可逆矩阵的教学设计可逆矩阵的教学设计

◎周倩楠 卢 勇

(江苏师范大学数学与统计学院，江苏 徐州 221116)

一、引 言

“逆”在《现代汉语词典(第7版)》中的解释为：向着相反的方向(跟“顺”相对).在数学学科中，我们也经常遇到这个字.如高等数学中映射的逆映射、初等数学中一个命题的逆命题等.当然，我们也学过一些与逆有关的运算.在数的运算中，加法、减法、乘法和除法是四种基本运算，其中，数的减法可以看成加法的逆运算，数的除法可以看成乘法的逆运算.可以看出，逆运算使得数的运算更加完善，有助于我们更深入地研究数的相关性质.在我们学习数学知识的过程中，数的加法、减法、乘法和除法无处不在，每个研究方向都离不开数的四种运算.同样，对于其他理工学科来说，数的四种基本运算也是基本运算，起着不可或缺的作用.所以说，逆运算不仅在数学中占有重要地位，在其他学科中也具有广泛的应用.本次课程涉及的知识点主要来源于线性代数.线性代数是数学的一个重要分支，它的研究对象是向量和向量空间(或称线性空间).线性代数作为高等教育，尤其是高等数学中的一门重要学科，是理工科包括部分文科学生需要学习的一门专业必修课.在线性代数这一学科中也有许多逆运算.矩阵作为线性代数中的重要知识点和常见的工具之一，其运算中是否存在相应的逆运算？这是一个值得我们思考的问题.

本文主要是分析关于可逆矩阵知识点的教学设计.首先，通过简单问题的引入——数的四种基本运算，引出矩阵的逆矩阵问题.其次，通过与学生互动，不断引导学生思考，并给出可逆矩阵的相关性质，如唯一性等.最后，给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法——伴随矩阵法，并结合具体例题，运用伴随矩阵法求解可逆矩阵的逆矩阵.本文结尾结合本节课知识点的特点融入课堂思政，结合目前在校大学生遇到的实际问题和困难传递正能量，引导学生不断努力拼搏，克服逆境和困难，真正做到教书育人，从而使得本次教学内容更加丰富，并具有启发性.

二、教学过程

(一)问题引入

矩阵作为学习线性代数课程的重要知识点和工具，贯串整个线性代数的学习.矩阵的运算也是我们首先需要考虑的问题.在前面，我们已经学习了矩阵的加法、减法及乘法等运算.其中，矩阵的减法是利用矩阵的加法和负矩阵定义的，因此，可以看成矩阵加法的逆运算.对于矩阵乘法，我们思考：是否可以像数的乘法那样定义它的逆运算(即除法运算)？这一问题值得我们研究，而这就是矩阵的逆矩阵问题.

我们可以注意到，在矩阵乘法运算中，单位阵E所起的作用与数的乘法运算中的1相当.因此，类似数的倒数，我们提出问题：对于一个矩阵A，是否存在矩阵B，使得AB=BA=E?在不引起歧义的情况下，我们不具体给出单位阵的阶数.

由矩阵乘法的定义我们知道，要想讨论这一问题，首先必须确保这一式子是有意义的.由AB有意义，我们可以得出A的列数必须等于B的行数.同时由BA有意义，我们可以得出B的列数必须等于A的行数.再由AB=BA，我们可以得出A与B必须是同阶方阵.因此，这类问题只能针对方阵来研究，这是我们研究可逆矩阵的前提和基础.

(二)研究问题

下面，我们具体给出可逆矩阵的概念.

定义1设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=En，则称矩阵A是可逆矩阵，简称A可逆(或非退化)，而B就称为A的一个逆矩阵，否则就称矩阵A不可逆(或退化).

根据可逆矩阵的定义，我们知道，要想判断给定的n阶方阵A是否可逆，就要看是否存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=En，如果存在，则矩阵A可逆；如果不存在，则矩阵A不可逆.

接下来我们思考：类似非零数的倒数，对一个可逆矩阵A而言，它的逆矩阵B是否可以写成A-1？这一问题将在后面的讨论中解决.

那么，我们就需要思考：什么样的方阵一定可逆？如果可逆，其逆矩阵是否唯一？我们该如何求出可逆矩阵的逆矩阵？下面我们将围绕这三个问题进行讨论，并分别给出回答.

首先，我们看唯一性.

性质1设A是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.

证明思路：假设矩阵A可逆，且B,C是A的任意两个逆矩阵，则有AB=BA=E及AC=CA=E.为了与矩阵C相联系，我们可得B=BE=B(AC).注意到矩阵乘法满足结合律，所以B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.因此，我们知道可逆矩阵的逆矩阵是唯一确定的.

因为可逆矩阵的逆矩阵具有唯一性，为了方便起见，我们将可逆矩阵A的逆矩阵用A加上上标“-1”表示，记作A-1,读作A逆(这一写法类似非零数的倒数).

由可逆矩阵的定义，我们还能得到如下一些性质.

性质2若方阵A可逆，则A-1可逆，且有(A-1)-1=A.

性质4若方阵A和B具有相同阶数且均可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1.

性质2,3和 4可以由可逆矩阵的定义得出，其证明可作为课后作业留给学生.

下面，我们将具体讨论如何求一个可逆矩阵的逆矩阵.我们做如下分析：设A=(aij)n×n是一个可逆矩阵，如何求出矩阵B=(bij)n×n，使得AB=BA=E？

目前，我们只能从可逆矩阵的定义出发.由矩阵乘积的定义，我们知道，AB=E可写成

(1)

其中i,j=1,2,…,n.

根据上式特点，要想通过这样一组式子求出矩阵B是有困难的，因为通过公式(1)，我们还是求不出矩阵B的元素bij.但是，我们发现，公式(1)与我们之前学过的一个定理类似：依行展开定理.当我们结合依行展开定理

(2)

其中i,j=1,2,…,n，即把(1)式中的bij换成矩阵A的元素aji的代数余子式Aji.通过观察公式(2)，我们可以将等号左边看成两个矩阵乘积的(i,j)元，其中ai1,ai2,…,ain就是矩阵A的第i行元素.而Aj1,Aj2,…,Ajn可以看成一个矩阵的第j列元素.为了方便起见，我们将这个矩阵用A加上上标“*”来表示，记作A*,读作A的伴随矩阵.具体写出来就是

另外，当矩阵A可逆时，有AA-1=E,两边同时取行列式，可得|A||A-1|=1，所以|A|≠0.

结合上述分析就有下面的定理：

定理1不仅给出了可逆矩阵的一个充要条件，同时给出了求可逆矩阵的逆矩阵的方法，我们将这一方法称为伴随矩阵法.

伴随矩阵法是我们求一个可逆矩阵的逆矩阵的有效方法，它区别于逆矩阵的定义.当需要求可逆矩阵A的逆矩阵时，不需要找到矩阵B，而通过矩阵A自身即可,即求出矩阵A的行列式及伴随矩阵.因此,对于伴随矩阵法，学生需要结合具体例题不断练习，从而真正掌握这一方法,进而计算可逆矩阵的逆矩阵.

下面，我们结合一个例题具体应用伴随矩阵法.

例1判别矩阵A是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵.其中

分析要想判别矩阵A是否可逆，结合定理1，需要看其行列式是否不等于0.

通过计算，可得|A|=-1≠0,所以A可逆.

接下来，我们运用伴随矩阵法求A的逆矩阵.

计算A的伴随矩阵为A*，得

因此

课后思考：结合例题及求逆矩阵的伴随矩阵法，我们容易看出，对于一个n阶可逆矩阵A，当n比较小时，如例1中的矩阵A，因为A是3阶方阵，因此，计算其行列式从而判定其是否可逆的难度不大，同样，计算A的伴随矩阵难度也不大，大多数学生都能计算出来.但是，我们在之前学习计算行列式时能够知道，对于一个给定的n阶方阵，当n比较大时，比如一个6阶方阵A，用伴随矩阵法求逆矩阵是比较困难和复杂的.因为我们首先要计算这个6阶方阵的行列式，判定其是否为0，如果不为0，我们还需要计算一些5阶方阵的行列式，从而得到其对应的伴随矩阵，这一计算过程比较烦琐，且计算量较大，很多学生在计算过程中会出现错误.因此，我们发现，用伴随矩阵法计算一个可逆矩阵的逆矩阵要根据给定矩阵的阶数来看，如果阶数较小，可以考虑使用伴随矩阵法，如果阶数较大，那么就需要运用其他方法进行求解.是否还有其他求可逆矩阵的逆矩阵的方法呢？我们将在下节课与大家一起探讨和学习另一种计算可逆矩阵的逆矩阵的方法——初等变换法，建议做好相应的预习和复习工作.

(三)内容小结

本次课程主要讲解的知识点是可逆矩阵.首先，通过数的加法、减法、乘法和除法四种基本运算，以及倒数引入了主要问题——可逆矩阵.其次，我们给出了矩阵的逆矩阵的概念,并通过部分特殊矩阵分析了矩阵可逆的相关性质.再次，通过问题引入引导学生得到了可逆矩阵的几种性质.最后，结合可逆矩阵的定义及依行依列展开定理得到了伴随矩阵的概念以及求可逆矩阵的逆矩阵的方法——伴随矩阵法,并结合具体例题运用伴随矩阵法计算给定矩阵的逆矩阵.在本次课程的最后，我们还留下相关问题，就是当给定矩阵的阶数比较大时，运用伴随矩阵法是否还能求出其逆矩阵，计算量大不大，同时引出下次课程需要学习的内容——初等变换法.

本次课程从简单问题入手，通过一步步引导，让学生思考一些常见的问题，并结合学生之前所学知识(数的加法、减法、乘法、除法、倒数问题，以及矩阵的加法、减法和乘法运算)一步步达到教学目的.本次课堂的内容由浅入深，主要目的是启发学生在学习过程中不断发现问题、思考问题，从而解决问题.希望通过本次课程的学习，学生能够掌握可逆矩阵的相关性质，以及求解可逆矩阵的逆矩阵的方法——伴随矩阵法.

三、课堂思政

本次课程我们主要教学了可逆矩阵和可逆矩阵的逆矩阵的求法——伴随矩阵法.通过可逆矩阵，我们可以研究类似数的除法的问题.通过学习可逆矩阵，我们能够发现，逆运算能够使数学更加完美.学习数学知识能够锻炼我们的思维能力，培养我们发现问题、思考问题及解决问题的能力.同时，我们要学会总结学过的知识.

在数学中有逆运算，我们在人生的道路上也会遇到种种逆境与不顺.“逆”字也经常出现在我们的生活中，对于很多人来说，人的一生不一定是一帆风顺的，生活往往会给我们出一些难题.比如，作为一名大学生，在大学学习和生活中，我们离开了父母，很多事都需要自己去面对，要学习如何和老师与同学相处，还要学习如何不断适应社会，从而走入社会.很多学生都经历了线上学习，而线上学习的效果在一定程度上不如线下学习，部分学生在学习过程中产生了抱怨、烦躁的心理.他们会担心知识点掌握不牢，不能跟老师和同学近距离讨论问题，等等，学习的效率和效果都达不到预期目标.这些在一定程度上对于学生来说就是逆境.再如，受疫情的影响，很多毕业生不能正常出去找工作，心理上承受了很大的压力.但是，这些在逆境中成长的学生会更快适应身边不断变化的环境，更快地投入学习，能够通过回看授课视频重复学习，查漏补缺，更好地掌握知识点.

当学生走向社会，可能会面临生活和工作中的其他问题，然而，这些困难和逆境往往能使他们的人生更加完美，因为他们在克服困难的过程中得到了知识，获得了成长.相信临近毕业的大学生在回首大学四年的学习生活时，每个人都会有不同的感悟，每个人都有不同的成长.我们也许该感谢这些困难和逆境，因为它磨炼了我们的意志，给予了我们更多的勇气去面对困难，挑战困难.所以，不管我们是在求学过程中还是在工作中，遇到困难和逆境都不要气馁，只要我们坚定信心，勇往直前，不断克服它们，就终将实现人生的理想和目标，真正成为一个对国家和社会有用的人.