的可行解。这意味着即使优化过程在收敛前终止，该方法仍然可以获得较初始解更优的可行解，这一性质对于复杂结构的优化设计是十分有利的[23]。此外，相较于Chen等[18]引使用的序列近似规划方法，GCMMA可以更充分地利用优化循环的中间信息以调控子优化问题的保守程度。因此，可以预期，GCMMA将具有更高的效率。

本文即采用GCMMA求解基于动力可靠度的结构优化问题，其中的子优化问题均采用原一对偶内点算法[22]进行求解。

由式（5）～（8）可知，在GCMMA中，动力可靠度约束函数的近似展开需要结构首次超越破坏可靠度或失效概率关于设计变量的灵敏度信息。下文将引入概率密度演化一测度变换方法（ PDEM-COM）以提高结构首次超越破坏可靠度及其灵敏度分析的计算效率。

3 基于概率密度演化一测度变换的

结构动力可靠度及其灵敏度分析

3.1 概率密度演化理论

不失一般性，考虑随机动力系统：

通过求解式（12），可以获得联合概率密度函数pZo（z，θ，t;x），进而由数值积分，可得到物理量Z的概率密度函数pz（z，t x）。

除对少数简单系统可得到解析解外[25]，上述广义概率密度演化方程一般需要通过数值方式进行求解。该求解过程一般涉及概率空间剖分与代表点集选取、每一代表点处的确定性结构反应分析、每一代表点处广义概率密度演化方程的求解以及数值积分等步骤，其具体数值求解细节可参考相关文献[16]，[26-27]，此外，概率密度演化理论对极限状态函数的形式没有额外限制，因此适用于复杂结构系统的随机反应和动力可靠度分析[28]。

3.2 结构动力可靠度及其灵敏度分析

基于概率密度演化理论的首次超越破坏可靠度分析可以通过吸收边界条件[16.29]、等价极值分布[16.30]和物理综合法[31]等途径实现。本文所采用的是基于等价极值分布的结构首次超越破坏可靠度分析方法。

式（3）所示的首次超越破坏可靠度可以等价地表示为：

相应的结构失效概率为PFl（x，T）=1Rl（x，T）。以上过程的具体数值求解步骤可见文献[16，26，30]。

如前所述，复杂结构的首次超越破坏可靠度分析一般需要通过广义概率密度演化方程的数值求解来实现。因此，首次超越破坏可靠度或失效概率对设计变量的灵敏度难以通过解析方式获得。一种可行的途径是采用有限差分方法（FDM）估计结构失效概率对设计变量的灵敏度。例如，采用中心差分可得：

值得注意的是，上述过程要求设计变量是随机变量的均值，但对随机变量并无限制或要求。换句话说，基于概率密度演化一测度变换的灵敏度分析过程中允许存在不依赖于设计变量的随机变量。此外，灵敏度分析过程采用了与可靠度分析相同的代表点，仅需进行赋得概率的更新，无需重新进行确定性结构分析，这使得与灵敏度分析相关的计算量大大降低。因此，本文提出的方法特别适用于结构分析计算成本较高的复杂结构基于动力可靠度的优化设计。

在上述可靠度与灵敏度分析过程中，概率测度变换仅仅在一个优化循环内使用。经验表明，在优化迭代的后期，设计变量和目标函数的变化一般较小。为了进一步提高计算效率，可以引入循环间的概率测度变换以实现首次超越破坏可靠度和灵敏度分析。在本文中，若当前优化循环中每个设计变量的变化均小于当前值的10%，则下一循环中的结构失效概率PFl（x（k+1）T）及其灵敏度也都根据当前循环中的代表点及其确定性分析结果由概率测度变换计算得到。

4 数值算例

4.1 两层弹性框架结构优化设计

为了验证本文方法的有效性，首先考察图1所示的两层弹性框架结构在地震动作用下基于可靠度的优化设计问题。

假定框架结构层间抗侧刚度K1和K2为服从正态分布的随机变量，以其均值x1和x2为设计变量。结构层集中质量分别为m1= 1.80×10 5 kg和m2=1.20×10 5 kg，层高为h=3.6 m，模态阻尼比为ξ=0.03。结构承受的地震加速度为El Centro地震动南北方向加速度记录与东西方向加速度记录的归一

当框架结构中任意一层的层间最大位移超过层高的1/250时，认为结构失效。因此结构的失效概率可定义为：式中 T为地震动持时，Zr为结构第r层层间位移反应。以最小化结构总刚度作为优化目标，同时，根据T程经验，要求结构底层刚度不小于上层刚度以避免不利受力状态。由此，优化问题可以定义为：

在本例中，给定失效概率阈值pFh=0.01。这里，采用0.01作为失效概率阈值仅仅是为了说明方法的有效性。对于实际问题，可按照相关规范的规定确定目标失效概率或目标可靠性指标。

以xAl=（1.00，1.00）为初始点，采用不同的可靠度和灵敏度分析方法结合GCMMA对优化问题（24）进行求解，最终的优化结果和计算成本对比如表2所示。PDEM-COM-FDM即本文所提出的方法，采用概率密度演化一测度变换方法与有限差分计算结构的动力可靠度及其灵敏度。PDEM-FDM表示采用概率密度演化理论计算结构动力可靠度并采用有限差分直接估计其灵敏度的方法。在本例中，以上两种方法中采用的代表点数量为500。MCS-FDM-1 和MCS-FDM-2均表示采用Monte Carlo模拟方法计算结构动力可靠度并以有限差分估计其灵敏度的方法。所不同的是，MCS-FDM-I中采用的随机样本数量为10000，而MCS-FDM-2中采用的随机样本数量为20000。

由于MCS-FDM-1中單次Monte Carlo模拟采用的样本数量不足，得到的灵敏度误差较大，甚至可能发生灵敏度符号错误的情况，在本算例中算法未能达到收敛。从表中对比可见，本文提出的方法可以显著降低优化过程中确定性结构分析的次数，进而提高基于动力可靠度的结构优化设计问题的求解效率。

分别以xAl=（1.00，1.00），xB1=（1.20，1.00）和xc1=（1.00，0.80）作为初始点，采用本文所提出的方法对式（24）所示优化问题进行求解，目标函数和结构失效概率的迭代过程分别如图2和3所示。从中可见，三种情况下本文所提出的方法都可以在少数几次迭代后达到收敛，且采用不同初始点所获得的最终目标函数值十分接近。因此，本文提出的方法不仅具有较高的效率，而且对初始设计的选择具有较强的稳健性。

从图3可以发现，本文方法得到的所有中间设计点对应的失效概率均小于给定的阈值0.01（可靠度0.99），这意味着所有的中间设计均为可行设计。前文已指出，这一性质对复杂结构的优化设计具有重要意义。此外，采用不同初始点所获得的最终设计对应的结构动力可靠度约束均处于有效状态。这表明，若在优化过程中不施加合理的可靠度要求，则可能导致优化设计得到的结构的可靠度水平较低。进一步地，若将式（24）的优化问题中的可靠性约束直接替换为最大层间位移约束，同时所有随机变量均取其均值，则优化算法给出的最终设计为xD=（ 0.515，0.304），相应的结构失效概率高达61.3%。可见，若在结构优化设计中合理地设定可靠性约束，可以在一定程度上提高优化后的结构抵抗参数扰动和不确定性的能力。

为了进一步说明本文所提方法的效率与精度，采用遗传算法（GA）对上述优化结果进行校核。这里，遗传算法的种群规模为50，最大进化代数为100，结构可靠性分析采用概率密度演化理论，代表点数量为500。表3为本文方法与遗传算法得到的最终设计的对比。可以发现，当采用不同初始点时，本文方法得到的最终设计量和最终目标函数值与遗传算法的结果均十分接近。然而，遗传算法需要的结构分析次数以及总计算时间都要远高于本文所提出的方法。

4.2 带阻尼器的10层框架结构优化设计

采用本文所提出的方法求解图4所示的10层框架结构在地震动作用下基于动力可靠度的优化设计问题。为计算分析方便，忽略梁柱构件的轴向变形，将结构简化为具有10个白由度的层间剪切模型。结构底层层高为4.0 m，其余层高均为3.6 m，模态阻尼比为ξ=0.05。结构层集中质量分别为m1=m2=3.4×10 5kg， m3=m4=m5=3.2×10 5 kg，m6=m7=m8=2.8×10 5 kg和m9=m10=2.6×10 5 kg。假定框架结构层间抗侧刚度Ki，i=1，2，…，10为服从正态分布的随机变量，以其均值xi，i=1，2，…，10为设计变量。

该结构承受与上例相同的地震动输入，即所输入地震动加速度时程由式（22）表示。为了降低地震动作用下的结构反应，分别在结构第一层和第五层安装摩擦型耗能构件，其恢复力为：为了考虑耗能构件力学性能的随机性，假定结构第一层和第五层所布置的耗能构件初始刚度Kn和KI2为随机变量。该优化问题中所涉及的随机变量的分布类型和参数如表4所示。

耗能构件的典型恢复力曲线如图5所示，可见耗能构件已表现出很强的非线性与耗能性质，从而实现减震效果。

一般情况下，可认为结构成本与结构总刚度成正比[35]。因此，优化目标可取为最小化结构总刚度。当任一层间位移超过0.015 m时即认为结构失效。同时，要求较高楼层的刚度总不小于较低楼层的刚度，并给定层间刚度的上限与下限，则优化问题可以表示为：式中 T为地震动持时，Zr为结构第r层层间位移反应。如前所述，对于实际问题，目标失效概率或目标可靠性指标可按照规范的相关规定确定。

在本例中，共有14个随机变量，其中10个随机变量的均值为设计变量。

分别以表5中的xA2，xB2和xC2作为初始点，采用本文所提出的方法求解式（28）所示的优化问题。在本例中，概率密度演化一测度变换分析中采用的代表点数量为600。目标函数值随优化迭代次数的变化情况如图6所示。可以看到，本文所提出的方法经过7次左右的迭代可达到收敛。值得注意的是，目标函数的下降主要发生在优化过程的前几次迭代中。这意味着即使很少的优化迭代步也将显著改善结构的性能。

表6为采用不同初始点获得的最优目标函数值以及优化过程中进行的结构分析次数。由于动力可靠度分析以及灵敏度分析过程中存在数值误差，不同初始点对应的最优目标函数值略有不同。虽然如此，最优目标函数值的相对差别仅为2.5%左右，完全在工程上可接受的范围内。这说明，本文所提出的方法对初始设计的选择具有较高的鲁棒性。

若采用MCS-FDM-2进行可靠度分析和灵敏度分析，式（28）所示优化问题的求解过程中涉及的结构分析次数将超过1000000次（估计值），而本文所提出的方法所需结构分析次数仅有MCS-FDM-2的不足1%。可见，本文提出的方法可以极大地降低结构优化过程中的结构分析次数，从而显著提高基于可靠度的结构优化问题的求解效率。

5 讨论和结论

针对设计变量与部分随机变量耦合情况下具有动力可靠度约束的结构优化设计问题，结合概率密度演化一测度变换（ PDEM-COM）方法与全局收敛渐近线法（GCMMA），提出了一类新的求解框架。数值算例表明，本文所提出的方法具有较高的效率。具体结论如下：

（1）当设计变量为系统中部分随机变量的均值时，概率密度演化一测度变换方法可以重复利用代表点处的结构分析结果，从而在不引入新的结构分析的前提下，实现首次超越破坏可靠度对设计变量的灵敏度估计。因此，本方法可以显著提高基于动力可靠度的结构优化设计问题的求解效率。

（2）算例的结果表明，本文提出的方法可以在少数几次迭代后达到收敛。可以预期，在本文所考虑的设计变量的数量范围内，算法可以在10次迭代內达到收敛，相应的可靠性分析次数不超过20次。此外，CJCMMA通过内层循环对中间设计点的可行性进行调整，从而保证了本方法得到的中间设计均为较初始设计更好的可行设计。

（3）由于概率密度演化理论适用于线性与非线性结构的随机反应分析，本文提出的方法可用于地震动作用下线性和非线性结构基于可靠度的优化设计。

鉴于本文方法仅适用于设计变量与所有随机变量或部分随机变量耦合的动力可靠性优化设计，如何将上述概率密度演化一测度变换方法扩展到设计变量含有确定性物理量的可靠性优化设计之中，是需要进一步开展的研究工作。此外，在未来的工作中，有望将本文基本思想推广到具有动力可靠度约束的结构拓扑优化设计之中。

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