利用镜像法求解劈形导体边界的讨论

吴轲娜，周国华，马文帅，刘月林

( 海军工程大学 电气工程学院，湖北中 武汉 430033)

在典型化的点电荷边值问题中, 当点电荷附近存在导体或介质时, 由于点电荷电场的激励，在导体或介质界面上将呈现感应电荷或束缚电荷分布, 因而场域中的电场是它们的合成电场.但是, 界面上的感应电荷或束缚电荷分布是待定的未知量, 无法应用叠加原理求该合成电场. 然而, 当界面形状比较规则(如平面、球面等)时, 对于前述场的求解, 可以采用镜像法[1-3].镜像法求解的关键在于基于静电问题的唯一性定理, 确定镜像电荷的量值和位置.当界面形状非单一的平面或球面等时, 如劈形边界, 镜像法仍然可以使用, 但存在附加条件.本文将要讨论的是:由无限大导电平面形成的劈形边界, 为什么仅当其夹角α=π/n(n=2,3,4,…) (即为π的整数分之一)时, 才能用镜像法求解.

1 点电荷与无限大接地导电平面系统的电场

点电荷q位于距无限大接地导电平面上方h处，其周围介质介电常量为ε，如图1中(a)所示.显然，由于点电荷激发的静电场的作用，接地导板表面会产生感应电荷，介质中的电场就是由点电荷与导板表面感应电荷共同产生的合成电场.虽然感应电荷分布未知，但可在边值问题不变的原则下，应用镜像法进行求解.考虑感应电荷在上半空间的电场，可在下半空间引入镜像电荷q′[假设在(0,0,-z]处)，如图1中(b)所示.镜像电荷的引入替代了导体表面上实际的感应电荷分布，将分片均匀的场域空间看成是均匀的，根据唯一性定理，只要引入的镜像电荷与场域内的实际电荷一起所产生的电场能满足给定的边界条件，这个解就是正确的.因此待求介质场域D中的电势φ可由点电荷q及其镜像电荷q′产生的电场相叠加得到.

图1 点电荷与无限大接地导电平面的电场

2 点电荷与劈形边界导电系统的电场

对于由半无限大导电平面形成的劈形边界，点电荷激发的电场可由镜像法求解.但仅当夹角α=π/n(n=2,3,4，…) ，即为π的整数分之一时，才可确定出对应的镜像电荷的个数(2n-1)和位置.例如，当劈行边界夹角α=π/4时，依据微分方程和边界条件不变的原则，可确定镜像电荷个数为7，位置如图2所示.此时区域D中的边值问题保持不变，可实现镜像电荷与劈形边界上感应电荷(未知分布)的等效替代.

图2 α=π/4导电劈的镜像法

为什么仅当满足条件α=π/n(n=2,3,4，…)时, 才能引入镜像电荷, 保证劈形边界电势φ|s=0, 这也是教学过程中学生疑问的焦点, 现就该问题简要证明如下.如图3所示, 点电荷q(1)位于场域D的任意一点P, ∠AOB=α,OP与OA边界夹角为α1,OP与OB边界夹角为α2, 且α1+α2=α.应用镜像法的理论依据是微分方程与边界条件不变.先看OA半无限长边界, 满足φ|OA=0, 所以自然引入镜像电荷q(2),q(2)与q(1)关于OA边界对称, 且量值满足q(2)=-q(1).依据点电荷与无限大接地导电平面系统的分析, 可证明φ|OA=0.

图3 任意角度导电劈的镜像法示意图

引入q(2)后, 为保证φ|OB=0, 同里引入镜像电荷q(3)～q(4), 且q(3)=-q(1),q(4)=-q(2)=q(1).不难发现q(3)～q(4)的引入势必为破坏OA的电势情况, 为保证φ|OA=0, 再次引入镜像电荷q(5)～q(6), 且q(5)=-q(3)=q(1),q(6)=-q(4)=-q(1).不难发现, 新的q(5)～q(6)的引入又再次破坏了OB边界的电势情况, 利用以上思想循环引入, 循环破坏，貌似这是一个无限循环.但如果新的引入不破坏另一边界电势, 循环即终止, 即可保证边界条件不变.另一方面, 分析镜像电荷的引入过程, 我们不难发现每次引入都是一对电荷(等量异号电荷).如果引入的一对电荷在几何关系上关于另一边界对称, 即可满足要求.由图4分析知, 电荷q(1),q(2), ～q(n)距离O点的距离相等.故可将点电荷q(1)及q(3)为一对, 重新引入镜像电荷, 结果依然如图4所示.此时，每对电荷q(1)～q(3),q(2)～q(5)等所对应的圆心角相等, 均为2α2.

图4 镜像电荷圆周示意图

假设共引入2n-1个镜像电荷, 即共有n对等量异号电荷后, 恰好满足第n对电荷的引入关于另一边界几何对称, 此时满足

n(2α1+2α2)=2π

(1)

即

n(α1+α2)=π

(2)

所以

(3)

根据上面的讨论可知, 利用镜像法求解半无限大导电平面形成的劈形边界问题时, 劈形边界夹角应满足π的整数分之一.

3 总结

结合上述分析，不难理解镜像法的实质是以一个或多个位于求解场域外虚设的镜像电荷替代实际边界上复杂的位置电荷分布, 进而将有边界的分区的非均匀介质空间转化为无限大均匀介质空间.镜像法求解的理论基础是唯一性定理, 镜像电荷的引入必须保持原问题边界条件不变, 因此也便存在有效求解域的问题.无论是无限大导电平面、导电劈形面、甚至球面等交界面的静电场问题, 只有抓住边值问题不变这一原则, 才能正确确定镜像电荷的量值和位置.