基于BFGS信赖域算法的电-气综合能源系统能流计算

耿宗璞，刘海涛，袁华骏，叶筱怡

(南京工程学院 电力工程学院，江苏 南京 211167)

0 引 言

能源是国家的经济命脉，当今世界的关注点在保证可持续供应的基础上，实现用能环节做到环保、高效。由电力系统(electric power system，EPS)和天然气系统(natural gas system，NGS)构成的综合能源系统的能流分布以及两个子系统之间的交互一直受到学术界的关注。文献[1]构建适用的耦合环节的模型，将一系列能源转换设备的运行约束条件考虑进模型中，采用交替求解法进行含电、气、热的综合能源系统的能流分布求解。文献[2]开发出多能流综合能量管理系统。通过电、热、气等不同能量网络之间的耦合环节实现各系统之间的能量互补。在保证稳定运行的前提下，实现效益最大化。文献[3]提出一种含电、气的综合能源系统的动态模型，基于此研究两系统互动关系。文献[4]在含电、气的综合能源系统概率流计算中，引入概率潮流的概念。通过计算评估两个子系统的运行稳定性，避免某个故障引发两个相连系统的连环故障，造成大面积的损失。上述文献多注重于优化运行和故障分析，但是对于求取EPS和NGS的能流分布的计算方法并未有太多涉及。

目前研究中针对电-气综合能源系统的能流计算大多采用的方法是Newton法，考虑EPS采用平启动方法(电压幅值和相角初值分别选为1.0 pu和0°)可以使大部分的潮流计算收敛。但NGS多采用工程经验来选取计算初值，并未有适用的方法解决Newton法计算的缺点。针对上述问题，本文提出基于BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)信赖域算法的能流计算方法，将求解NGS能流分布的问题转化为一个无约束最优化问题，利用BFGS信赖域算法求解此问题。算法的全局收敛能力良好地解决了NGS能流计算的初值选取问题，并且将此算法应用在由EPS和NGS构成的综合能源系统能流计算中。采用19节点电-气综合能源系统构成的两个算例验证了本文所述方法的适用性。

1 含电、气的IES稳态建模

1.1 EPS潮流方程

目前EPS的潮流计算一般采用平启动法，即平衡节点电压幅值、相角的初始值分别设为1.0 pu和0°。本文采用经典交流潮流模型，其节点功率表达式见式(1)。

(1)

式中:P、Q为节点的有功功率和无功功率；Y为节点导纳矩阵；U为节点电压相量。

1.2 NGS稳态模型

NGS包含输气管道、压气机、天然气节点、气源和负荷这几部分。鉴于NGS和EPS两者在很多方面有相似之处：经过输送路径将能源由供应处送至用户端；都满足基尔荷夫定律等。可以借鉴EPS的建模方法，将NGS中的节点压强类比于EPS中的节点电压，把它作为NGS进行能流计算的主要状态变量。

输气管道(管道两端节点为m、n)的流量方程如下：

(2)

(3)

式中:Lgm、Lgn分别为节点m和n的压强，Pa；kmn为常量，与管道自身参数相关；fmn为管道流量，m3/h；Dmn为气体流量方向。

天然气在管道传输过程中会有流量损耗，为弥补损耗，NGS会配置一定数量的加压站，通过站内压气机实现管道内输送压力的上升，但是这个过程会消耗额外能量。消耗的天然气流量的公式如式(4)、式(5)所示。

(4)

(5)

式中：c为压气机；fc为通过压气机的流量，m3/h；Hc为压气机消耗的功率，MW；Bc、Zc为压气机参数；τc为压气机消耗的流量；α、β、γ为压缩机的效率常数。

1.3 耦合环节数学建模

1.3.1 燃气轮机

燃气机组消耗NGS中的天然气产生电能，输送给EPS[5-6]。在进行电-气综合能源系统能流计算时，将其看作EPS中的电源和NGS中的气负荷。其稳态数学模型如式(6)所示。

(6)

式中：fj为从天然气节点j获取的燃气流量，m3/h；Pi为向EPS中相连节点i输出的电功率，MW；μ为燃气轮机效率，可表示为流量的二次函数；H为天然气燃烧值，典型值为39 MJ/m3；C1、C2和C3为常数，与燃气轮机的参数相关。

1.3.2 压气机

压气机除燃气驱动型还有电力驱动型。后者从EPS获取电能，在计算中充当电力负荷角色。本文采用电驱动型，对其进行数学建模[7]，如式(7)所示。

(7)

2 基于BFGS信赖域算法的电-气系统的能流 计算

2.1 电-气系统能流计算数学模型

基于以上所述电-气综合能源系统的能量流模型，对于它的求解问题可以描述为：

(8)

式中:fe、fg分别为电力系统方程、天然气系统向量方程组；Pe、Qe、V、θ分别为电气节点的有功功率、无功功率、电压幅值和相角向量；Lg、f分别为天然气系统的节点压强和管道流量向量。上述两个方程式之间通过耦合环节进行能流交换。

2.2 BFGS信赖域算法在天然气子系统能流计算中的应用

信赖域算法是一种求解非线性优化问题的数值方法，把最优化问题转化为一个简单的局部寻优问题。关键是在当前迭代点定义一个搜索范围，在此范围寻找一个合适的步长。在求解优化目标函数时，首先在当前迭代点给定一个信赖域半径，然后在信赖域内用一个二次模型逼近目标函数，用二次模型在信赖域内的极小值作为下一个迭代点，此信赖域内的下一个迭代点也即求得的一个局部最优解。

由式(8)可知，天然气子系统的能流计算的本质就是求解一组非线性方程组。对方程组的求解可以转化为一个无约束优化问题：

(9)

计算式(9)的非线性信赖域模型可以表示为：

(10)

(11)

式中:yk=zk+1-zk；Bk为正定矩阵(B0代表k=0时的初始正定矩阵，为单位矩阵)；η1为迭代成功判别系数，且0<η1<1。

下面介绍BFGS信赖域算法进行计算的步骤：

(1) 设置k=0，给定参数Δ0>0，计算精度ε>0，信赖域修正半径参数0

(2) 计算‖zk(xk)‖。若‖zk(xk)‖≤ε，则停止迭代；否则进行下一步。

(3) 由式(10)求解出试探步长dk，定义目标函数的预估下降量predk(dk)和实际下降量aredk(dk)，两者表达式如式(12)所示。

(12)

(4) 定义两者比值rk：

(13)

rk的大小反映了新目标函数g(dk)逼近h(xk)的程度，若rk→1，说明近似程度很好，则此次迭代成功。

(5) 更新信赖域半径Δk：在迭代过程中，若rk→1，则扩大信赖域半径Δk；若rk>0，但是不接近1，则保持Δk不变；若rk接近于0，则缩小Δk。信赖域半径Δk更新公式如下[17]：

(14)

(6) 更新迭代点xk、Bk：xk+1=xk+dk，由式(11)计算Bk+1，返回第(2)步。

3 算例分析

3.1 算例参数

19节点电-气综合能源系统由IEEE 13节点系统和6节点天然气系统构成(见图1):GB为天然气系统节点；EB为电力系统节点；GB1为天然气系统的参考节点；EB1为电力系统的参考节点。耦合部分中压气机采用电压气机，与EB1相连。燃气轮机连接EB9和GB6，本文采用以电定气来计算电气系统能流分布。

图1 电-气综合能源系统算例结构图

3.2 算例仿真结果

在MATLAB中分别编写基于BFGS信赖域算法和常规牛顿法的电-气综合能源系统能流计算程序，其中本文所述算法的初始参数设置：B0设置为单位矩阵(6×6)，Δmax=2，Δ0=1，η1=0.01，η2=0.75，c1=0.5，c2=2，ε=10-3。电力子系统中电压幅值用标幺值来表示，基准电压值取69 kV。为验证本文所述方法计算结果的准确性，其与常规牛顿法的计算结果比较如图2～图5所示。

由图2～图5数据可知：牛顿法和BFGS信赖域算法计算的天然气系统节点压强、管道流量和电力系统节点电压、相角的相对误差在1×10-4以内，均在允许范围内，验证了本文所述方法计算结果的正确性。

为比较Newton法和BFGS信赖域算法进行电-气系统能流计算的优越性，只需比较Newton法和BFGS信赖域算法进行计算所需迭代次数和计算时间即可，结果如表1所示。相较于常规牛顿法，利用BFGS信赖域算法进行电-气综合能源系统计算需要的计算时间和迭代次数相对减少，验证了本文所述方法有一定的优越性。

图2 天然气子系统节点压强计算结果比较

图3 天然气子系统管道流量计算结果比较

图4 电力子系统节点压强幅值计算结果

图5 电力子系统节点压强相角计算结果

表1 两种方法优越性比较

4 结束语

本文针对采用常规Newton法对天然气系统进行能流计算时对初值敏感的问题，提出基于BFGS信赖域算法的能流计算方法。将天然气网络的非线性节点压强方程组的求解问题转化为无约束最优化问题，利用BFGS信赖域算法求解此最优化问题。本文利用两个算例来验证本文所述方法的正确性和有效性。由算例结果可知：

(1) 本文提出的方法具有很好的全局收敛特性，可以很好地解决常规Newton法进行天然气系统能流计算时的初值敏感的问题，保证天然气系统能流计算的收敛性。同时可以减少计算所需的迭代次数和计算时间，提高计算的效率。

(2) 在进行电-气综合能源系统能流计算时，相较于用Newton法求解系统的能流分布，本文所述方法在保证计算结果准确的前提下，在计算效率方面有一定的优越性。