在小学数学教学中发展学生运算能力的探究

程红霞

运算能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十大“核心词”之一。关于运算能力，很多教师对它在小学数学教学中的地位、价值和实践操作等方面都有讨论。发展学生的运算能力是小学数学教学中最重要的培养目标之一。培养学生的运算能力，首先要了解其内涵，对运算能力的培养要求做到心中有数;其次，要结合数学课堂的实际情况，制定具体的培养策略。

一、关于运算能力内涵的研究

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对运算能力的描述是：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。从这段表达中，我们可以提炼几个关键词：正确运算、理解算理、方法合理（运算简洁）。

对于运算能力内涵的具体解读，比较有代表性的是上海市特级教师曹培英老师提出的“四面体结构模型”（如图1）。

该四面体结构模型不仅充分解读了运算能力的内涵，还为实践提供了指导思想与可操作的方法。

曹老师以四面体模型形象直观地解读了运算能力的以下四方面内涵：

其一，基本口算主要是指20以内的加减与表内乘除，基本口算是运算能力提升的基础之一;其二，算法、算理是运算能力的“一体两翼”，两者相辅相成，不可偏废;其三，基本口算与算法算理共同构成了运算能力的底层基础，运算策略的制订及运算能力的进一步的提升，都要在这个基础之上去进行;其四，运算策略包括对信息的挖掘、问题的定向与识别、方法的选择与過程的简洁、自觉评价。

除了曹老师这样比较深度的解读之外，还有很多学者对运算能力的内涵进行了研究。其中一种较为合理的观点是“综合能力说”，认为运算能力是一种综合的能力，是“运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合”“运算能力不是简单的加减乘除的计算，而是与观察能力、记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力及想象能力等有关的由低级到高级的综合能力。”

从以上的内涵解读中，我们可以得到两点有益的启示：

一是运算能力具有一定的层次性和发展性。小学阶段的数的认识和数的四则运算几乎是同时发展的。随着学生知识面的拓展，数的运算抽象程度不断提高，运算能力也随之不断发展。教师在教学中要特别关注因学习内容进阶而引起的对运算能力发展的不同要求，使具体目标与教学策略有助于学生提升运算能力（见图2）。

二是运算能力是一种综合的数学能力。这和前文提到的综合能力是相呼应的。运算能力绝对不是算得又对又快，而是应该包括正确理解数与基本运算概念等相关知识、辨识理解信息条件、合理选择运算方法与策略、使运算过程符合算律、算理，尽可能简洁地获得运算结果并判断运算结果的合理性。因此，每一次的运算过程都是诸多从低级到高级思维活动综合应用的结果。

二、运算能力的培养策略

基于对运算能力内涵的解读和研究，结合数学课堂教学实际，我认为，培养学生的运算能力可以有如下策略。

（一）重视数与基本运算概念的教学

重视数与基本运算概念的教学有助于学生感悟算理，利用算理推导算法，识别、理解各种数量关系，合理选择运算策略，为学生运算能力提升提供有力的支撑。

1.加强对基本运算结构的理解与识别

图3是加减法的基本运算结构图，其中分为添加型、拿走型、部分—部分—全体型、比较型。

我们以3道题为例。第一题，淘气有8元，笑笑又给他4元，两人一共有多少元？这属于添加型的题目。第二题，淘气有8元，笑笑有4元，他们两人一共有多少元？这个题目是部分—部分—全体型，我们也可以叫它并加型。第三题，淘气有8元，笑笑比淘气多4元，笑笑有多少元？这个题目是比较型。虽然这3道题的做法都是8+4=12元，但是它们的意义是不一样的，对应的基本的运算结构也是不一样的。由这3种基本的运算结构变换不同的起始量、改变量、结果量，就构成了加减法的丰富多彩的故事情境与问题解决样态。同样，乘除法也有类似的基本运算结构，学生对于基本运算结构的理解和识别，能够帮助他们去理解运算的概念，并有助于信息的提取、方法的合理选择等，有利于学生运算能力的提升。

2.以多元表征促进运算概念和运算关系的理解

图4出现了3种语言：模型、文字和符号，它们是多元表征5种形式当中的3种。在小学阶段数的运算里，很多时候我们会借用3种语言的模式来协助学生去发展运算概念。我曾执教了一节在多元表征中学习乘法分配律的课，这节课用到了模型、图形、符号、文字4种表征方式。在执教中，我是如何以多元表征来促进学生对运算概念和运算关系的理解呢？

首先，引导学生在模型和数字、算式之间做联接（如图5）。

出示图5的左侧图，提问：可以用什么算式来表示这个图形？3在哪里？5在哪里？3×5是什么意思？通过数形结合，明确“3”表示的是大方块每行有3个小方块，“5”表示的是大方块每列有5个小方块，而“3×5”则表示“横着数，每行有3个，有5行，共有5个3;竖着数，每列有5个，有3列，共有3个5”。不仅在这里做了模型与数的联结，更建立起了该模型与乘法运算之间的对应关系。

出示图5中的右侧图，提问：怎样列式表示这两个大方块组合的情况？3×5+4×5是什么意思？（3+4）×5呢？两者有什么区别？

再做算式和图形之间的转换：算式2×6+3×6=（2+3）×6表示的图是什么样子的？请再画出来（如图6）。

其次，设计关联性任务来促进多元表征学习。

【任务一】每个人用同一种颜色的小方块拼一个几乘几的大方块，在拼的同时要用乘法算式来表示。

【任务二】思考自己拼出的大方块是否可以跟目标大方块连接成一个更大的方块。我收集全班学生表征大方块的乘法算式，与他们一起看算式，判断哪些算式表示的方块可以与目标方块连接，哪些是不可以连接的，并思考、表达为什么不可以连接，为什么可以连接。完成后，启发学生：按照连接方式的不同对这些算式进行分类，你想怎样分？学生在想象、比较、分类中反复进行模型和算式之间的互相转化。

【任务三】把5×9的大方块拆分成2个方块，可以怎样拆？收集完拆分方块的算式后，我继续引导学生对这些算式进行观察、比较、分类，思考“按照拆分方式的不同，可以将这些算式分成几类”。

通过这样不断地去反思操作过程、细化多元表征学习、促进表征形式之间的互换互化，学生对乘法分配律中复杂的运算关系和运算结构的理解和认知会越来越清晰、具体。这样的学习有助于学生把握基本运算概念和复杂的运算关系，有助于算理理解与算法掌握，最终促进运算能力的提升。

（二）强化算理理解与基本算法的学习

在曹培英老师提出的四面体模型中，算理理解、算法掌握是提升运算能力的两大基石。基于提升学生运算能力的计算教学需要教师在以下两点上花费更多的心思。

1.在具体情境与操作活动中理解算理

在学习小数除法单元时，我专门设计了一节活动课，让学生经历换钱、分钱的操作活动，记录换钱和分钱的每一个步骤，用自己的方法解决小数除法的实际问题。

【活动背景】

你和你的4个小伙伴收集了一些废品，一共卖了12元钱。5个人要平分卖废品的收入。

【活动内容】

想一想：废品站的叔叔给了你1张10元，2张1元的钞票，每个人拿到的钱数要相同，你会遇到什么问题？

换一换：每个小组有一次兑换零钱的机会，请先想好如何兑换，再到“零钱银行”按需换取。

分一分，记一记（以元为单位）：小组内将12元钱平分给5个小朋友，用算式记录整个分的过程（分失败的小组，请思考如何修正才能成功）。

学生在活动中有如下的一些记录方法：

（1）10元÷5=2元，1.5元÷5=0.3元，2+0.3=2.3元

（2）10元÷5=2元，1元÷5=0.2元，0.5元÷5=0.1元，2+0.2+0.1=2.3元

（3）10元÷5=2元，10角÷5=2角，5角÷5=1角，2角+1角=3角，2元+3角=2.3元

（4）10元÷5=2元，15角÷5=3角，2元+3角=2.3元

通过讨论，学生意识到（1）和（2）中的1.5元÷5=0.3元和1元÷5=0.2元、0.5元÷5=0.1元不符合换钱分钱的实际情况，因为1元换成了10角，分钱时分的是15角或者先分10角再分5角，所以符合操作过程的记录应该是（3）或者（4）。换钱、分钱、记录都体现了细分计数单位的小数除法的本质。这样的活动为下一节课理解小数除法竖式计算的算理提供了具体而形象的支撑。具体的操作活动不仅加强了学生对于细分计数单位的体验，更有助于将比较抽象的小数除法变得具体、可视化、易理解。

2.在算法多样化中派生出基本算法

算法多样化并不是简单的“百花齐放”或先多样再优化，而是应该从多样化的算法中寻找到共通的算理，从而派生出具有普适性的基本算法。

如“小数乘整数”一课，这节课的主要任务是：计算0.3×4，并对自己的计算方法做简单说明。学生有以下7种做法与相应的说明。

（1）0.3×4=1.2

[3×4=12

12  1.2]

（2）3×4=12，12÷10=1.2

交流时学生补充：0.3×10=3。

（3）0.3+0.3+0.3+0.3=1.2

交流时学生补充：0.3+0.3=0.6，0.6+0.3=0.9，0.9+0.3=1.2。

（4）4×0.3=0.1×（3×4）=0.1×12=1.2

说明：  0.3=0.1×3，  3×4=12， 12×0.1=1.2。

（5）3×4=12（分为10和2）

10×0.1=1，2×0.1=0.2，1+0.2=1.2

（6）画图：

○○○ ○○○ ○○○ ○○○

○→0.1，12个0.1=1.2

（7）0.3 3 ，3×4=12

12 1.2

把学生的方法梳理出来之后，我提出了两个相应的问题，引导学生寻找多样化算法中的共通之处：找出想法相同，但形式不同的方法有哪些？所有的方法都需要计算什么？（需要计算3×4=12，12个0.1是1.2）

教师在计算教学中应鼓励学生尝试多样化的算法，并引导学生比较各种算法之间的联系，揭示不同算法背后的算理本质，从共通的算理中自然生长出基本算法。这也是“算法多样化”的内涵，即要在学生原生的非基本算法和通用的基本算法之间找到关联处和生长点。

（三）突出对基本数学思想的感悟

基本数学思想的运用在“数的运算”版块中占据的份量很重。如将未知转化成已知，帮助学生理解算理、探究算法，這在教材里有相当多的体现。北师版教材中，在学习“两位数乘一位数”的时候，我们是把它转化成表内乘法来计算、理解算理;在学习“两位数乘两位数”的时候，则是将它转化成“两位数乘一位数”去理解算理和探究算法。转化（化归）的思想在计算教学中的应用非常普遍。除此以外，在小学数学数的运算当中蕴含的数学思想方法还有数形结合、推理、符号化、类比、数学模型等。教师要善于挖掘“数的运算”内容中的数学内涵与思想方法，助力学生探究学习，提升学生的运算能力。

（责任编辑：杨强）