例谈数学变式在高三习题课中的作用例谈数学变式在高三习题课中的作用

◎李 俊

(江苏省丹阳市珥陵高级中学,江苏 镇江 212300)

在高三习题课中，部分教师常常将多做题当作法宝，一味地搞题海战术.笔者在平时的听课中做了一个粗略的统计，大部分教师一节数学课准备的题目都在十五道以上，特别是习题课，更加是题目的“海洋”.听完课后，笔者在与学生的交流中发现，学生对于课堂上“海量”题目的讲解有很多困惑：上一题还没有理解透彻，老师又开始讲下一题了；老师讲的都懂，但自己再遇到相似问题还是不会……教师经常反映的是：这道题目上课的时候已经讲过两遍了，但再遇到，学生还是会错，问题究竟出在哪里？是不是每节习题课都需要准备很多题目，讲很多例题？笔者觉得这一点值得商榷,并认为如果在习题课上将变式题用得好的话，可以以一当十，事半功倍.

顾明远在其主编的《教育大辞典》中对“教学变式”进行了详细的解释：“教学变式——在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征，以突出事物的本质特征，目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念．”

在数学课堂教学中，特别是在高三习题课中，为了提高学生的学科核心素养，形成“理性思维、科学精神”“促进个人智力发展”，教师需要改变以往“老师讲解多，学生思考少”“一问一答多，师生交流少”“机械记忆多，具体操作少”等现象，和学生一起对数学问题进行多角度、多方位、多层次的讨论和思考.而这里的“多角度、多方位、多层次”都可以通过适当的数学变式达成.精彩的数学变式不仅能使学生看到事物的表象，更能让他们自觉地探索事物的本质，使他们明白即便是高考中的复杂问题，也是由简单问题转变而来的，消除学生的思维定式和学习数学的畏难情绪，同时提高学生的数学研究和创新能力，极大提高学生参与课堂的积极性，改变高三习题课“教师一言堂”的不良现象，使学生真正成为课堂教学的主体.

在教学“三角专题复习”第一课时的时候，笔者是这样设计的.

首先，和学生一起回忆三角函数的基本公式，然后一同总结以往解三角题的过程中所要注意的问题：牢记公式，活用公式，注重技巧，黑板上的板书也要尽量精简.

其次，开始讲解例题.为了熟练记忆公式，笔者从几个角的变换的题目入手，通过一些恒等变形的问题让学生熟悉公式，最后通过几个综合题提高学生的综合应用能力.本来这几个部分至少需要十道左右例题，在审阅题目的时候，笔者发现这些例题虽然各不相同，但使用的方法是有迹可循、层层递进的，故灵机一动，何不把一道题目进行几种变形，但同样使用例题考查的几种方法呢？这样既可以大幅度提高课堂的效率，又可以激发学生的求知欲，使他们对知识的印象更加深刻.

课堂片段摘录如下.

此题为基础题，主要考查了学生对两角和的余弦公式和二倍角公式的运用，可以让学生熟悉基本公式的运用.

这道题给出的已知角比较简单，但如果给出的角不是简单角，学生是否会进行相应的变形和运算呢？于是笔者对例题进行了如下变形.

与上一题相比较，本题是将原来的一个要求的结论当作条件，另外一个结论当作所求.

课堂实录如下.

这样就变成了和上题一样的已知，充分体现了化归的思想.

教师适时表扬，给予学生充分肯定,同时及时小结：要求角，重点要观察所求角与已知角之间的关系.

同时教师又抛出了一个问题：能不能进一步优化解题步骤呢?

学生在短暂讨论后有了思路.

通过变式1，学生掌握了角的简单变换，同时学生丁提出的方法——整体代换法非常好，一方面方便计算，另一方面为后面的变式提供了解题方向.

于是笔者又提出了变式2.

与变式1比，变式2的已知未变，但所要求的结论变了，所求的角变得更加复杂.

此时学生丁又有了想法.

通过变式1和2，学生对角的变换和整体代换两种常见的解决三角函数值的方法已经基本掌握.

下面可以从知识点的交汇处进行变形和变式.历年的高考中，三角和向量联系得比较紧密，所以笔者又编制了三道与向量相结合的题目.

这三道题都考查了角的变换，其本质就是变式1和变式2的综合.学生在仔细思考后都能迅速、正确地解决.这样的变式教学有利于学生多角度地理解概念，有层次地推进数学活动.

本例题考查了角的变换、平移变换等方法，变式之间环环相扣、密切相关，但又不是原来例题的简单重复——数字的改变或是背景的更换.张奠宙认为,“数学的变式教学就是通过不同的角度、不同的侧面、不同的背景从多个方面变更所提供的数学对象的某些内涵以及数学问题的呈现形式,使数学内容的非本质特征时隐时现，而本质特征保持不变的教学形式”.

那么，在高三数学习题课变式教学过程中，教师要注意哪些问题呢？

4.在变化中考查数学素养、数学本质，而不仅仅是数字的改变,这是数学变式的重要因素.由于是高考习题课中的变式，所以三道变式题都没有简单地改变某一个数字，让学生将方法或概念重复训练，进而内化,更多的是对于角的变换这一数学本质的若干变形.从例题中单角的变换到变式1，2中复角的变换，再到变式3中平移和周期的变换，都在培养学生对数学本质的觉察能力，以及对数学变形的操作能力.

5.好的变式教学不是一题多变、一题多解、一法多用、图形多变,而是要求学生能够做到高层次的迁移.所谓高层次的迁移是指思想方法、思维方法、认知结构的迁移，教师在备课的过程中要将这一思想贯穿始终.

对于能够达到教学目的的变式，笔者称之为“正向的数学变式”，但有些变式可能对教师所要重点强调的思想方法会起到负面作用，笔者称之为“负向的数学变式”.教师在数学习题课中要尽量避免“负向的数学变式”.

笔者在听课的过程中曾经遇到这样的例子.

例2已知集合A={x|-1≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1},且B是A的子集，求m的范围.

学生很自然地列出如下的式子：

解得结果为0≤m≤2.

为了强调子集和真子集的区别，教师进行了这样的变式.

变式已知集合A={x|-1≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1},且B是A的真子集，求m的范围.

变式与例2相比就加了一个 “真”字，教师的目的很明确，就是想让学生考虑真子集与子集的区别，真子集时A不能等于B.

学生在教师的暗示下，列出了如下的式子：

其实就是在两处地方去掉了“等于号”，因此结果就变成了0

刚刚讲完，一个学生就站起来提出了疑问：“当m=0或m=2时，B还是A的真子集.因为当m=0时，集合B={x|-1≤x≤1}A，当m=2时，集合B={x|3≤x≤5}A.这是怎么回事？”

由于教师之前并没有充分准备，因此在这个题目上纠缠了许久，本想通过这个变式区分子集和真子集的初衷也被这个“不成功”的变式破坏.

我们如果对问题进行深入研究的话就会发现，当我们取的B集合是一个区间长度确定的集合，B的区间长度为(2m+1)-(2m-1)=2，而A的区间长度是6，这就意味着：即使B的左(右)端点与A的左(右)端点重合，B也是A的真子集，而不可能等于A.当然，教师也可以对取端点处值的集合进行验证，看是否为真子集，也能避免考虑不周.所以，数学变式要保证科学性、目的性.

由于破坏了课堂的目的性，我们把例2的变式称为“负向的数学变式”.

所谓的“负向的数学变式”是指以下这几类数学变式.

1.科学性上存在争议，或者虽然没有科学性错误，但存在概念含糊、表述不准确等问题.

2.与原例题没有关系，“貌合神离”.比如，例1主要是围绕角的变换展开的，但如果放一个关于解三角形的作为变式，哪怕这个题目再经典，对于例1来讲都不是好的变式.

3.思维跳跃太大，与例题所培养的数学素养相关性极小.有些变式题表面上看起来似乎也是例题的延伸，但是细究起来，所考查的数学核心素养与例题相去甚远.一方面，教师需要花大量的时间引导学生理解，学生也需要花大量的精力去思考；另一方面，这样的例题对于这节课想要达成的目标没有正向作用，有的时候反而会起抑制作用，影响课堂目标的达成.

为了课堂教学目标的达成率更高，教师在上课的过程中要避免“负向的数学变式”，这就要在上课之前准备充分，上课遇到问题时要反应机智，妥善处理课堂突发情况.比如，有时教师会在课堂上抄错题目，出现这种情况的时候，教师要迅速发现是否有必要将之变成新题.比如笔者在上课的时候出了这样一道题：

已知角α和β，它们的和为30°，差为10°，求它们的正弦值.

笔者在做课件的时候将10°写成了10，因此原题就变成：

已知角α和β，它们的和为30°，差为10，求它们的正弦值.

题目一打出来就已经发现错了，本想改过来，但略一思考，发现这确实是一道新题，于是笔者就叫学生先自己思考.刚开始，学生也没有注意到这里弧度制与角度制的区别，但经过笔者的暗示，有的学生开始大声说：“不对，一个是角度，一个是弧度.”经过很短的时间，就有学生提出了思路.这样一来，本来的一道错题就变成了一道非常好的概念题.当然，出现这样的错误，你也可以向学生道歉后把题目改正，但若发现抄错后的题目又成为一道好的题目，而且需要思维转弯幅度较大，此时就可以将错就错，临时解决这道题目，这样既可以减少在学生面前出错的情况，又可以培养学生的解题应变能力，使他们能应用基本概念、基本方法解决一般性的问题，培养学生考虑问题的周到性.

在平时的高三复习课上，教师可以从一些简单的问题入手，然后以此为基础设计一些有层次、有梯度、要求明确、题型多变的例题、习题，训练学生不断探索解题方法，对比解题方法的优劣，从而优化解题路径，拓展思维的广阔性；对于一些容易混淆的数学概念、定理、法则，可以从内涵和外延、正面和反面、特殊和一般、本章节和相关章节等各方面进行适当的变式，加大课堂容量的同时，加深学生对数学本质概念的理解.相关性强的变式能促使学生对可能遇到的难题做出客观的评价，不断提升学生解决难题的能力.变式训练稍有成效后，教师就可以动员学生对题目进行变式拓展——学生自己出一些题目，或者学生自己找一些相关题型，这样将更加有利于学生解题能力的提高和数学素养的提升.顾泠沅在变式教学研究中也建议，可以创造性运用知识技能变式，让学生自行编拟变式题.

从近年来高考全国卷命题的趋势来看，现在的高考着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力.考卷对于学生思维的广度、深度的要求有所提高，试题比较注重对学生探究能力的考查.为了应对高考，在高考复习课中，教师可以通过对典型例题和教材中关键性问题的探索，引导学生理解普遍性问题，提升学生解决陌生情境问题的能力.

总之，变式教学操作得当将大大提高教学有效性.